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| Aufgabe | | Berechnen Sie die Abelsumme der divergenten Reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(-i)^k [/mm] |
Mein Ansatz hierzu:
Wähle z [mm] \in \mathbb{C} [/mm] mit |z|<1.
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}(-i)^kz^k=\summe_{k=0}^{\infty}(-iz)^k
[/mm]
So und hier stellt sich mit nun die Frage, ob ich da nun wieder mit der geometrischen Reihe weiterrechnen kann, bzw. wie ich hier auf den Grenzwert der Reihe für [mm] z\rightarrow [/mm] 1 komme.
Danke schonmal für Antworten!
Gruß
congo
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Hallo congo.hoango.
> Berechnen Sie die Abelsumme der divergenten Reihe
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}(-i)^k[/mm]
> Mein Ansatz hierzu:
>
> Wähle z [mm]\in \mathbb{C}[/mm] mit |z|<1.
Hmm, soweit ich das gerade im Internet nachschlagen konnte, nimmt man ein bel. [mm] $r\in(0,1)$
[/mm]
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}(-i)^kz^k=\summe_{k=0}^{\infty}(-iz)^k[/mm]
>
> So und hier stellt sich mit nun die Frage, ob ich da nun
> wieder mit der geometrischen Reihe weiterrechnen kann, bzw.
> wie ich hier auf den Grenzwert der Reihe für [mm]z\rightarrow[/mm]
> 1 komme.
Jo, du kannst [mm] $\sum\limit_{k=0}^{\infty}(-i)^k\cdot{}z^k$ [/mm] schreiben als [mm] $\sum\limit_{k=0}^{\infty}(-iz)^k$
[/mm]
Hier ist [mm] $|-iz|=|-i|\cdot{}|z|=|z|<1$, [/mm] also mit geom. Reihe:
[mm] $\sum\limit_{k=0}^{\infty}(-iz)^k=\frac{1}{1-(-iz)}=\frac{1}{1+iz}$
[/mm]
Nun lasse [mm] $z\to [/mm] 1$ laufen und du hast die Abelsumme ...
>
> Danke schonmal für Antworten!
>
> Gruß
> congo
LG
schachuzipus
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> Hier ist [mm]|-iz|=|-i|\cdot{}|z|=|z|<1[/mm], also mit geom. Reihe:
>
> [mm]\sum\limit_{k=0}^{\infty}(-iz)^k=\frac{1}{1-(-iz)}=\frac{1}{1+iz}[/mm]
>
> Nun lasse [mm]z\to 1[/mm] laufen und du hast die Abelsumme ...
Das dachte ich auch, aber dann komme ich ja auf [mm] \limes_{z\rightarrow1}\frac{1}{1+iz} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1+i}, [/mm] oder? Und auf dem Lösungsblatt steht, dass da [mm] \bruch{1}{2}-\bruch{i}{2} [/mm] rauskommt....
Oder habe ich irgendwie grad nen Denkfehler?
Gruß
congo
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Hallo nochmal,
> > Hier ist [mm]|-iz|=|-i|\cdot{}|z|=|z|<1[/mm], also mit geom. Reihe:
> >
> >
> [mm]\sum\limit_{k=0}^{\infty}(-iz)^k=\frac{1}{1-(-iz)}=\frac{1}{1+iz}[/mm]
> >
> > Nun lasse [mm]z\to 1[/mm] laufen und du hast die Abelsumme ...
>
> Das dachte ich auch, aber dann komme ich ja auf
> [mm]\limes_{z\rightarrow1}\frac{1}{1+iz}[/mm] = [mm]\bruch{1}{1+i},[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> oder? Und auf dem Lösungsblatt steht, dass da
> [mm]\bruch{1}{2}-\bruch{i}{2}[/mm] rauskommt....
Was dasselbe ist.
Wandel mal [mm] $\frac{1}{1+i}$ [/mm] in die Normaldarstellung $a+bi$ um ...
>
> Oder habe ich irgendwie grad nen Denkfehler?
Eher liegt ein Schlauch im Wege 
>
> Gruß
> congo
LG
schachuzipus
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Hups, ja stimmt. Vielen Dank!
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