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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:29 Mi 28.05.2008 | | Autor: | fabson |
| Aufgabe | Im metrischen Raum [mm] \IR^2 [/mm] mit der euklidischen Metrik untersuche man, ob die Teilmenge X = [mm] \{ (x,\frac{1}{x}cosx) | x \in \IR^{*}_{+} \} [/mm] abgeschlossen ist.
Ist [mm] X\cup(\{0\}\times\IR) [/mm] abgeschlossen? |
Eine teilmenge ist ja abgeschlossen, wenn fuer alle folgen, deren glieder in der Teilmenge liegen, der Grenzwert auch in der Teilmenge liegt.
Da ich denke, dass die Menge nicht abgeschlossen ist, habe ich versucht mir eine Folge zu konstruieren, die in X liegt aber nicht deren Grenzwert, nähmlich:
[mm] x_{n} [/mm] := [mm] (\frac{1}{n}, ncos(\frac{1}{n}))
[/mm]
diese folge muesste ja in X liegen und für den Grenzwert gilt:
lim [mm] x_n [/mm] = x = (0, unendlich)
Kann ich jetzt einfach sagen, dass x nicht in X liegt, obwohl die zweite komponoente des Grenzwertes unendlich ist.
Und wie sieht dass bei X vereinigt [mm] (\{0\}\times\IR) [/mm] aus? unendlich liegt ja auch nicht in R und dann muesste ja auch diese Menge nicht abgeschlossen sein?
Vielen Dank schonmal im voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Im metrischen Raum [mm]\IR^2[/mm] mit der euklidischen Metrik
> untersuche man, ob die Teilmenge X = [mm]\{ (x,\frac{1}{x}cosx) | x \in \IR^{*}_{+} \}[/mm]
> abgeschlossen ist.
> Ist [mm]X\cup(\{0\}\times\IR)[/mm] abgeschlossen?
> Eine teilmenge ist ja abgeschlossen, wenn fuer alle
> folgen, deren glieder in der Teilmenge liegen, der
> Grenzwert auch in der Teilmenge liegt.
>
> Da ich denke, dass die Menge nicht abgeschlossen ist, habe
> ich versucht mir eine Folge zu konstruieren, die in X liegt
> aber nicht deren Grenzwert,
Die Grundidee ist richtig. Der Nachweis einer solchen Folge wird aber nur möglich sein, falls $X$ tatsächlich nicht abgeschlossen ist...
> nähmlich:
>
> [mm]x_{n}[/mm] := [mm](\frac{1}{n}, ncos(\frac{1}{n}))[/mm]
>
> diese folge muesste ja in X liegen und für den Grenzwert
> gilt:
>
> lim [mm]x_n[/mm] = x = (0, unendlich)
>
> Kann ich jetzt einfach sagen, dass x nicht in X liegt,
> obwohl die zweite komponoente des Grenzwertes unendlich
> ist.
Nein. Denn um zu zeigen, dass $X$ nicht abgeschlossen ist, müsstest Du eine Folge von Elementen aus $X$ angeben können, deren Limes in [mm] $\IR^2\backslash [/mm] X$ liegt. Aber der "Limes" [mm] $(0,\infty)$ [/mm] Deiner Folge existiert in [mm] $\IR^2$ [/mm] gar nicht, liegt also insbesondere nicht in [mm] $\IR^2\backslash [/mm] X$.
Ich, an Deiner Stelle, würde angesichts einer solchen Situation die Möglichkeit, dass $X$ tatsächlich abgeschlossen sein könnte, nicht ganz ausschliessen wollen.
Wäre dies der Fall, so würde aus der Abgeschlossenheit von $X$ und der Abgeschlossenheit von [mm] $\{0\}\times \IR$ [/mm] auch die Abgeschlossenheit ihrer Vereinigungsmenge folgen: denn die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen ist (bekanntlich) abgeschlossen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 Mi 28.05.2008 | | Autor: | fabson |
Ok, dann versuch ich mal abgeschlossenheit zu zeigen:
Ich nehme als eine Folge in [mm] x_n [/mm] := [mm] (a_n, b_n) [/mm] in X mit lim [mm] x_n [/mm] = (a,b). Dann muesste ja gelten
[mm] b_n [/mm] = [mm] \frac{1}{a_n}cosa_n
[/mm]
und
[mm] a_n \in \IR_{+}-\{0\}
[/mm]
? und daraus wuerde dann ja folgen
b = [mm] limb_n [/mm] = [mm] lim(\frac{1}{n}cosa_n) [/mm] = [mm] \frac{1}{lima_n}cos(lima_n) [/mm] = [mm] \frac{1}{a}cosa. [/mm] Und daraus dann, (a,b) [mm] \in [/mm] X?
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> Ok, dann versuch ich mal abgeschlossenheit zu zeigen:
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> Ich nehme als eine Folge in [mm]x_n[/mm] := [mm](a_n, b_n)[/mm] in X mit lim
> [mm]x_n[/mm] = (a,b). Dann muesste ja gelten
>
> [mm]b_n[/mm] = [mm]\frac{1}{a_n}cosa_n[/mm]
>
> und
>
> [mm]a_n \in \IR_{+}-\{0\}[/mm]
>
> ? und daraus
Du darfst annehmen, dass [mm] $(a,b)\in\IR^2$ [/mm] ist. Insbesondere ist [mm] $b\in \IR$ [/mm] (der Fall [mm] $b=+\infty$ [/mm] ist ausgeschlossen). Deshalb ist es auch nicht möglich, eine Folge von Elementen [mm] $(a_n,b_n)$ [/mm] aus $X$ zu finden, derart dass der Limes [mm] $(a,b)=\lim_{n\rightarrow \infty} (a_n,b_n)$ [/mm] die erste Koordinate $a=0$ hat: für den Limes jeder konvergenten Folge von Elementen aus $X$ muss der Limes der ersten Koordinate $a>0$ sein. In diesem Falle kannst Du aber den Limes $b$ der zweiten Koordinaten [mm] $b_n$ [/mm] angeben: [mm] $b=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{a_n}\cos(a_n)=\frac{1}{a}\cos(a)$. [/mm] Nun ist aber offensichtlich [mm] $(a,b)=(a,\frac{1}{a}\cos(a))\in [/mm] X$, was zu zeigen war.
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