Abgeschl. Beschr. Kompaktheit < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:24 Mo 10.05.2010 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | Sei [mm] \mathcal{L}^{p}:=\{(a_{n})\in \IR^{\IN}|\summe_{i=1}^{\infty}|a_{i}|^{p}<\infty\} [/mm] und [mm] ||(a_{n})|||_{p}:=(\summe_{i=1}^{\infty}|a_{i}|^{p})^{\bruch{1}{p}}
[/mm]
[mm] (\mathcal{L}^{p},||.||_{p}) [/mm] ist ein Banachraum.
Zeigen Sie, dass die Menge [mm] S^{1}:=\{(a_{n}\in \mathcal{L}^{p}| ||(a_{n}||_{p}=1\} [/mm] abgeschlossen, beschränkt, aber nicht kompakt ist. |
So, eine Menge ist ja abgeschlossen, wenn das Komplement offen ist.
Ich hoffe, dass das gegeben ist durch [mm] C:=\{(a_{n})\in \mathcal{L}^{p}|\summe_{i=1}^{\infty}|a_{i}|^{p}\not=1\}
[/mm]
Ich finde es äußerst kompliziert zu zeigen, dass diese Menge offen ist...
Ich muss ja beweisen, dass zu jedem Element [mm] (x_{n}) [/mm] ein [mm] \varepsilon>0 [/mm] existiert, sodass [mm] B((x_{n}),\varepsilon)\subset [/mm] C
Das erscheint mir nur mit der Metrik so kompliziert, irgendwie steig ich da nicht durch...
Kann man vielleicht auch anders zeigen, dass das offen ist?
Und mit Beschränktheit ist doch Beschränktheit bzgl. der Norm gemeint, oder?
Ist das nicht klar nach Defintion???
Bei der Kompaktheit kann man sicherlich irgendeine offene Überdeckung wählen, von der aber keine endliche Teilüberdeckung existiert. Das Problem ist auch hier, dass ich keinen blassen Schimmer habe, wie man sowas wählen könnte :-(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:52 Mo 10.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]\mathcal{L}^{p}:=\{(a_{n})\in \IR^{\IN}|\summe_{i=1}^{\infty}|a_{i}|^{p}<\infty\}[/mm]
Das soll wohl [mm] l^p [/mm] heißen.
> und
> [mm]||(a_{n})|||_{p}:=(\summe_{i=1}^{\infty}|a_{i}|^{p})^{\bruch{1}{p}}[/mm]
> [mm](\mathcal{L}^{p},||.||_{p})[/mm] ist ein Banachraum.
>
> Zeigen Sie, dass die Menge [mm]S^{1}:=\{(a_{n}\in \mathcal{L}^{p}| ||(a_{n}||_{p}=1\}[/mm]
> abgeschlossen, beschränkt, aber nicht kompakt ist.
> So, eine Menge ist ja abgeschlossen, wenn das Komplement
> offen ist.
> Ich hoffe, dass das gegeben ist durch [mm]C:=\{(a_{n})\in \mathcal{L}^{p}|\summe_{i=1}^{\infty}|a_{i}|^{p}\not=1\}[/mm]
>
> Ich finde es äußerst kompliziert zu zeigen, dass diese
> Menge offen ist...
> Ich muss ja beweisen, dass zu jedem Element [mm](x_{n})[/mm] ein
> [mm]\varepsilon>0[/mm] existiert, sodass
> [mm]B((x_{n}),\varepsilon)\subset[/mm] C
> Das erscheint mir nur mit der Metrik so kompliziert,
> irgendwie steig ich da nicht durch...
> Kann man vielleicht auch anders zeigen, dass das offen
> ist?
> Und mit Beschränktheit ist doch Beschränktheit bzgl. der
> Norm gemeint, oder?
> Ist das nicht klar nach Defintion???
> Bei der Kompaktheit kann man sicherlich irgendeine offene
> Überdeckung wählen, von der aber keine endliche
> Teilüberdeckung existiert. Das Problem ist auch hier, dass
> ich keinen blassen Schimmer habe, wie man sowas wählen
> könnte :-(
Ist $(X, ||*||)$ ein normierter Raum und [mm] $S^1:=\{x \in X: ||x||=1 \}$, [/mm] so ist [mm] S^1 [/mm] immer beschränkt und abgeschlossen ! Die Beschränktheit ist klar.
Zur Abgeschlossenheit: zeige: der Grenzwert jeder konvergenten Folge aus [mm] S^1 [/mm] gehört wieder zu [mm] S^1
[/mm]
So , jetzt zu [mm] l^p, [/mm] also zu [mm]S^{1}:=\{(a_{n}) \in l^{p}|: ||(a_{n})||_{p}=1\}[/mm]
Für k [mm] \in \IN [/mm] sei [mm] e_k [/mm] , die Folge in [mm] l^p, [/mm] welche an der k-ten Stelle eine 1 hat und sonnst nur Nullen und betrachte die Folge [mm] (e_k).
[/mm]
Dies ist eine Folge in [mm] S^1. [/mm] Wäre nun [mm] S^1 [/mm] kompakt, so enthielte [mm] (e_k) [/mm] eine konvergente Teilfolge ( mit Limes in [mm] S^1). [/mm] Kann das sein ???
Berechne mal [mm] $||e_k-e_j||_p$ [/mm] für k [mm] \ne [/mm] j.
FRED
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