Abgeschlossene Menge < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:45 Di 28.05.2013 | | Autor: | SandySan |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Menge [mm] \{f\in C^0[0,1:f(0)=5]\} [/mm] abegschlossen ist. |
Ich wollte folgenden Satz verwenden:
Sei X ein metrischer Raum. Eine Teilmenge A [mm] \subseteq [/mm] X ist abegschlossen genau dann, wenn für jede Folge [mm] (x_n)_{n\in \IN } [/mm] in A, die in X konvergiert, der Grenzwert auch in A liegt.
Also sollte für [mm] f_n \subseteq \{f\in C^0^[0,1]: f(0)=5\}, [/mm] gelten [mm] f_n \to f\in \{f\in C^0^[0,1]: f(0)=5\} [/mm]
Dann hab ich doch zu zeigen, dass:
[mm] \|f_n-f\|_{\infty} \to [/mm] 0 gilt, oder nicht ?
Das wäre dann soviel wie Gleichmäßige konvergenz.
Die funktion konvergiert Punktweise, gegen die grenzfunktion f(x)=5
Dann gilt also zz.
[mm] \|f_n-5\|_{\infty} \to [/mm] 0
[mm] \|f_n-5\|_{\infty}= \max_{f \in C^0[0,1]} \|f_n(x)-5\|,
[/mm]
dass maximum von der Menge ist aber grade 5, also erscheint mir die aussage etwas zu klar :/,
denn dann wäre doch [mm] \max_{f \in C^0[0,1]} \|f_n(x)-5\| [/mm] = [mm] \|5-5\| [/mm] = 0 [mm] \to [/mm] 0
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:13 Mi 29.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie, dass die Menge [mm]\{f\in C^0[0,1:f(0)=5]\}[/mm]
[mm]\{f\in C^0[0,1\red{\;]}:f(0)=5]\}[/mm]
> abegschlossen ist.
>
> Ich wollte folgenden Satz verwenden:
>
> Sei X ein metrischer Raum. Eine Teilmenge A [mm]\subseteq[/mm] X
> ist abegschlossen genau dann, wenn für jede Folge
> [mm](x_n)_{n\in \IN }[/mm] in A, die in X konvergiert, der Grenzwert
> auch in A liegt.
>
> Also sollte für [mm]f_n \subseteq \{f\in C^0^[0,1]: f(0)=5\},[/mm]
Du meinst [mm] $f_n \red{\;\in\;}\{f\in C^0[0,1]: f(0)=5\}$ [/mm] (manche schreiben auch
[mm] $\{f_n\} \subseteq \{f\in C^0[0,1]: f(0)=5\}$... [/mm] ich finde dann aber
[mm] $$(f_n)_n \in \{f\in C^0[0,1]: f(0)=5\}^{\IN}$$
[/mm]
besser!)
> gelten [mm]f_n \to f\in \{f\in C^0^[0,1]: f(0)=5\}[/mm]
Uuuhhh schreibe hier besser:
[mm] $$f_n \to [/mm] f [mm] \Rightarrow [/mm] f [mm] \in \{g\in C^0[0,1]: g(0)=5\}$$
[/mm]
ist zu zeigen - mal deutlicher:
Konvergiert [mm] $(f_n)_n$ [/mm] gegen ein [mm] $f\,,$ [/mm] dann muss auch $f [mm] \in C^0[0,1]$ [/mm] mit
[mm] $f(0)=5\,$ [/mm] gelten!
> Dann hab ich doch zu zeigen, dass:
>
> [mm]\|f_n-f\|_{\infty} \to[/mm] 0 gilt, oder nicht ?
?? Nein: Du nimmst eine Folge [mm] $(f_n)$ [/mm] in [mm] $\{g\in C^0[0,1]: g(0)=5\}$ [/mm] her, und für diese
soll es eine Funktion [mm] $f\colon [/mm] [0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] geben mit [mm] $f_n \to f\,.$ [/mm] (Das sind
die Voraussetzungen!)
Dann ist nachzuweisen, dass $f [mm] \in C^0[0,1]$ [/mm] und $f(0)=5$ gelten muss!
Ob [mm] $f_n \to [/mm] f$ bzgl. der durch [mm] $\|.\|_\infty$ [/mm] induzierten Metrik gemeint ist, das weiß
ich nicht - es könnte aber möglich sein und macht Sinn. Das muss Du mal
selbst nachschlagen, wie hier "die Länge einer Funktion ausgewertet
wird"!
> Das wäre dann soviel wie Gleichmäßige konvergenz.
Ja: Du gehst also davon aus: Es sind alle [mm] $f_n \in \{g\in C^0[0,1]: g(0)=5\}\,$ [/mm] und es gibt
ein $f: [0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] mit [mm] $\|f_n-f\|_\infty \to 0\,.$
[/mm]
Zu zeigen ist nun: Dann ist $f [mm] \in \{g\in C^0[0,1]: g(0)=5\}\,.$
[/mm]
> Die funktion konvergiert Punktweise, gegen die
> grenzfunktion f(x)=5
Unsinn!
> Dann gilt also zz.
>
> [mm]\|f_n-5\|_{\infty} \to[/mm] 0
Nein! Hier können wir schon aufhören, denn das macht keinen Sinn.
Wie gesagt:
Seien die [mm] $f_n \in \{g\in C^0[0,1]: g(0)=5\}$ [/mm] mit [mm] $f_n \to [/mm] f$ bzgl. [mm] $\|.\|_\infty$ [/mm] mit einem $f [mm] \colon [/mm] [0,1] [mm] \to \IR\,.$
[/mm]
Du hast schon richtig erkannt: Alle [mm] $f_n$ [/mm] sind stetig, und daher ist auch die
gleichmäßige Grenzfunktion einer Folge stetiger Funktionen.... na: was wohl?
Es ist also noch [mm] $f(0)=5\,$ [/mm] zu begründen: Wegen [mm] $f_n(0)=5$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$
[/mm]
folgt aber [mm] $f_n(0)=5 \to [/mm] ...$ :na was wohl?
(Beachte: Konvergiert eine Funktionenfolge glm. gegen eine Grenzfunktion,
so muss diese Grenzfunktion in notwendiger Weise auch die pktw. Grenzfunktion
sein!
Also: Aus [mm] $\|f_n-f\|_\infty \to [/mm] 0$ folgt [mm] $|f_n(x)-f(x)| \to [/mm] 0$ für alle [mm] $x\,.$
[/mm]
Das ist generell auch bei folgender Überlegung interessant: Nehmen wir an,
Du hast konkrete [mm] $f_n\,$ [/mm] gegeben. Nun ist die Frage: Konvergiert die Folge
[mm] $(f_n)_n$ [/mm] gleichmäßig?
Dann ist es nicht unbedingt verkehrt, sich erstmal anzugucken, ob die Folge
pktw. konvergiert: Tut sie das nicht, kann sie auch nicht glm. konvergieren.
Wenn sie pktw. konvergiert, dann ist der einzige Kandidat für die "glm.
Grenzfunktion" eben die "pktw. Grenzfunktion"!)
P.S. Gehe ich richtig in der Annahme, dass [mm] $C^0[0,1]=C[0,1]$ [/mm] die Menge der stetigen
Funktionen $[0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] ist? Oder hat die hochstehende 0 bei [mm] $C^0$ [/mm] doch
noch eine zusätzliche Bedeutung? Falls ja, dann müssten wir evtl. oben
noch was 'ergänzen'...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:34 Do 30.05.2013 | | Autor: | SandySan |
> Hallo,
>
> > Zeigen Sie, dass die Menge [mm]\{f\in C^0[0,1:f(0)=5]\}[/mm]
>
> [mm]\{f\in C^0[0,1\red{\;]}:f(0)=5]\}[/mm]
>
> > abegschlossen ist.
> >
> > Ich wollte folgenden Satz verwenden:
> >
> > Sei X ein metrischer Raum. Eine Teilmenge A [mm]\subseteq[/mm] X
> > ist abegschlossen genau dann, wenn für jede Folge
> > [mm](x_n)_{n\in \IN }[/mm] in A, die in X konvergiert, der Grenzwert
> > auch in A liegt.
> >
> > Also sollte für [mm]f_n \subseteq \{f\in C^0^[0,1]: f(0)=5\},[/mm]
>
> Du meinst [mm]f_n \red{\;\in\;}\{f\in C^0[0,1]: f(0)=5\}[/mm]
> (manche schreiben auch
> [mm]\{f_n\} \subseteq \{f\in C^0[0,1]: f(0)=5\}[/mm]... ich finde
> dann aber
> [mm](f_n)_n \in \{f\in C^0[0,1]: f(0)=5\}^{\IN}[/mm]
> besser!)
>
> > gelten [mm]f_n \to f\in \{f\in C^0^[0,1]: f(0)=5\}[/mm]
>
> Uuuhhh schreibe hier besser:
> [mm]f_n \to f \Rightarrow f \in \{g\in C^0[0,1]: g(0)=5\}[/mm]
> ist
> zu zeigen - mal deutlicher:
> Konvergiert [mm](f_n)_n[/mm] gegen ein [mm]f\,,[/mm] dann muss auch [mm]f \in C^0[0,1][/mm]
> mit
> [mm]f(0)=5\,[/mm] gelten!
>
> > Dann hab ich doch zu zeigen, dass:
> >
> > [mm]\|f_n-f\|_{\infty} \to[/mm] 0 gilt, oder nicht ?
>
> ?? Nein: Du nimmst eine Folge [mm](f_n)[/mm] in [mm]\{g\in C^0[0,1]: g(0)=5\}[/mm]
> her, und für diese
> soll es eine Funktion [mm]f\colon [0,1] \to \IR[/mm] geben mit [mm]f_n \to f\,.[/mm]
> (Das sind
> die Voraussetzungen!)
> Dann ist nachzuweisen, dass [mm]f \in C^0[0,1][/mm] und [mm]f(0)=5[/mm]
> gelten muss!
>
> Ob [mm]f_n \to f[/mm] bzgl. der durch [mm]\|.\|_\infty[/mm] induzierten
> Metrik gemeint ist, das weiß
> ich nicht - es könnte aber möglich sein und macht Sinn.
> Das muss Du mal
> selbst nachschlagen, wie hier "die Länge einer Funktion
> ausgewertet
> wird"!
>
> > Das wäre dann soviel wie Gleichmäßige konvergenz.
>
> Ja: Du gehst also davon aus: Es sind alle [mm]f_n \in \{g\in C^0[0,1]: g(0)=5\}\,[/mm]
> und es gibt
> ein [mm]f: [0,1] \to \IR[/mm] mit [mm]\|f_n-f\|_\infty \to 0\,.[/mm]
> Zu
> zeigen ist nun: Dann ist [mm]f \in \{g\in C^0[0,1]: g(0)=5\}\,.[/mm]
>
> > Die funktion konvergiert Punktweise, gegen die
> > grenzfunktion f(x)=5
>
> Unsinn!
>
> > Dann gilt also zz.
> >
> > [mm]\|f_n-5\|_{\infty} \to[/mm] 0
>
> Nein! Hier können wir schon aufhören, denn das macht
> keinen Sinn.
>
> Wie gesagt:
> Seien die [mm]f_n \in \{g\in C^0[0,1]: g(0)=5\}[/mm] mit [mm]f_n \to f[/mm]
> bzgl. [mm]\|.\|_\infty[/mm] mit einem [mm]f \colon [0,1] \to \IR\,.[/mm]
>
> Du hast schon richtig erkannt: Alle [mm]f_n[/mm] sind stetig, und
> daher ist auch die
> gleichmäßige Grenzfunktion einer Folge stetiger
> Funktionen.... na: was wohl?
stetig.
> Es ist also noch [mm]f(0)=5\,[/mm] zu begründen: Wegen [mm]f_n(0)=5[/mm]
> für alle [mm]n \in \IN[/mm]
> folgt aber [mm]f_n(0)=5 \to ...[/mm] :na was
> wohl?
[mm] f_n(0)=5 \to [/mm] 5
> (Beachte: Konvergiert eine Funktionenfolge glm. gegen eine
> Grenzfunktion,
> so muss diese Grenzfunktion in notwendiger Weise auch die
> pktw. Grenzfunktion
> sein!
> Also: Aus [mm]\|f_n-f\|_\infty \to 0[/mm] folgt [mm]|f_n(x)-f(x)| \to 0[/mm]
> für alle [mm]x\,.[/mm]
>
> Das ist generell auch bei folgender Überlegung
> interessant: Nehmen wir an,
> Du hast konkrete [mm]f_n\,[/mm] gegeben. Nun ist die Frage:
> Konvergiert die Folge
> [mm](f_n)_n[/mm] gleichmäßig?
> Dann ist es nicht unbedingt verkehrt, sich erstmal
> anzugucken, ob die Folge
> pktw. konvergiert: Tut sie das nicht, kann sie auch nicht
> glm. konvergieren.
> Wenn sie pktw. konvergiert, dann ist der einzige Kandidat
> für die "glm.
> Grenzfunktion" eben die "pktw. Grenzfunktion"!)
>
> P.S. Gehe ich richtig in der Annahme, dass [mm]C^0[0,1]=C[0,1][/mm]
> die Menge der stetigen
> Funktionen [mm][0,1] \to \IR[/mm] ist? Oder hat die hochstehende 0
> bei [mm]C^0[/mm] doch
> noch eine zusätzliche Bedeutung? Falls ja, dann müssten
> wir evtl. oben
> noch was 'ergänzen'...
Nein, das war so schon richtig :)
> Gruß,
> Marcel
Lg. Sandy
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