Abhängigkeit oder Unabhängigke < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:46 So 11.03.2007 | | Autor: | heine |
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Hallo,
könnte mir bitte jemand erklären, warum im ersten Beispiel die Ereignismengen abhängig und im zweiten unabhängig sind.
1.Beispiel:
Auf einem Glücksrad kann man mit gleicher Wahrscheinlichkeit eine der erste hundert natürlichen Zahlen drehen. Es gewinnen die Zahlen, welche durch 6 oder 8 teilbar sind. Es sei A: Zahl durch 6 teilbar; B: Zahl durch 8 Teilbar. Dann gilt: P(A) 16/100 P(B) 12/100 und P(A) geschnitten (B) 4/100 da es 16 Zahlen gibt die durch 6 teilbar sind, 12 die durch 8 teilbar sind und genau 4, die durch 6 und 8 teilbar sind. Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen ist also:
P(A [mm] \cup [/mm] B)= 0,16 + 0,12 - 0,04 = 0,24 (wg. allgemeinem Additionssatz) Die Ereignismengen sind also abhängig da gilt P(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \not= [/mm] P(A) * P(B)
2. Beispiel:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine Dame oder ein Herzblatt zu ziehen? Es sei A: Dame und B: Herz.
P(A)= 4/32
P(B)= 8/32
P(A [mm] \cap [/mm] B)= (4/32 * 8/32) da es vier Damen und acht Herzen und daher genau eine Herzdame gibt.
P(A [mm] \cup [/mm] B)= 4/32 + 8/32 - (4/32*8/32)
Die Ereignismengen sind also unabhängig, da gilt P(A [mm] \cap [/mm] B) = P(A)*P(B)
Ich verstehe nicht warum bei Beispiel 1 die Ergebnismengen abhängig und bei Beispiel 2 unabhängig sind. Könnte mir das bitte jemand erläutern. Vielen Dank und noch einen schönen Sonntag
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Hi, Heine,
bei Deiner Rechnung verstehe ich nicht, warum Du jedes Mal auch [mm] P(A\quad \cup [/mm] B) berechnest: Diese Wahrscheinlichkeit hat mit der Unabhängigkeit nichts zu tun!
Nun zur Erläuterung Deiner Beispiele.
Sicher möchtest Du nicht wissen, wie man die Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit beweist, denn die Rechnungen hast Du ja selbst richtig durchgeführt.
Du möchtest eher wissen, wie das jeweils zu verstehen ist.
Ich fange mit dem zweiten Beispiel an:
In einem Spiel mit 32 Karten sind 4 Damen, daher beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, eine Dame zu ziehen, [mm] \bruch{1}{8}.
[/mm]
Nun betrachtet man nur die Herzkarten; dies sind 8 Stück.
Die Wahrscheinlichkeit, aus diesen 8 Karten eine (= "die") Dame zu ziehen, beträgt ebenfalls [mm] \bruch{1}{8}.
[/mm]
Die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer Dame ist demnach UNABHÄNGIG davon, ob Du alle Karten hernimmst oder nur die 8 Herzen.
Nun zu Deinem ersten Beispiel.
In den natürlichen Zahlen von 1 bis 100 sind 12, die durch 8 teilbar sind; Wahrscheinlichkeit für eine durch 8 teilbare Zahl ist: 0,12.
Unter den 16 Zahlen, die durch 6 teilbar sind, gibt es vier, die durch 8 teilbar sind. Die Wahrscheinlichkeit, aus DIESEN 16 Zahlen eine durch 8 teilbare zu ziehen, ist daher: [mm] \bruch{4}{16} [/mm] = 0,25, also ungefähr doppelt so groß!
Demnach ist es hier nicht gleichgültig, ob Du die durch 8 teilbaren Zahlen aus allen 100 oder nur aus den 16 durch 6 teilbaren ziehst: Die Wahrscheinlichkeit hängt von der Grundmenge ab!
(Woher dies kommt, kannst Du Dir u.a. so erklären: Die 16 durch 6 teilbaren Zahlen sind ja schon mal zumindest gerade Zahlen; unter den 100 natürlichen Zahlen von 1 bis 100 sind aber ja alleine 50 ungerade Zahlen, die für eine Teilbarkeit durch 8 eh nicht in Frage kommen!)
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:07 So 11.03.2007 | | Autor: | heine |
Hallo,
erstmal vielen Dank. Ich hab das jetzt ungefähr verstanden. Könntest du mir vielleicht auch noch erklären, wie es sich bei dieser Aufgabe verält.
Aufgabe: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit das Schütze eins oder Schütze zwei trifft?
P(A)=0,7
P(B)=0,8
Im Unterricht haben wir das folgendermaßen berechnet:
P(A [mm] \cap [/mm] B)= 0,7*0,8 <-- d.h. doch, dass die Ereignismengen unabhängig sind. Warum bzw. wie erkenne ich dies?
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Hi, Heine,
> erstmal vielen Dank. Ich hab das jetzt ungefähr verstanden.
> Könntest du mir vielleicht auch noch erklären, wie es sich
> bei dieser Aufgabe verält.
>
> Aufgabe: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit das Schütze
> eins oder Schütze zwei trifft?
>
> P(A)=0,7
> P(B)=0,8
>
> Im Unterricht haben wir das folgendermaßen berechnet:
>
> P(A [mm]\cap[/mm] B)= 0,7*0,8 <-- d.h. doch, dass die Ereignismengen
> unabhängig sind. Warum bzw. wie erkenne ich dies?
Das ist aber NICHT die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Schütze 1 ODER Schütze 2 trifft, sondern dafür, dass BEIDE ZUGLEICH treffen!
Warum geht man hier von der Unabhängigkeit aus?
Nun:
Aus Gründen der Logik: Wie sollte denn die Trefferwahrscheinlichkeit der beiden Schützen voneinander abhängen? Vielleicht weil Schütze 2 erschrickt, dass Schütze 1 auch ganz gut trifft und er daher dann schlechter schießt?
Oder wird umgekehrt sein Ehrgeiz geweckt und er trifft noch besser, um dem Schützen 1 zu zeigen, wo der Bartel den Most holt?
Ich glaube, es ist einzusehen, dass die Treffsicherheit des einen Schützen nicht steigt oder fällt, nur weil der andere Schütze entsprechend gut trifft:
Beide sind unabhängig voneinander!
mfG!
Zwerglein
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