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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:43 Mi 30.04.2008 | | Autor: | skydyke |
| Aufgabe | Es sei f: [mm] \IR \to \IR [/mm] eine stetige Funktion. Zeigen Sie dass die durch den Graphen von f definierte Menge
A ={(x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] : y [mm] \le [/mm] f(x)}
abgeschlosen ist. |
hallo,
ich hab den Satz:
Sei X metrischer Raum. Für A [mm] \subseteq [/mm] X gilt:
A abgeschlossen [mm] \gdw [/mm] Für jede Folge [mm] (x_n)\subseteq [/mm] A mit [mm] \limes_{n \to \infty}x_n [/mm] = x [mm] \in [/mm] X gilt x [mm] \in [/mm] A
mit diesem satz wollt ich die abgeschlossenheit zeigen. aber irgendwie kann ich diesen satz nicht anwenden, weil ich nicht genau weiß wie ich das machen soll.
kann mir hier vielleicht einer helfen?
lg
sabrina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:20 Mi 30.04.2008 | | Autor: | fred97 |
Der metr. Raum ist hier der Raum R². Nimm eine konvergente Folge in A, diese ist koordinatenweise (komponentenweise) konvergent.
Benutze die Stetigkeit von f und zeig, dass der Limes obiger Folge wieder in A liegt,
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Mi 30.04.2008 | | Autor: | skydyke |
also ich habe verstanden wie ich das zeigen kann, danke dafür
aber ich habe keine ahnung von folgen, wie sieht denn eine folge von A aus? in etwa so:
[mm] a_n [/mm] = [mm] (x,y)^n [/mm] ???
tut mir leid aber ich hab echt kein plan von diesem thema...
lg
sabrina
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:43 Mi 30.04.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
> aber ich habe keine ahnung von folgen, wie sieht denn eine
> folge von A aus? in etwa so:
> [mm]a_n[/mm] = [mm](x,y)^n[/mm] ???
Sei [mm] $(z_n)_{n\in\IN}\subset A\subset\IR^2$ [/mm] eine konvergente Folge (also [mm] $z_n\longrightarrow z\in\IR^2$ [/mm] für [mm] $t\to\infty$), [/mm] d.h.
[mm] $z_n=\vektor{x_n \\ y_n}$
[/mm]
Hierbei sind [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] und [mm] $(y_n)_{n\in\IN}$ [/mm] reelle konvergente Folgen, d.h.
[mm] $x_n\longrightarrow x\in\IR$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
[mm] $y_n\longrightarrow y\in\IR$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
wobei du nun zeigen musst, dass
[mm] $z=\vektor{x \\ y}\in [/mm] A$
liegt.
Gruß Denny
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:05 Fr 02.05.2008 | | Autor: | skydyke |
hi Denny, danke für den tipp, ich hoffe mal ich hab das richtig umgesetzt...
zu zeigen ist dass
z=(x,y) [mm] \in [/mm] A
Ich hab die Menge A = {(x,y) [mm] \in \IR^2: [/mm] y [mm] \le [/mm] f(x)}
z=(x,y) ist [mm] \in \IR^2 \Rightarrow [/mm] z ist auch [mm] \in [/mm] A, da A Teilmenge von [mm] \IR^2 [/mm] ist. Somit hat man gezeigt das der Limes der Folge [mm] z_n [/mm] iweder in A liegt
[mm] \Rightarrow [/mm] A ist abgeschlossen
wäre das jetzt soweit richtig, oder muss man das noch formler machen?
lg
sabrina
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:53 Fr 02.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sabrina,
> hi Denny, danke für den tipp, ich hoffe mal ich hab das
> richtig umgesetzt...
>
> zu zeigen ist dass
>
> z=(x,y) [mm] $\in$ [/mm] A
>
> Ich hab die Menge A = [mm] $\{(x,y) \in \IR^2: y \le f(x)}$
[/mm]
>
> z=(x,y) ist [mm] $\in \IR^2$ $\Rightarrow$ [/mm] z ist auch [mm] $\in [/mm] A$, da A
> Teilmenge von [mm]\IR^2[/mm] ist.
das ist Unsinn. Nach "Deiner" Logik wäre ja auch [mm] $\IR^2=\{(0,0)\}$, [/mm] weil [mm] $\{(0,0)\} \subset \IR^2$. [/mm] Du behauptest dort:
[mm] $\red{A \subset \IR^2 \Rightarrow \forall x \in \IR^2: x \in A}$
[/mm]
Richtig ist aber:
$A [mm] \subset \IR^2 \Rightarrow \forall \blue{x \in A}: \blue{x \in \IR^2}$.
[/mm]
Also nochmal:
Du hast folgendes zu zeigen:
(I) Ist [mm] $(z_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Folge in $A [mm] \subset \IR^2$, [/mm] die gegen ein $z [mm] \in \IR^2$ [/mm] konvergiert, so gilt auch:
$z [mm] \in [/mm] A$.
(Erinnerung: Nach Definition von $A$ gilt für $z=(x,y) [mm] \in \IR^2$:
[/mm]
$z [mm] \in [/mm] A [mm] \gdw [/mm] y [mm] \le [/mm] f(x)$.)
Jetzt gehst Du so vor:
Nimm' Dir irgendeine Folge [mm] $(z_n)_{n \in \IN}$ [/mm] aus $A$ her, sie konvergiere gegen ein $z=(x,y) [mm] \in \IR^2$. [/mm] Weil [mm] $z_n \in [/mm] A$ für jedes $n [mm] \in \IN$, [/mm] gibt es für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] eine (eindeutige) Darstellung [mm] $z_n=(x_n,y_n)$ [/mm] (folglich sind [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] und [mm] $(y_n)_{n \in \IN}$ [/mm] Folgen in [mm] $\IR$) [/mm] und es gilt zudem für jedes $n [mm] \in \IN$:
[/mm]
[mm] $y_n \le f(x_n)$
[/mm]
Wegen ![[]](/images/popup.gif) Bemerkung 8.17 hier [mm] ($\leftarrow$ anklicken) gilt wegen $z_n=(x_n,y_n) \to z=(x,y)$, dass $x_n \to x$ und $y_n \to y$ bei $n \to \infty.$
D.h.:
Momentan weißt Du:
Es gelten folgende Dinge:
$(\star)$ $x_n \to x$ und $y_n \to y$ bei $n \to \infty$ sowie, dass $y_n \le f(x_n)$ für jedes $n \in \IN$ gilt.
Wegen $z_n \to z=(x,y) \in \IR^2$ musst Du nun nach (I) noch zeigen, dass mittels $(\star)$ dann auch $z \in A$ folgt, mit anderen Worten wegen $z=(x,y) \in \IR^2$:
Du musst zeigen: Aus $(\star)$ folgt dann auch, dass $y \le f(x)$.
Und dabei geht dann die Stetigkeit von $f$ ein, denn in $(\star)$ steht ja:
$y_n \le f(x_n)$ für jedes $n \in \IN$. Wenn Du nun dort $n \to \infty$ laufen läßt, folgt erstmal
$\lim_{n \to \infty}y_n=y \le \lim_{n \to \infty} f(x_n)$
wenn denn $\lim_{n \to \infty} f(x_n)$ überhaupt existiert.
Und rechts brauchst Du aber anstelle von $\lim_{n \to \infty} f(x_n)$ eigentlich $f(x)=f(\lim_{n \to \infty}x_n)$, und bei $\lim_{n \to \infty} f(x_n)$ darfst Du hier den Limes "reinziehen" weil...
Gruß,
Marcel
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:57 So 04.05.2008 | | Autor: | skydyke |
Hallo marcel,
vielen dank für die hilfe, ich konnte damit einen formalen beweis machen und ich habs verstanden :)
das f aus dem limes kann ich ziehen, da f stetig ist. ich glaub ich hab das gut verstanden, danke nochmal.
lg
sabrina
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