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| Aufgabe | | Warum sind Gruppen G der Ordnung [mm] p^2 [/mm] abelsch? |
Hallo!
Ich würde gern versuchen, dass zu beweisen (mit Klassengleichung etc.), komme allerdings noch nicht damit zurecht.
Ich muss doch zeigen, dass das Zentrum $Z(G) = [mm] \{y \in G: xy = yx \forall x \in G\}$ [/mm] gerade die Gruppe G ist.
Angenommen, $G$ wäre nicht abelsch. Dann gäbe es Elemente [mm] $x,y\in [/mm] G$ mit $x*y [mm] \not= [/mm] y*x$. Der Zentralisator [mm] $Z_{G}(x) [/mm] = [mm] \{y\in G: xy = yx\}$ [/mm] ist dann also eine echte Untergruppe von $G$. Als echte Untergruppe von $G$ muss nach dem Satz von Lagrange [mm] $|Z_G(x)|\in\{1,p\}$ [/mm] sein.
Es gilt aber $|Z(G)| < [mm] |Z_G(x)|$, [/mm] denn [mm] $x\not\in [/mm] Z(G)$, aber [mm] $x\in Z_G(x)$ [/mm] [und weil eben $Z(G) [mm] \subset Z_G(x)$ [/mm] gilt ].
Damit folgt $|Z(G)| = 1$. Ist das ein Widerspruch? Wieso?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:31 Do 17.03.2011 | | Autor: | Berieux |
Hi!
> Warum sind Gruppen G der Ordnung [mm]p^2[/mm] abelsch?
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> Hallo!
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> Ich würde gern versuchen, dass zu beweisen (mit
> Klassengleichung etc.), komme allerdings noch nicht damit
> zurecht.
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> Ich muss doch zeigen, dass das Zentrum [mm]Z(G) = \{y \in G: xy = yx \forall x \in G\}[/mm]
> gerade die Gruppe G ist.
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> Angenommen, [mm]G[/mm] wäre nicht abelsch. Dann gäbe es Elemente
> [mm]x,y\in G[/mm] mit [mm]x*y \not= y*x[/mm]. Der Zentralisator [mm]Z_{G}(x) = \{y\in G: xy = yx\}[/mm]
> ist dann also eine echte Untergruppe von [mm]G[/mm]. Als echte
> Untergruppe von [mm]G[/mm] muss nach dem Satz von Lagrange
> [mm]|Z_G(x)|\in\{1,p\}[/mm] sein.
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> Es gilt aber [mm]|Z(G)| < |Z_G(x)|[/mm], denn [mm]x\not\in Z(G)[/mm], aber
> [mm]x\in Z_G(x)[/mm] [und weil eben [mm]Z(G) \subset Z_G(x)[/mm] gilt ].
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> Damit folgt [mm]|Z(G)| = 1[/mm]. Ist das ein Widerspruch? Wieso?
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Ja das ist ein Widerspruch. Aus der Klassengleichung folgt nämlich unmittelbar die Aussage, dass jede p-Gruppe ein nichttriviales Zentrum hat.
Denn die Klassengleichung lautet:
[mm] ord(G)= ord(Z(G)) + \summe_{i=1}^{n}C_i [/mm]
Wobei die Konjugationsklassen [mm] C_i [/mm] alle mehr als ein Element haben. Zugleich teilen sie aber die Gruppenordnung, werden von daher also selbst von p geteilt. Bringt man die [mm] C_i [/mm] jetzt in der Gleichung auf die andere Seite, sieht man dass p ord(Z(G)) teilt.
> Vielen Dank für Eure Hilfe!
>
> Grüße,
> Stefan
Grüße,
Berieux
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Ok, vielen Dank für deine Hilfe, Berieux!
Stefan
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