Abgeschl. lin. Teilraum von L2 < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 Mo 19.12.2005 | | Autor: | QCO |
| Aufgabe | E = [mm] L^{2}[0,1] [/mm] mit Lebesgue-Maß. Man zeige, dass F = { f [mm] \in [/mm] E : [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] {f(t) dt}=0 } ein abgeschlossener linearer Teilraum ist und bestimme die Rieszsche Zerlegung E = F [mm] \oplus F^{\perp}.
[/mm]
Hinweis: Man bestimme zuerst [mm] F^{\perp}. [/mm] |
Zunächst bin ich mir schon unsicher, was hier überhaupt das Skalarprodukt ist.
Wir haben irgendwann in der Vorlesung mal gesagt, dass für [mm] L^{2}(U,\mu) [/mm] <f,g> := [mm] \integral_{U} [/mm] {f(t) [mm] \overline{g(t)} [/mm] dt}.
Die Bedingung für [mm] F^{\perp} [/mm] wäre dann ja, dass [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] {f(t) [mm] \overline{g(t)} [/mm] dt}=0.
Wenn aber [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] {f(t) dt}=0, bedeutet das ja, dass [mm] \mu [/mm] - fast überall f=0, dann gilt das doch für beliebige g.
Kann das denn sein, weil doch dann F [mm] \subseteq F^{\perp} [/mm] wäre?
Meine konkrete Frage wäre deshalb zunächst mal: Mit welchem Skalarprodukt muss ich hier rechnen?
Von einem echten Lösungsansatz bin ich jedenfalls ziemlich weit entfernt.
Vielleicht kann mir hier mal jemand etwas Licht in mein Dunkel bringen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 Mo 19.12.2005 | | Autor: | andreas |
hallo
erstmal vielleicht zur klärung:
> bestimme zuerst [mm]F^{\perp}.[/mm]
> Zunächst bin ich mir schon unsicher, was hier überhaupt
> das Skalarprodukt ist.
> Wir haben irgendwann in der Vorlesung mal gesagt, dass für
> [mm]L^{2}(U,\mu)[/mm] [mm] := \integral_{U} {f(t) \overline{g(t)}dt} [/mm] .
genau mit diesem skalarprodukt wird [mm] $L^2$ [/mm] zu einem hilbertraum, also ist das auch das skalarprodukt, mit dem du rechnen solltest.
> Die Bedingung für [mm]F^{\perp}[/mm] wäre dann ja, dass
> [mm]\integral_{0}^{1} {f(t) \overline{g(t)} dt}=0 [/mm].
> Wenn aber [mm]\integral_{0}^{1}[/mm] {f(t) dt}=0, bedeutet das ja,
> dass [mm]\mu[/mm] - fast überall f=0,
das stimmt so nicht. es wäre zum beispiel richtig, wenn [mm] $f\geq0$ [/mm] vorrausgestzt wäre, ist es aber nicht. so liegt zum beispiel [mm] $\sin \left( 2\pi x\right) \in [/mm] F$. insgesamt beinhaltet $F$ alle messbaren funktionen, deren integral über den positivanteil endlich und gleich dem integral über den negativanteil ist.
ich hoffe damit ist dir erstmal geholfen und du kommst etwas weiter.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:28 Mo 19.12.2005 | | Autor: | QCO |
> beinhaltet [mm]F[/mm] alle messbaren funktionen, deren integral über
> den positivanteil endlich und gleich dem integral über den
> negativanteil ist.
Ok, *schäm* das stimmt natürlich.
Aber wie bekomme ich mit dieser Vorgabe und dieser Bedingung
> > Die Bedingung für [mm]F^{\perp}[/mm] wäre dann ja, dass
> > [mm]\integral_{0}^{1} {f(t) \overline{g(t)} dt}=0 [/mm].
nicht weiter. Irgendwie muss ich daraus ja jetzt Eigenschaften von g ableiten.
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Hallo!
> > > Die Bedingung für [mm]F^{\perp}[/mm] wäre dann ja, dass
> > > [mm]\integral_{0}^{1} {f(t) \overline{g(t)} dt}=0 [/mm].
> nicht
> weiter. Irgendwie muss ich daraus ja jetzt Eigenschaften
> von g ableiten.
Betrachte doch mal die Funktion [mm] $h(x):=f(x)\overline{g(x)}$... [/mm] Für alle [mm] $f\in [/mm] F$ müsste dann ja [mm] $\int_0^1h(x)dx=0$ [/mm] gelten...
Gruß, banachella
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Hallo!
[mm] $L^2([0;1])$ [/mm] ist üblicherweise die Notation dafür, dass das Lebesgue-Maß zugrunde gelegt wird. Das steht ja auch schon in der Angabe.
Im übrigen wäre die korrekte Notation [mm] $\int_0^1f(x)d\mu(x)$, [/mm] wenn ein anderes Maß dem Skalarprodukt zugrunde liegen würde.
Weißt du, wie man zeigt, dass $F$ ein abgeschlossener linearer Teilraum ist?
Gruß, banachella
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