Abitur-Aufgabe, BW, LK, 1992 < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 21:08 Mi 14.04.2004 | | Autor: | Stefan |
Bearbeitunsgzeit: ca. 120 Minuten
Der in dem kartesichen Koordinatensystem gegebene Körper stellt ein kompaktes Werkstück mit den ecken $P(3|0|0)$, $Q(0|4|0)$, $R(0|0|0)$, $S(3|0|6)$, $T(0|4|7)$ und $U(0|0|8)$ dar. (Maße in cm).
Der Grundfläche $PQR$ und die Deckfläche $STU$ sind ebene Dreiecksflächen. Die Seitenflächen $PQTS$, $QRUT$ und $RPSU$ sind ebene Trapezflächen.
a) Geben Sie eine Koordinatengleichung der Ebene $E$ an, in der die Deckfläche $STU$ liegt.
Berechnen Sie den Innenwinkel im Werkstück zwischen der Deckfläche $STU$ und der Seitenfläche $PQTS$.
Bestimmen Sie den Winkel zwischen der Kante $RU$ und der Deckfläche $STU$.
b) Vom oberen Teil des Werkstücks wird nun so viel abgeschliffen, dass das verbleibende Werkstück ein dreiseitiges Prisma mit der Höhe [mm]6cm[/mm] ist.
Berechnen Sie die Volumenabnahme, die das Werkstück durch das Abschleifen erfährt.
$U'$ sei der durch das Abschleifen entstehende Eckpunkt des Prismas, der auf der [mm] $x_3$-Achse [/mm] liegt.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes $L$ auf der Werkstückskante $PQ$, der von $U'$ minimale Entfernung hat.
Wie groß ist diese Entfernung?
c) Das abgeschliffene Werkstück wird parallel zur [mm] $x_3$-Achse [/mm] zylindrisch durchbohrt. Die geringste Wandstärke zwischen Bohrlochrand und Seitenfläche soll bei allen drei Seitenflächen jeweils $0,6cm$ betragen.
Welchen Durchmesser $d$ hat das zylindrische Bohrloch?
Auf das obere Bohrloch wird zur Abdichtung eine Stahlkugel gelegt. Diese Kugel sinkt dabei $0,2cm$ tief in das Bohrloch ein.
Berechnen Sie den Durchmesser der Kugel, und geben Sie die Koordinaten des Mittelpunkts an.
Untersuchen Sie rechnersich, ob die Kugel vom Punkt $H(0|-7|0)$ aus teilweise sichtbar ist.
(Ich persönlich hasse solche Aufgaben übrigens.  )
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Ich hoffe jemand kann mir sagen, ob ich alles richtig gemacht habe, bzw. was bei Aufgabe b) falsch ist, denn der Wert kann nicht stimmen ...
a)
[mm] E_{1}: \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{s} [/mm] +[mm] \alpha [/mm] [mm] \overrightarrow{ST} [/mm] +[mm] \beta[/mm] [mm] \overrightarrow{SU}
[/mm]
[mm]E_{1}: \vec{x}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}[/mm] +[mm] \alpha [/mm] [mm] \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] +[mm] \beta [/mm] [mm] \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] E_{2}: \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{s} [/mm] +[mm] \gamma [/mm] [mm] \overrightarrow{ST}[/mm] +[mm] \delta[/mm] [mm] \overrightarrow{SP}[/mm]
[mm]E_{2}: \vec{x}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}[/mm] +[mm] \gamma [/mm] [mm] \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] +[mm] \delta [/mm] [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -6 \end{pmatrix}
[/mm]
Ich haben dann das Kreuzprodukt der Vektoren SU und ST gebildet, welches ich Vektor n1 nannte.
Außerdem habe ich das gleiche bei ebenen2 gemacht und nach minimieren n2 genannt..
[mm]\vec{n_{1}}[/mm]= [mm]\begin{pmatrix} -8 \\ -3 \\ -12 \end{pmatrix}[/mm]
|[mm]\vec{n_{1}}[/mm]|= 14,731
[mm]\vec{n_{2}}[/mm]= [mm]\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
|[mm]\vec{n_{2}}[/mm]|= 5
cos "Winkel1" = -0,557
"Winkel1" = 123,82°
"Winkel2" = 180°-"Winkel1" = 56,176°
"Winkel3" = arccos 0,8146 = 35,451°
"Winkel4" = 54,549°
b)
|[mm]\overrightarrow{RU}[/mm]| = 6 = [mm]\wurzel{0 + 0 + u'_{3}²}[/mm] => [mm]u'_{3}[/mm] = 6
[mm] g_{1}: \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{q} [/mm] + k [mm] \overrightarrow{QP}[/mm]
= [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] + k [mm]\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
[mm]\vec{n_{3}}[/mm] * [mm]\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] = 0
Kann ich nun einfach [mm] \vec{n_{3}} [/mm] mit [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] wählen??
Wenn ja, kann ich dann [mm]\vec{n_{1}}[/mm] * [mm]\vec{q}[/mm] = 12 nehmen und dann rechnen:
d= [mm]\bruch{|-12|}{5}[/mm] = 2,4
Wenn ich das tu, komm ich nämlich auf einen Abstand von 2,4 - das scheint mir aber gar nicht logisch...
Wo ist der Fehler ober besser gesagt, was kann ich an den kritischen Stellen anders machen?
MfG
Daniel
/Edit:
Ich habe mir noch folgendes überlegt:
Wenn ich eine Ebene aufspann und der richtungsvektor von der Geraden ist der n Vektor der Ebene. Und der Ortsvektor der Ebene sei der Punkt U'...
Dann könnte ich doch die Ebene und die Gerade gleichsetzen und habe den gesuchten Lotfußpunkt.
Wenn ich jetzt aber die Normalform der Ebene bilde hab ich:
[mm] \vec{n} [/mm] * [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{n} [/mm] * [mm]\vec{u'}[/mm]
3 * [mm] x_{1} [/mm] - 4 * [mm] x_{2} [/mm] + 0 * [mm] x_{3} [/mm] = d
Dann mit Punkt U' komm ich auf d = 0
Nun müsste ich nur noch irgendwie den mist gleichsetzen... ich bin total am verzweifeln - ich kann nur hoffen, dass das morgen nicht im abi dran kommt :-/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:31 So 01.05.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo Daniel!
Bitte mache dich nicht verrückt, wir besprechen jetzt noch diese eine Aufgabe und dann gehst du schlafen! ![[belehren]](/images/smileys/belehren.gif "[belehren]")
> a)
> [mm]E_{1}: \vec{x}[/mm] = [mm]\vec{s}[/mm] +[mm] \alpha[/mm] [mm]\overrightarrow{ST}[/mm] +[mm] \beta[/mm]
> [mm]\overrightarrow{SU}[/mm]
>
> [mm]E_{1}: \vec{x}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}[/mm]
> +[mm] \alpha[/mm] [mm]\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] +[mm] \beta[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]E_{2}: \vec{x}[/mm] = [mm]\vec{s}[/mm] +[mm] \gamma[/mm] [mm]\overrightarrow{ST}[/mm] +[mm] \delta[/mm]
> [mm]\overrightarrow{SP}[/mm]
>
> [mm]E_{2}: \vec{x}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}[/mm]
> +[mm] \gamma[/mm] [mm]\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] +[mm] \delta[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -6 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Ich haben dann das Kreuzprodukt der Vektoren SU und ST
> gebildet, welches ich Vektor n1 nannte.
> Außerdem habe ich das gleiche bei ebenen2 gemacht und nach
> minimieren n2 genannt..
Meinst du hier "normieren"? Aber [mm] $n_2$ [/mm] im folgenden ist doch gar nicht normiert? Für die Winkelberechnung ist das Normieren aber auch nicht nötig.
> [mm]\vec{n_{1}}[/mm]= [mm]\begin{pmatrix} -8 \\ -3 \\ -12 \end{pmatrix}[/mm]
>
> |[mm]\vec{n_{1}}[/mm]|= 14,731
>
> [mm]\vec{n_{2}}[/mm]= [mm]\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> |[mm]\vec{n_{2}}[/mm]|= 5
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , alles richtig.
> cos "Winkel1" = -0,557
> "Winkel1" = 123,82°
> "Winkel2" = 180°-"Winkel1" = 56,176°
>
> "Winkel3" = arccos 0,8146 = 35,451°
> "Winkel4" = 54,549°
Hab' ich jetzt nicht nachgerechnet, aber die Vorgehensweise ist richtig.
> b)
> |[mm]\overrightarrow{RU}[/mm]| = 6 = [mm]\wurzel{0 + 0 + u'_{3}²}[/mm] =>
> [mm]u'_{3}[/mm] = 6
> [mm]g_{1}: \vec{x}[/mm] = [mm]\vec{q}[/mm] + k [mm]\overrightarrow{QP}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] + k
> [mm]\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\vec{n_{3}}[/mm] * [mm]\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] =
> 0
>
> Kann ich nun einfach [mm]\vec{n_{3}}[/mm] mit [mm]\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> wählen??
Nein, das ist doch nur irgendein Vektor, der senkrecht auf der Geraden steht. Wir brauchen aber einen, der senkrecht auf der Geraden steht und in Richtung U' zeigt.
Im übrigens ist das hier ein ganz normales Abstandsproblem "Punkt <-> Gerade", siehe  AbstandsberechnungenR3.
> Wenn ja, kann ich dann [mm]\vec{n_{1}}[/mm] * [mm]\vec{q}[/mm] = 12 nehmen
> und dann rechnen:
>
> d= [mm]\bruch{|-12|}{5}[/mm] = 2,4
>
> Wenn ich das tu, komm ich nämlich auf einen Abstand von 2,4
> - das scheint mir aber gar nicht logisch...
Mir auch nicht...
> Wo ist der Fehler ober besser gesagt, was kann ich an den
> kritischen Stellen anders machen?
>
>
> MfG
> Daniel
>
>
> /Edit:
>
> Ich habe mir noch folgendes überlegt:
>
> Wenn ich eine Ebene aufspann und der richtungsvektor von
> der Geraden ist der n Vektor der Ebene. Und der
> Ortsvektor der Ebene sei der Punkt U'...
>
> Dann könnte ich doch die Ebene und die Gerade gleichsetzen
> und habe den gesuchten Lotfußpunkt.
Exakt, das ist der "konstruktive" Weg, den Lotfußpunkt zu ermitteln (siehe mein Link oben).
> Wenn ich jetzt aber die Normalform der Ebene bilde hab
> ich:
>
> [mm]\vec{n}[/mm] * [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vec{n}[/mm] * [mm]\vec{u'}[/mm]
> 3 * [mm]x_{1}[/mm] - 4 * [mm]x_{2}[/mm] + 0 * [mm]x_{3}[/mm] = d
> Dann mit Punkt U' komm ich auf d = 0
Die Formel, die du hier benutzt, ist mir nicht ganz klar.
Meiner Meinung nach müßte sie lauten:
[mm] $d=|\vec{n_0}*(\vec{x}-\vec{u'})|$
[/mm]
Beachte, dass hier [mm] $n_{\red{0}}$, [/mm] der normierte Normalenvektor, steht. (Es gilt: [mm] $\vec{n_0}=\vec{n}*\bruch{1}{|\vec{n}|}$)
[/mm]
> Nun müsste ich nur noch irgendwie den mist gleichsetzen...
> ich bin total am verzweifeln - ich kann nur hoffen, dass
> das morgen nicht im abi dran kommt :-/
Wenn du die oben erwähnte Formel nicht nutzen willst, müßtest du doch die Geradengleichung in die Hilfsebene einsetzen und die Gleichung nach dem Parameter der Geradengleichung auflösen; zu diesem Parameter gehört dann der gesuchte Lotfußpunkt L. Dann gilt: [mm] $d=|\overrightarrow{LU'}|$.
[/mm]
So, jetzt ab ins Bett! Alles, was du dir jetzt noch ansiehst, hast du morgen sowieso wieder vergessen. Da ist es wichtiger, dass du ausgeruht an die Sache rangehst. Von den beiden Lösungswegen, die du hier präsentiert hast, habe ich auch den Eindruck, dass du bei ruhigem Nachdenken über die Probleme die Lösungen sicher finden wirst.
Ich wünsche dir viel Erfolg!
Marc
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:21 Di 16.01.2007 | | Autor: | guddi |
Unser Lehrer hat uns diese Aufgabe gegeben und ich hänge beim Aufgabenteil c) völlig.
Dass ich den Inkreis dafür benötige ist klar. Dass der gesuchte Umfang dem Umfang des Inkreises minus 0,6cm entspricht ist auch klar, aber wie komme ich auf den Mittelpunkt des Inkreises!? mit den Schnittpunkten der Winkelhalbierenden, aber das ist recht aufwendig.
Gibt es da einen anderen Weg?
Vielen Dank schon mal
mfg
Daniel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:29 Do 25.01.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Unser Lehrer hat uns diese Aufgabe gegeben und ich hänge
> beim Aufgabenteil c) völlig.
>
> Dass ich den Inkreis dafür benötige ist klar. Dass der
> gesuchte Umfang dem Umfang des Inkreises minus 0,6cm
> entspricht ist auch klar, aber wie komme ich auf den
> Mittelpunkt des Inkreises!? mit den Schnittpunkten der
> Winkelhalbierenden, aber das ist recht aufwendig.
>
> Gibt es da einen anderen Weg?
Ich befürchte nicht
>
> Vielen Dank schon mal
> mfg
> Daniel
Marius
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