Abgeschlossenheit von Z(G) < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:07 Mo 08.11.2010 | | Autor: | FrageAcc |
| Aufgabe | Es sei G mit [mm] \circ [/mm] eine Gruppe. Das sogenannte Zentrum der Gruppe G ist wie folgt definiert:
Z(G):={a [mm] \in [/mm] G: a\ circ b = b [mm] \circ [/mm] a für alle b [mm] \in [/mm] G}.
Zeige, dass Z(g) mit der Verknüpfung [mm] \circ [/mm] eine abelsche Gruppe bildet. |
Wir haben den Beweis in einer Übungsstunde gemacht und ich habe ihn auch soweit verstanden, bis auf die Abgeschlossenheit! Die Übungsleiterin hat folgendes geschrieben:
Es seien a,c [mm] \in [/mm] Z(G), b beliebig aber fest.
z.z.: (a [mm] \circ [/mm] c) [mm] \circ [/mm] b = b [mm] \circ [/mm] (a [mm] \circ [/mm] c)
Da fängt es schon an! Warum ist die Gruppe abgeschlossen, wenn wir das zeigen? Ich komme auch nicht ganz mit der Formulierung "beliebig aber fest" klar...Ich schreibe trotzdem noch den Beweis hierein (aber darum geht es mir nicht!):
(a [mm] \circ [/mm] c) [mm] \circ [/mm] b = a [mm] \circ [/mm] (c [mm] \circ [/mm] b) = a [mm] \circ [/mm] (b [mm] \circ [/mm] c) = (a [mm] \circ [/mm] b) [mm] \circ [/mm] c = (b [mm] \circ [/mm] a) [mm] \circ [/mm] c = b [mm] \circ [/mm] (a [mm] \circ [/mm] c)
=> [mm] "\circ" [/mm] ist innere Verknüpfung
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:43 Di 09.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
> z.z.: (a $ [mm] \circ [/mm] $ c) $ [mm] \circ [/mm] $ b = b $ [mm] \circ [/mm] $ (a $ [mm] \circ [/mm] $ c)
> Da fängt es schon an! Warum ist die Gruppe abgeschlossen, wenn wir das
> zeigen?
Du meinst : "Warum ist Z(G) abgeschlossen"
Nun, Z(G) ist genau dann abgeschlossen, wenn für zwei beliebige Elemente a und c aus Z(G) auch deren Produkt a [mm] \circ [/mm] c in Z(G) liegt.
Ausführlicher geschrieben hätte der Beweis also so anfangen können :
" Seien a [mm] \in [/mm] Z(G) und c [mm] \in [/mm] Z(G) beliebig.
Zu zeigen : a [mm] \circ [/mm] c [mm] \in [/mm] Z(G) "
Nun ist aber das Kriterium dafür, dass ein Element von G (z.B. a [mm] \circ [/mm] c) in Z(G) liegt gerade, dass dieses Element mit allen Elementen der Gruppe kommutiert. Wenn G sehr umfangreich ist, wird man vielleicht im Leben nicht fertig, diese Kommutativität für alle Gruppenelemente einzeln nachzuweisen.
Deshalb nimmt man sich stellvertretend ein beliebiges Gruppenelement (dafür wird hier der Buchstabe b verwendet) her und zeigt die Kommutativität mit diesem. "Fest" bedeutet, dass dieses b im Folgenden dann immer für dasselbe Gruppenelement steht und nicht mehr verändert wird.
So kommt die z.z.-Zeile im Beweis zustande.
Gruß Sax.
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