Abi 2001 Saarland < Abivorbereitung < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo ich habe hier eine Frage aus dem Abi 2001 aus dem Saarland.
Ich habe hier eine Abi-Aufgabe mit der ich, eigentlich als Fortgeschrittener nicht lösen kann.
fa(x) = a*(ax + 1)*e^(-ax) a Element R+
1.6 Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangenten t von fa. Die Wendetangente bildet mit den Koordinatenachsen ein Dreieck. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks.
(zur Kontrolle t: y = (-[mm]a^2[/mm] * x)/e + 3a/e)
also das heißt am Anfang von der Gleich ung a quadrat und NICHT a hoch 2x nur zum Verständnis
1.7 Der Schnittpunkt Na von fa mit der x-Achse, der Wendepunkt Wa und dr Schnittpunkt Sa der Wendetangenten mit der x-Achse bilden ein Dreieck
1.71. Zeigen Sie, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist
1.7.2 Bestimmen Sie a so, dass das Dreieck rechtwinklig ist.
Rechnet es bitte mal durch, ich würde mich sehr freuen, denn ich weiß wirklich nit wie ich das rechnen soll.
MfG DerMathematiker
|
|
| |
|
Hallo,
wie ich sehe bin ich nicht die einzige, die für Mathe büffelt.
Ich versuche mal dir die Aufgaben zu erklären.
Also, zuerst nenne ich dir mal die Ergebnisse, die ich bei der Diskussion der Funktion erhalten habe:
meine drei ableitungen lauten:
fa'(x)= -a^(3)*x*e^(-ax)
fa''(x)= e^(-ax)*((a^(4))*x-a^(3))
fa'''(x)= -a^(5)*x*e^(-ax)
die Nullstelle Na liegt bei x= -1/a vor
ein Hochpunkt liegt bei (0/a) vor
ein Wendepunkt liegt für x= 1/a und y= 2a/e vor
im positiv Unendlichen nähert sich der Graph gegen die x-Achse
im negativ Unendlichen läuft der Graph gegen negativ Unendlich
So, an dieser Stelle ist es sinnvoll den Graphen für a=1 zu zeichnen, das erleichtert dir die folgenden Aufgaben.
1.6) Berechnung der Wendetangente
Die Tangente im Wendepunkt (s.o.) des Graphen berechnest du folgendermaßen:
die allgemeine Gleichung für Geraden lautet ja: y= m*x +c
Zuerst berechnest du m, die Steigung, indem du die x-Koordinate in die erste Ableitung (schließlich gibt die Ableitung die Steigung in einem Punkt des Graphen an) einsetzt und vereinfachst.
Dann erhälst du: y= [mm] -(a^2/e)*x [/mm] +c
Jetzt musst du noch c, den y-Achsenabschnitt berechnen. Das tust du indem du den Wendepunkt einfach in die noch "unfertige" Tangentengleichung einsetzt:
2a/e = - [mm] (a^2/e) [/mm] * (1/a) +c
jetzt musst du nach c auflösen und erhälst zusammen mit m die schon von dir angegebene Wendetangente!
Bis hierhin gefolgt?
Gesucht ist jetzt der Flächeninhalt zwischen Koordinatenkreuze und Wendetangente. Am besten ist es auch hier, wenn du die Wendetangente für a=1 in das Schaubild einzeichnest.
Der Flächeninhalt ist also ein rechtwinkliges Dreieck! Es gilt also: A=0,5* (Y-Achsenabschnitt)*(Schnittpunkt der Wendetangente mit der x-Achse)
Den Y-Achsenabschnitt hast du bereits in der Wendetangentenform (c!) und den Schnittpunkt mit der x-Achse kannst du dir selbst bestimmen (du weißt sicherlich wie!) (Zur Kontrolle: A= 3/e)
1.7.1)
Wieder gilt: am besten das gesuchte Dreieck ins Schaubild einzeichnen!
Man kann den Wendepunkt als "Spitze" bezeichnen. Wir wissen, dass die Spitze, bei x=1/a liegt.
Damit das Dreieck gleichschenklig ist, musst du zeigen, dass die Abstände von Na bzw. Sa zu x= 1/a gleich groß sind.
(Zur Kontrolle: Die Abstände betragen s= 2/a (du musst auf Betrag achten!)) Hierbei Probleme? Ist dir klar, wieso du nur dies zeigen musst?
1.7.2)
Nun soll das Dreick bei der Spitze, also unserem Wendepunkt einen Winkel von 90° betragen. Der Winkel am WEP ist abhängig von a.
Ein Blick in die Formelsammlung sagt für rechtwinklige Dreiecke gilt:
(Höhensatz) [mm] h^2= [/mm] p*q
wobei h die Höhe zur Spitze ist und p und q jeweils das eine Stück der Strecke,welche gegenüber der Spitze liegt und von der Höhe geteilt wird sind.
h, p und q hast du schon aus den vorherigen Überlegungen:
h = y-Koordinate des Wendepunkts
q,p= Strecke s aus 1.7.1
alles in die Formel einsetzen und man erhält: a= e^(1/3)
(dritte Wurzel aus e).
Okay, ich hoffe du hast alles verstanden. Wenn nicht bitte nachfragen, denn ich weiß immer nicht was ich alles erklären soll.
Vielleicht kann jemand Korrektur lesen?
viele Grüße, dancing estrella
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:48 Mo 05.04.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo zusammen!
> wie ich sehe bin ich nicht die einzige, die für Mathe
> büffelt.
> Ich versuche mal dir die Aufgaben zu erklären.
Finde ich klasse von dir, das bringt dir sicher auch was (siehe Startseite des MatheRaum  )
> Also, zuerst nenne ich dir mal die Ergebnisse, die ich bei
> der Diskussion der Funktion erhalten habe:
>
> meine drei ableitungen lauten:
> fa'(x)= -a^(3)*x*e^(-ax)
> fa''(x)= e^(-ax)*((a^(4))*x-a^(3))
Das habe ich auch herausbekommen...
> fa'''(x)= -a^(5)*x*e^(-ax)
... aber das nicht. Meine Rechnung:
[mm] f_a''(x)=e^{-ax}*(a^4*x-a^3)
[/mm]
[mm] f_a'''(x)=e^{-ax}*(-a)*(a^4*x-a^3)+e^{-ax}*(a^4)
[/mm]
[mm] =e^{-ax}*(-a^5+a^4+a^4)
[/mm]
[mm] =e^{-ax}*(2a^4-a^5)
[/mm]
Zum Glück ändert das aber nichts am Endergebnis.
>
> die Nullstelle Na liegt bei x= -1/a vor
> ein Hochpunkt liegt bei (0/a) vor
> ein Wendepunkt liegt für x= 1/a und y= 2a/e vor
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> im positiv Unendlichen nähert sich der Graph gegen die
> x-Achse
> im negativ Unendlichen läuft der Graph gegen negativ
> Unendlich
> So, an dieser Stelle ist es sinnvoll den Graphen für a=1 zu
> zeichnen, das erleichtert dir die folgenden Aufgaben.
Es ist aber klar, dass wir für das Folgende nur die Berechnung des Wendepunkts benötigen; der Rest (Nullstellen, Extremstellen etc.) war nur eine Übung von dancingestrella (was ich sehr gut finde, schließlich waren das ja bestimmt die ersten 5 Aufgabenteile.
> 1.6) Berechnung der Wendetangente
> Die Tangente im Wendepunkt (s.o.) des Graphen berechnest
> du folgendermaßen:
> die allgemeine Gleichung für Geraden lautet ja: y= m*x +c
> Zuerst berechnest du m, die Steigung, indem du die
> x-Koordinate in die erste Ableitung (schließlich gibt die
> Ableitung die Steigung in einem Punkt des Graphen an)
> einsetzt und vereinfachst.
> Dann erhälst du: y= [mm] -(a^2/e)*x [/mm] +c
> Jetzt musst du noch c, den y-Achsenabschnitt berechnen.
> Das tust du indem du den Wendepunkt einfach in die noch
> "unfertige" Tangentengleichung einsetzt:
> 2a/e = - [mm] (a^2/e) [/mm] * (1/a) +c
> jetzt musst du nach c auflösen und erhälst zusammen mit m
> die schon von dir angegebene Wendetangente!
> Bis hierhin gefolgt?
> Gesucht ist jetzt der Flächeninhalt zwischen
> Koordinatenkreuze und Wendetangente. Am besten ist es auch
> hier, wenn du die Wendetangente für a=1 in das Schaubild
> einzeichnest.
> Der Flächeninhalt ist also ein rechtwinkliges Dreieck! Es
> gilt also: A=0,5* (Y-Achsenabschnitt)*(Schnittpunkt der
> Wendetangente mit der x-Achse)
> Den Y-Achsenabschnitt hast du bereits in der
> Wendetangentenform (c!) und den Schnittpunkt mit der
> x-Achse kannst du dir selbst bestimmen (du weißt sicherlich
> wie!) (Zur Kontrolle: A= 3/e)
Hier habe ich was anderes raus.
Für den Schnittpunkt der Wendetangente mit der x-Achse habe ich [mm] (\bruch{3}{a}|0) [/mm] raus; der Schnittpunkt mit der y-Achse ist [mm] (0|\bruch{3a}{e}).
[/mm]
Für den Flächeninhalt ergibt sich so:
[mm] A=\bruch{\bruch{3}{a}*\bruch{3a}{e}}{2}=\bruch{9}{2e}
[/mm]
(Für eine Vergrößerung der Formeln auf die Formeln klicken!)
> 1.7.1)
> Wieder gilt: am besten das gesuchte Dreieck ins Schaubild
> einzeichnen!
> Man kann den Wendepunkt als "Spitze" bezeichnen. Wir
> wissen, dass die Spitze, bei x=1/a liegt.
> Damit das Dreieck gleichschenklig ist, musst du zeigen,
> dass die Abstände von Na bzw. Sa zu x= 1/a gleich groß
> sind.
> (Zur Kontrolle: Die Abstände betragen s= 2/a (du musst auf
> Betrag achten!)) Hierbei Probleme? Ist dir klar, wieso du
> nur dies zeigen musst?
>
> 1.7.2)
> Nun soll das Dreick bei der Spitze, also unserem
> Wendepunkt einen Winkel von 90° betragen. Der Winkel am WEP
> ist abhängig von a.
> Ein Blick in die Formelsammlung sagt für rechtwinklige
> Dreiecke gilt:
> (Höhensatz) [mm] h^2= [/mm] p*q
> wobei h die Höhe zur Spitze ist und p und q jeweils das
> eine Stück der Strecke,welche gegenüber der Spitze liegt
> und von der Höhe geteilt wird sind.
Nicht schlecht, diese Idee. Ich hatte zuerst an den Satz des Pythagoras gedacht, aber das ist hier tatsächlich ungünstig, da man ja die Katheten erst noch berechnen muß. Da ist es sehr cleaver, den Höhensatz anzuwenden
> h, p und q hast du schon aus den vorherigen
> Überlegungen:
> h = y-Koordinate des Wendepunkts
> q,p= Strecke s aus 1.7.1
> alles in die Formel einsetzen und man erhält: a= e^(1/3)
> (dritte Wurzel aus e).
Hier habe ich aber raus:
[mm] h^2=p*q
[/mm]
[mm] \gdw \left(\bruch{2a}{e}\right)^2=\bruch{2}{a}*\bruch{2}{a}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{4a^2}{e^2}=\bruch{4}{a^2}
[/mm]
[mm] \gdw 4a^4=4e^2
[/mm]
[mm] \gdw a^2=e
[/mm]
[mm] \gdw a=\wurzel{e}
[/mm]
aber ich vertue mich auch gerne mal
Zum Schluß spendiere ich auch noch den Plot für a=1:
[Dateianhang nicht öffentlich]
--Marc
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Hallo Marc,
ich wollte eigentlich nur sagen, dass du mit deinen Werten hier recht hast. Aber ich finde es spitze von DancingEstella, dass sie mir geantwortet hat "Weiter so"
Ich werde nun weiter rechnen und hab schon ein bissel mehr was verstanden und versuche nun die komplette Aufgabe zu lösen.
In welchem Bundesland machst du Abi Estella?
MfG Der Mathematiker
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:17 Di 06.04.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe dancingestrella!
Ich finde es klasse, dass du hier trotz deines Abi-Stresses so toll hilfst und dich immer um ausführliche und verständliche Erklärungen bemühst, die dir auch wirklich sehr gut gelingen!
Nun hoffen wir mal, dass es dir - wie von Marc angesprochen - wenigstens auch selber ein bisschen hilft.
Das musste ich jetzt einfach mal loswerden.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
Hallo Alle miteinander,
danke danke für die vielen Antworten und ich werde nun das erst mal wieder für mich alleine durchrechnen und schauen, ob ich es irgendwie lösen kann (so war das bei meinem letzten Problem auch einmal) und werde dann mein Ergebnis und die Lösung aus dem Abi-Lösungsbuch hier herein schreiben.
MfG DerMathematiker
PS: Ihr seid echt spitze!
(Wie kann man so geile Funktionen plotten, d.h. mehrere Funktionen ineinander geschachtelt + diese Fläche? Wie macht man das?)
|
|
|
| |
|
Hallo Ihr,
danke für die vielen Antworten, aber ich habe es mittlerweile auch wieder selbst raus bekommen, wie sollte es anders sein.
Habe nur eine neue Lösungsvariante für 1.7.2 in dem man die Steigung der Geraden NaWa ausrechnet und auch von WaSa (mit Hilfe der Punktsteigungsformel m = delta y/delta x
(Sorry, irgendwie funktioniert mein JavaScript nicht.
Ansonsten habe ich alles wie Ihr und wie gesagt, Marc hatte mit seinen Antworten Recht.
Mit freundlichen Grüßen und noch vielen Dank,
DerMathematiker (der wieder einmal was gelernt hat )
|
|
|
| |
|
Hallo Ihr,
ich habe nur vergessen hinzuzufügen, dass man dann nur noch die beiden Steigungen miteinander multiplizieren muss und dann -1 setzen muss, dann kommt man auf dasselbe Ergebnis, nämlich a = sqr e denn a = - sqr e fällt weg, denn a Element R+.
Das war schon alles.
MfG DerMathematiker
PS: Falls jemand weiß warum mein Javascript plötzlich nicht mehr funktioniert bitte hier hin:
https://matheraum.de/read?f=25&t=43&i=43
|
|
|
|
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
FunkyPlot
