Abgeschlossenheit zeigen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo
ich hänge manchmal leider an so grundlegenden Stellen fest..
X sei ein kompakter Hausdorffraum. Es existiere eine abgeschlossene Teilmenge D [mm] \subset [/mm] X mit [mm] I=I_D=\{f\in C(X): f_{|D}=0\}
[/mm]
Zu zeigen: I ist ein abgeschlossenes Ideal in C(X) (=Raum der komplexwertigen stetigen Funktionen auf X, ausgesattat mit der Supremumsnorm).
Dass I ein Ideal in C(X) ist, konnte ich schon zeigen. Ich wollte nun Abgeschlossenheit zeigen via Folgenabgeschlossenheit zeigen. Dh sei [mm] (f_h)\subseteq I_D [/mm] mit [mm] f_n \to [/mm] f in C(X) für f [mm] \in [/mm] C(X), also es gelte [mm] \|f_n-f\|_{\infty}\to [/mm] 0 für [mm] n\to \infty. [/mm] Zu zeigen: [mm] f\in I_D.
[/mm]
Kann man, weil insgesamt gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(sup_{x\in X}|f_n(x)-f(x)| [/mm] )=0 sagen, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(sup_{x\in D\subset X}|f_n(x)-f(x)| [/mm] ) = |f(x)|=0, weswegen f(x)=0 für alle [mm] x\in [/mm] D und daher f [mm] \in I_D [/mm] ? Aber man schaut sich ja nur die Stelle an, an der sich das Supremum des Abstandes befindet. Denke vor allem, dass deswegen "f(x)=0 für alle [mm] x\in [/mm] D" nicht so gefolgert werden kann.
Kann mir jemand hierbei bei der Abgeschlossenheit helfen?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:55 Di 08.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
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> ich hänge manchmal leider an so grundlegenden Stellen
> fest..
>
> X sei ein kompakter Hausdorffraum. Es existiere eine
> abgeschlossene Teilmenge D [mm]\subset[/mm] X mit [mm]I=I_D=\{f\in C(X): f_{|D}=0\}[/mm]
>
> Zu zeigen: I ist ein abgeschlossenes Ideal in C(X) (=Raum
> der komplexwertigen stetigen Funktionen auf X, ausgesattat
> mit der Supremumsnorm).
>
> Dass I ein Ideal in C(X) ist, konnte ich schon zeigen. Ich
> wollte nun Abgeschlossenheit zeigen via
> Folgenabgeschlossenheit zeigen. Dh sei [mm](f_h)\subseteq I_D[/mm]
> mit [mm]f_n \to[/mm] f in C(X) für f [mm]\in[/mm] C(X), also es gelte
> [mm]\|f_n-f\|_{\infty}\to[/mm] 0 für [mm]n\to \infty.[/mm] Zu zeigen: [mm]f\in I_D.[/mm]
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> Kann man, weil insgesamt gilt
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(sup_{x\in X}|f_n(x)-f(x)|[/mm] )=0
> sagen, dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(sup_{x\in D\subset X}|f_n(x)-f(x)|[/mm]
> ) = |f(x)|=0,
Wie kommst Du darauf ????
> weswegen f(x)=0 für alle [mm]x\in[/mm] D und daher f
> [mm]\in I_D[/mm] ? Aber man schaut sich ja nur die Stelle an, an der
> sich das Supremum des Abstandes befindet.
Dieses Supremum muss nicht angenommen werden !!!
> Denke vor allem,
> dass deswegen "f(x)=0 für alle [mm]x\in[/mm] D" nicht so gefolgert
> werden kann.
> Kann mir jemand hierbei bei der Abgeschlossenheit helfen?
> Liebe Grüße
>
>
Sei x [mm] \in [/mm] D: Dann ist
[mm] |f(x)|=|f(x)-f_n(x)| \le \|f_n-f\|_{\infty}\ [/mm] für alle n
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:29 Di 08.07.2014 | | Autor: | Schachtel5 |
oh man, danke.. ich glaub, das war gestern nicht mehr meine Uhrzeit.
Danke.
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