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| Aufgabe | Im Wahrscheinlichkeitsraum [mm] \Omega=\{0,1\}^n [/mm] mit der Gleichverteilung P seien die Ereignisse [mm] A_j=\{ (\omega_1, ..., \omega_n) \in \Omega | \omega_j = 1 \} [/mm] für j=1,...,n und
[mm] A_{n+1}=\{ (\omega_1, ..., \omega_n) \in \Omega | \omega_1+...+\omega_n gerade \}
[/mm]
gegeben. Zeigen Sie, dass [mm] A_1,..., A_n, A_{n+1} [/mm] abhängig, aber jeweils n dieser n+1 Ereignisse unabhängig sind. |
Hallo
Die Definition sagt, dass
[mm] P(\bigcap_{i=1}^{n+1} A_i)=P(A_1)*...*P(A_{n+1}) [/mm] sein muss für die Unabhängigkeit.
Nehme an, dass ich, um zu zeigen, dass die n+1 Ereignisse abhängig sind, zu einem Widerspruch führen muss.
Verstehe da jetzt aber gar nicht, was zu tun ist, ich kann die ja nicht aufrechnen, weil ja nur der j-te Eintrag gegeben ist.
Kann mir da bitte jemand weiterhelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 Mo 05.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Im Wahrscheinlichkeitsraum [mm]\Omega=\{0,1\}^n[/mm] mit der
> Gleichverteilung P seien die Ereignisse [mm]A_j=\{ (\omega_1, ..., \omega_n) \in \Omega | \omega_j = 1 \}[/mm]
> für j=1,...,n und
>
> [mm]A_{n+1}=\{ (\omega_1, ..., \omega_n) \in \Omega | \omega_1+...+\omega_n gerade \}[/mm]
>
> gegeben. Zeigen Sie, dass [mm]A_1,..., A_n, A_{n+1}[/mm] abhängig,
> aber jeweils n dieser n+1 Ereignisse unabhängig sind.
> Hallo
>
> Die Definition sagt, dass
>
>
> [mm]P(\bigcap_{i=1}^{n+1} A_i)=P(A_1)*...*P(A_{n+1})[/mm] sein muss
> für die Unabhängigkeit.
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> Nehme an, dass ich, um zu zeigen, dass die n+1 Ereignisse
> abhängig sind, zu einem Widerspruch führen muss.
>
> Verstehe da jetzt aber gar nicht, was zu tun ist, ich kann
> die ja nicht aufrechnen, weil ja nur der j-te Eintrag
> gegeben ist.
Wieviel Elemente enthält [mm] \Omega [/mm] ?
Wieviel Elemente enthält [mm] A_1 [/mm] ?
Was ist dann [mm] P(A_1) [/mm] ?
Warum ist [mm] P(A_j)=P(A_1) [/mm] für j=2,..., n ?
Wie sieht [mm] \bigcap_{i=1}^{n}A_i [/mm] aus ?
Wie sieht [mm] \bigcap_{i=1}^{n+1}A_i [/mm] aus ?
FRED
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> Kann mir da bitte jemand weiterhelfen?
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Danke. Ich habe:
[mm] |\Omega|=2^n
[/mm]
[mm] |A_i|=2^{n-1} \forall [/mm] i [mm] \in \{ 1,...,n \}
[/mm]
[mm] P(A_i)=\bruch{1}{2} \forall [/mm] i [mm] \in \{ 1,...,n \}
[/mm]
[mm] (A_j)=P(A_1) \forall [/mm] j [mm] \in \{ 1,...,n \} [/mm] weil in jeder Menge nur ein omega fixiert ist, die anderen sind frei wählbar.
[mm] \bigcap_{i=1}^{n}A_i [/mm] = (1,1,1,1,...,1)
Ich konnte jetzt mit Widerspruchsannahme zeigen, dass [mm] A_1, [/mm] ..., [mm] A_{n+1} [/mm] nicht unabhängig sind.
Ich erhielt [mm] \bigcap_{i=1}^{n+1} A_i [/mm] = (1,....,1) wenn n gerade oder = [mm] \emptyset [/mm] wenn n ungerade.
Wo ich nun feststehe ist:
[mm] |A_{n+1}|=\summe_{k=0}^{\bruch{n}{2}} \vektor{n \\ 2k} [/mm] für n gerade, der Vektor ist das Binomialzeichen
[mm] |A_{n+1}|=\summe_{k=0}^{\bruch{n-1}{2}} \vektor{n \\ 1+2k} [/mm] für n ungerade
Wie kann ich das umformen, damit ich eine Zahl erhalte für die Anzahl Elemente in [mm] A_{n+1}? [/mm] Ich finde keine passende Binomialreihe...
Grüsse
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Mi 07.03.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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