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| Aufgabe | Wikipedia-Artikel "kompakte Menge":
Zitat:
Die Menge der reellen Zahlen ist nicht kompakt, da sie zwar abgeschlossen, aber nicht beschränkt ist. Sie enthält deshalb Zahlenfolgen, von denen jede Teilfolge über alle Grenzen wächst (zum Beispiel die Menge der natürlichen Zahlen).
Zitatende. |
Hallo,
ich wollte mich gerade bei Wikipedia über den Begriff "Kompaktheit" informieren.
Nebenbei habe ich bemerkt, dass den Unterschied zwischen "Vollständigkeit" und "Abgeschlossen" gar nicht kenne, falls einer besteht.
In einem abgetippten Skript habe ich für "Vollständigkeit einer Menge M" gefunden: alle Cauchy-Folgen konvergieren im M.
und für "Abgeschlossheit einer Menge M": [mm]\forall (x_n)_{n\in\mathbb N}[/mm] mit [mm]\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=x\:\Rightarrow\:x\in M[/mm].
Wenn bei der Abgeschlossenheit beim Konvergieren nicht uneigentliches Konvergieren mit einbezogen ist, wäre dies meines Erachtens nach identisch.
Ist Abgeschlossenheit und Vollständigkeit dasselbe?
Vielen Dank im Voraus,
Lorenz
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> Wikipedia-Artikel "kompakte Menge":
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> Zitat:
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> Die Menge der reellen Zahlen ist nicht kompakt, da sie zwar
> abgeschlossen, aber nicht beschränkt ist. Sie enthält
> deshalb Zahlenfolgen, von denen jede Teilfolge über alle
> Grenzen wächst (zum Beispiel die Menge der natürlichen
> Zahlen).
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> Zitatende.
> Hallo,
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> ich wollte mich gerade bei Wikipedia über den Begriff
> "Kompaktheit" informieren.
> Nebenbei habe ich bemerkt, dass den Unterschied zwischen
> "Vollständigkeit" und "Abgeschlossen" gar nicht kenne,
> falls einer besteht.
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> In einem abgetippten Skript habe ich für "Vollständigkeit
> einer Menge M" gefunden: alle Cauchy-Folgen konvergieren im
> M.
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> und für "Abgeschlossheit einer Menge M": [mm]\forall (x_n)_{n\in\mathbb N}[/mm]
> mit [mm]\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=x\:\Rightarrow\:x\in M[/mm].
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> Wenn bei der Abgeschlossenheit beim Konvergieren nicht
> uneigentliches Konvergieren mit einbezogen ist, wäre dies
> meines Erachtens nach identisch.
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> Ist Abgeschlossenheit und Vollständigkeit dasselbe?
Nein: Das Intervall $[0;2]$, aufgefasst als Teilmenge des metrischen Raumes [mm] $\IQ$, [/mm] ist zwar abgeschlossen aber ebensowenig vollständig wie [mm] $\IQ$ [/mm] selbst.
Aber: Jede abgeschlossene Teilmenge $M$ eines vollständigen metrischen Raumes (z.B. von [mm] $\IR$) [/mm] ist vollständig. Denn wegen der Vollständigkeit des Gesamtraumes konvergiert jede Cauchyfolge mit Gliedern aus $M$ im Gesamtraum, weshalb, wegen der Abgeschlossenheit von $M$, auch deren Konvergenz in $M$ selbst folgt.
Das heisst: Für Teilmengen eines vollständigen metrischen Raumes sind die beiden Begriffe in der Tat äquivalent.
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Hallo Somebody,
herzlichen Dank für die schnelle und gut verständliche Antwort!
Greez,
Lorenz
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