Abitur-Vorbereitung: Aufgabe 1, GK < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 15:05 Sa 21.02.2004 | | Autor: | Marc |
Dies ist eine Original-Abituraufgabe eines Grundkurses in Sachsen-Anhalt, 2000 (entnommen aus "Mentor Abitur-Hilfe")
Jeder ist eingeladen, seine Lösung oder Fragen in diesen Diskussionsstrang zu posten.
Damit die Diskussion übersichtlich bleibt, bearbeitet bitte pro geposteten Artikel nur eine Teilaufgabe a), b),..., also klickt für jede Teilaufgabe einfach auf "Ich möchte jetzt eine Frage zu obiger Mitteilung stellen.".
(Eure Antworten sind also so zu sagen Fragen an den MatheRaum; das ist vielleicht ein bisschen verwirrend, aber ihr fragt ja gewissenmaßen den MatheRaum, ob eure Lösung richtig ist. Die Unterscheidung Mitteilung oder Frage ist wichtig, da der MatheRaum ein komfortables Verwaltungssystem offener Fragen zur Verfügung stellt, von dem ihr dann auch profitieren könnt.)
Und nun viel Spaß mit der Aufgabe 
Gegeben ist die Funktion $f$ durch [mm] $y=f(x)=\bruch{(x-1)^2}{x}$, $x\in\IR$, $x\neq0$.
[/mm]
Ihr Graph sei mit $G$ bezeichnet.
a) Untersuchen Sie die Funktion $f$ auf Null- und Polstellen, auf ihr Verhalten für [mm] $x\to\pm\infty$ [/mm] sowie den Graphen $G$ auf Extrempunkte und bestimmen Sie gegebenenfalls deren Lage und Art.
Zeichnen Sie den Graphen $G$ im Intervall [mm] $-6\leq x\leq6$.
[/mm]
b) Im Punkt $P(-4|f(-4))$ wird an den Graphen der Funktion $f$ eine Tangente [mm] $t_1$ [/mm] gelegt.
Zeigen Sie, dass diese Tangente die y-Achse im Punkt $S(0|-2,5)$ schneidet.
Es existiert an den Graphen $G$ genau eine Tangente [mm] $t_2$, [/mm] die zur Tangente [mm] $t_1$ [/mm] parallel verläuft. Ihr Berührpunkt mit dem Graphen $G$ sei der Punkt $Q$.
[Ergebnis zur Kontrolle: $Q(4|2,25)$]
c) Eine Gerade schneide den Graphen $G$ in den Punkten $Q$ (aus Teilaufgabe b)) und $R(0,25|2,25)$. Diese Gerade und der Graph $G$ schließen eine Fläche vollständig ein.
Berechnen Sie die Maßzahl des Inhalts dieser Fläche.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:44 So 22.02.2004 | | Autor: | flo |
Hallo Marc! :)
Vielen Dank für Deine schnelle Reaktion!
Leider bin ich ein bisschen zu doof für Mathe und deshalb
habe ich schon bei der ersten Aufgabe ziemliche Probleme!
Vielleicht könnt ihr mir ja weiterhelfen...
Also, meine Nullstelle liegt bei x=1 - ich hoffe, dass wenigstens das
richtig ist...
Das mit den Polstellen habe ich immer noch nicht verstanden...
Woher weiss ich, an welchen Wert ich mich annähern muss?
Auch das Verhalten für x -> Unendlich verstehe ich nicht wirklich...
Ich dachte, dass ich dafür die Asymptote ausrechnen müsste, stimmt das?
Falls ja, ich habe bei der Polynomdivision x-2 + 1/x herausbekommen..
Wäre dann x-2 die Asymptote?
Meine erste Ableitung ist [mm] -3x^2 [/mm] +1/ [mm] x^2
[/mm]
aber die ist, glaube ich, falsch, da ich bei der Nullsetzung n.d. herausbekommen habe und dann hätte die Funktion ja keine Extrema...
Ihr seht schon, ich bin ein richtiger Problemfall! :(
Trotzdem vielen Dank für eure Mühe! :)
Ganz liebe Grüße, flo :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:26 So 22.02.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo flo,
Nullstellen
> Also, meine Nullstelle liegt bei x=1 - ich hoffe, dass
> wenigstens das
> richtig ist...
Das ist absolut richtig. Die Rechnung dazu:
$f(x)=0$
[mm] $\gdw \bruch{(x-1)^2}{x}=0$ [/mm] (mit dem Nenner multiplizieren)
[mm] $\gdw (x-1)^2=0$ [/mm] (Wurzel ziehen oder besser: Argumentieren, dass $(x-1)(x-1)=0 [mm] \gdw [/mm] x-1=0$
[mm] $\gdw [/mm] x-1=0$
[mm] $\gdw [/mm] x=1$
Polstellen
> Das mit den Polstellen habe ich immer noch nicht
> verstanden...
> Woher weiss ich, an welchen Wert ich mich annähern muss?
Eine Polstelle ist bei einer gebrochenrationalen Funktion --wie dieser hier-- immer eine Nullstelle des Nenners; aber Vorsicht: Dieser Satz gilt nicht umgekehrt! Eine Nullstelle des Nenners ist nämlich entweder
a) eine hebbare Definitionslücke oder
b) eine Polstelle.
Ich weiß jetzt nicht, wie tief Ihr dieses Thema behandelt habt, deswegen frage ich jetzt: Hattet Ihr (schon) Vielfachheiten von Nullstellen? Oder kannst du dich (alternativ) daran erinnern, dass Ihr eine Linearfaktorzerlegung des Zählers und Nenners vorgenommen habt? Oder dass Ihr den Zähler und Nenner sukzessive durch gemeinsame Nullstellen per Polynomdivision geteilt habt? Falls dir diese drei Dinge nichts sagen, ist nicht schlimm, mir sind schon mehrere Grundkurse untergekommen, die das gar nicht behandelt hatten und dementsprechend nur Aufgaben lösen mußten, bei denen folgende Vorgehensweise reichte:
Es gilt der Satz:
Eine gebrochenrationale Funktion [mm] $f(x)=\bruch{g(x)}{h(h)}$ [/mm] hat an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] eine Polstelle, wenn [mm] $g(x_0)\neq0$ [/mm] und [mm] $h(x_0)=0$.
[/mm]
In Worten: Hat der Nenner eine Nullstelle bei [mm] $x_0$, [/mm] der Zähler aber nicht, so hat die gebrochenrationale Funktion eine Polstelle bei [mm] $x_0$.
[/mm]
Jetzt versuche diesen Satz mal auf $f$ anzuwenden...
Verhalten für [mm] $x\to\pm\infty$ [/mm]
> Auch das Verhalten für x -> Unendlich verstehe ich nicht
> wirklich...
> Ich dachte, dass ich dafür die Asymptote ausrechnen
> müsste, stimmt das?
Ja, gute Idee. Es geht zwar auch ohne Asymptoten, aber häufig muß man sie ja ohnehin bestimmen, so dass man sie auch gleich dafür verwenden kann.
> Falls ja, ich habe bei der Polynomdivision x-2 + 1/x
> herausbekommen..
> Wäre dann x-2 die Asymptote?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , das ist korrekt. Jetzt fehlt nur noch der Rückschluss auf das Verhalten im Undendlichen. Kannst du was dazu sagen?
Ableitung
> Meine erste Ableitung ist [mm] -3x^2 [/mm] +1/ [mm] x^2
[/mm]
> aber die ist, glaube ich, falsch, da ich bei der
Wie hast du die denn berechnet? Mit der Quotientenregel oder hast du die "polynomdividierte" Funktion benutzt?
Ich mache mal beides:
Quotientenregel: [mm] $f'(x)=\bruch{(2x-2)*x-(x^2-2x+1)*1}{x^2}$ $=\bruch{2x^2-2x-x^2+2x-1}{x^2}$ $=\bruch{x^2-1}{x^2}$ $=1-\bruch{1}{x^2}$
[/mm]
Ohne Quotientenregel: [mm] $f(x)=\bruch{(x-1)^2}{x}=x-2+\bruch{1}{x}$ $\Rightarrow f'(x)=1-\bruch{1}{x^2}$
[/mm]
(Kann es übrigens sein, dass du oben meinst [mm] (-3x^2+1)/x^2? [/mm] Bitte Klammern nicht vergessen. Aber es bleibt trotzdem falsch...)
> Nullsetzung n.d. herausbekommen habe und dann hätte die
> Funktion ja keine Extrema...
Extremstellen
$f'(x)=0$
[mm] $\gdw \bruch{x^2-1}{x^2}=0$
[/mm]
[mm] $\gdw x^2-1=0$
[/mm]
[mm] $\gdw x^2=1$
[/mm]
[mm] $\gdw \ldots$ [/mm] Kommst du alleine weiter?
Falls nicht, melde dich einfach nochmal. Und natürlich auch, wenn wir deine Ergebnisse und Rechenwege kontrollieren sollen.
> Ihr seht schon, ich bin ein richtiger Problemfall! :(
Bald nicht mehr
Viel Erfolg,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 So 22.02.2004 | | Autor: | flo |
Hallo Marc! :)
Es ist wirklich lieb, dass du dir so viel Mühe mit mir gibst! :)
Ich habe die erste Ableitung noch einmal gerechnet und kam freudestrahlend auf das gleiche Ergebnis wie du!
Meine zweite Ableitung lautet: [mm] (2x)/x^4
[/mm]
Zu der Polstelle:
Falls ich dich richtig verstanden habe, gibt es eine Polstelle an der Stelle x0, da f(0)=1/0, also g(x0) ungleich 0 und h(x0) = o ist.
Stimmt das jetzt?
Zu der Asymptote habe ich mir folgendes überlegt:
Da Asymptote a(x)=x-2 ist, lasse ich x gegen -2 laufen,
um das Verhalten für x gegen Unendlich zu bestimmen.
Also habe ich geschrieben:
lim ( [mm] (x-1)^2 [/mm] )/ (x) => - Unendlich (Zähler geht gegen 4 & Nenner -1)
x -> -2
x>-2
lim [mm] ((x-1)^2)/ [/mm] (x) => - Unendlich (Zähler 16 und Nenner -3)
x -> -2
x<-2
Ich habe mir das so ausgedacht, doch da in der Mathematik die Logik
vor der Phantasie steht, bin ich mir überhaupt nicht sicher...
Extrema!
Yippie, meine Funktion hat jetzt sogar Extrema! ;)
Und zwar liegt ein Tiefpunkt an der Stelle (1/ 0,5)
und ein Hochpunkt an der Stelle (-1/ -4,5)...
Wie siehst du das??
Ich habe die Funktion auch einmal nach Wendestellen untersucht..
habe jedoch keine finden können, da meine dritte Ableitung
[mm] (-6x^4) [/mm] / [mm] (x^6) [/mm] als ich das Ergebnis der Nullsetzung der 2. Ableitung (bei mir 0) eingesetzt habe, ebenfalls 0 herausbekommen habe
und somit die Hinreichende Bedingung nicht erfüllt wurde...
Liebe Grüße und herzlichen Dank,
flo :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 So 22.02.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo flo,
> Ich habe die erste Ableitung noch einmal gerechnet und kam
> freudestrahlend auf das gleiche Ergebnis wie du!
> Meine zweite Ableitung lautet: [mm] (2x)/x^4
[/mm]
, obwohl ich hier auf jeden Fall noch kürzen würde: [mm] $f''(x)=\bruch{2}{x^3}$
[/mm]
Du scheinst die zweite Ableitung mit der Quotientenregel berechnet zu haben; das ist hier viel zu kompliziert, ich würde die Potenzregel [mm] $f(x)=x^r \Rightarrow f'(x)=r*x^{r-1}$ [/mm] nehmen:
[mm] $f'(x)=1-\bruch{1}{x^2}=1-x^{-2} \Rightarrow f''(x)=-(-2)*x^{-3}=-2*x^{-3}$ [/mm] (s.o.)
> Zu der Polstelle:
> Falls ich dich richtig verstanden habe, gibt es eine
> Polstelle an der Stelle x0, da f(0)=1/0, also g(x0)
> ungleich 0 und h(x0) = o ist.
> Stimmt das jetzt?
Ja, wenn du [mm] $x_0=0$ [/mm] meinst.
> Zu der Asymptote habe ich mir folgendes überlegt:
> Da Asymptote a(x)=x-2 ist, lasse ich x gegen -2 laufen,
> um das Verhalten für x gegen Unendlich zu bestimmen.
> Also habe ich geschrieben:
> lim ( [mm] (x-1)^2 [/mm] )/ (x) => - Unendlich (Zähler geht
> gegen 4 & Nenner -1)
> x -> -2
> x>-2
>
> lim [mm] ((x-1)^2)/ [/mm] (x) => - Unendlich (Zähler 16 und Nenner
> -3)
> x -> -2
> x<-2
>
> Ich habe mir das so ausgedacht, doch da in der Mathematik
> die Logik
> vor der Phantasie steht, bin ich mir überhaupt nicht
> sicher...
Schön, dass hier wenigstens dein Gefühl stimmt 
Ich weiß gar nicht, was du da gemacht hast oder wie du gedacht hast.
Es sieht so aus, als wäre das eine Rechnung zu der Vermutung, dass an der Stelle x=-2 eine Polstelle vorliegt. Vielleicht überprüft Ihr so ja die Polstellen? Dazu dann gleich mehr, ich zeige dir zunächst das Verhalten im Undendlichen.
Du hattest die Asymptote $a(x)=x-2$ gefunden. Ein Asympote ist ein Graph, dessen Vorschrift im allgemeinen einfacher als die Ausgangsfunktion ist (das trifft ja hier zu, a(x) ist einfacher als f(x)). Ausserdem "schmiegt" sich der Graph der Ausgangsfunktion für große x-Werte (positiv oder negativ) an die Asympote an; für große x-Werte können die beiden Graphen kaum noch voneinander unterschieden werden.
[mm] $f(x)=\bruch{(x-1)^2}{x}$ [/mm] sieht also "im Unendlichen" so aus wie $a(x)=x-2$.
Nun ist aber $a(x)$ eine Gerade mit positiver Steigung, deswegen ist
[mm] $\limes_{x\to+\infty}f(x)=\limes_{x\to+\infty}a(x)=\limes_{x\to+\infty} x+2=+\infty$ [/mm] und
[mm] $\limes_{x\to-\infty}f(x)=\limes_{x\to-\infty}a(x)=\limes_{x\to-\infty} x+2=-\infty$
[/mm]
Damit ist das Verhalten "im Unendlichen" geklärt.
Dass $a(x)$ Asympote ist, sieht man -- wie du bereits richtig angewendet hast -- durch Polynomdivision; sie lieferte ja
[mm] $f(x)=\bruch{(x-1)^2}{x}=x+2+\bruch{1}{x}$
[/mm]
Wenn du nun in $f(x)$ große Werte für $x$ einsetzt können wir folgendes schreiben:
[mm] $\limes_{x\to\pm\infty}f(x)=\limes_{x\to\pm\infty}\bruch{(x-1)^2}{x}=\limes_{x\to\pm\infty}x+2+\bruch{1}{x}$
[/mm]
[mm] $=\limes_{x\to\pm\infty}x+2+\underbrace{\limes_{x\to\pm\infty}\bruch{1}{x}}_{=0}$
[/mm]
[mm] $=\limes_{x\to\pm\infty}x+2$
[/mm]
[mm] $=\limes_{x\to\pm\infty}a(x)$
[/mm]
Das ist wirklich ein ganz simple Rechnung, die nur wegen meiner Ausführlichkeit vielleicht auf den ersten Blick kompliziert erscheint.
So, nun noch mal wie angekündigt zu den Polstellen.
Wir hatten ja schon gesehen, dass Polstellen nur an den Nullstellen des Nenners auftreten können (aber nicht müssen).
Ob es sich tatsächlich bei einer Nullstelle des Nenners um eine Polstelle handelt, könnte man auch durch eine Limes-Betrachtung wie du sie oben an der falschen Stelle angewandt hattest, herausfinden:
Die einzige Nullstelle des Nenners ist [mm] $x_0=0$. [/mm] Betrachten wir deswegen die beiden Limiten
[mm] $\limes_{x\to 0, x>0}f(x)$ [/mm] und
[mm] $\limes_{x\to 0, x<0}f(x)$
[/mm]
[mm] $\limes_{x\to 0, x>0}f(x)$ $=\limes_{x\to 0, x>0}\bruch{(x-1)^2}{x}$ $=\limes_{x\to 0, x>0}x+2+\bruch{1}{x}$ $=\underbrace{\limes_{x\to 0, x>0}x+2}_{=2}+\underbrace{\limes_{x\to 0, x>0}\bruch{1}{x}}_{=+\infty}$ $=+\infty$.
[/mm]
Ebenso folgt:
[mm] $\limes_{x\to 0, x<0}f(x)$ $=-\infty$.
[/mm]
Damit haben wir gezeigt, dass bei [mm] $x_0=0$ [/mm] eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel von [mm] $+\to-$ [/mm] vorliegt.
Schau doch mal in deinen Unterlagen, ob Ihr das auch so in der Schule gemacht habt.
> Extrema!
> Yippie, meine Funktion hat jetzt sogar Extrema! ;)
> Und zwar liegt ein Tiefpunkt an der Stelle (1/ 0,5)
> und ein Hochpunkt an der Stelle (-1/ -4,5)...
> Wie siehst du das??
Die Stellen (also die x-Werte) sind richtig, aber die y-Werte sind verwunderlich. An der Stelle $x=1$ haben wir ja gerade auch eine Nullstelle von $f$, also müßte der Tiefpunkt an der Stelle $(1|0)$ sein.
Für die Stelle $x=-1$ erhalte ich als y-Wert: [mm] $y=f(-1)=\bruch{(1-(-1))^2}{-1}=\bruch{2^2}{-1}=-4$.
[/mm]
> Ich habe die Funktion auch einmal nach Wendestellen
> untersucht..
> habe jedoch keine finden können, da meine dritte Ableitung
>
> [mm] (-6x^4) [/mm] / [mm] (x^6) [/mm] als ich das Ergebnis der Nullsetzung der 2.
Diese dritte Ableitung hast du bestimmt auch mit der Quotientenregel berechnet, s.o., sie ist aber diesmal nicht richtig.
Versuche es mal mit der Potenzregel, s.o.
> Ableitung (bei mir 0) eingesetzt habe, ebenfalls 0
> herausbekommen habe
> und somit die Hinreichende Bedingung nicht erfüllt
> wurde...
Es scheitert schon viel früher, bei $x=0$ haben wir ja eine Definitionslücke, somit kann der Wendestellen-Kandidat keine Wendestelle sein.
Alles Gute,
Marc.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Mo 23.02.2004 | | Autor: | flo |
Hi! :)
Ich bin' s mal wieder....
Heute habe ich zunächst erstmal eine kleine Frage...
Was bedeutet bei dem Punkt in der Aufgabe b), an den man eine Tangente
legt, das f(-4)?
Ist der zweite Punkt -25/ 4 oder was soll das bedeuten? :(
Mit dem Rest versuche ich mich erstmal alleine abzuquälen...
Liebe Grüße,
flo :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 Mo 23.02.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo flo,
> Heute habe ich zunächst erstmal eine kleine Frage...
> Was bedeutet bei dem Punkt in der Aufgabe b), an den man
> eine Tangente
> legt, das f(-4)?
> Ist der zweite Punkt -25/ 4 oder was soll das bedeuten?
> :(
Das bedeteut zunächst nur, dass der Punkt P auf dem Graphen liegt, er also gleichzeitig Berührpunkt der Tangente ist.
Die y-Koordinate ist aber einfach berechnet:
[mm] $f(-4)=\bruch{(-4-1)^2}{-4}=-\bruch{25}{4}$
[/mm]
Ah, jetzt weiß ich auch, was du mit "zweitem Punkt" meinst: Du meinst die zweite Koordinate, alles klar.
Der Punkt $P$ hat also einfach die Koodinaten [mm] $P(-4|-\bruch{25}{4})$
[/mm]
Bin gespannt auf deine Ergebnisse!
Viel Erfolg,
Marc.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Mo 23.02.2004 | | Autor: | flo |
Ich habe die Tangente jetzt mit dem Taschenrechner herausbekommen: y=0.9x - 2,5
Im Abitur kommt man damit aber sicherlich nicht davon...
Wie kann ich die Tangentengleichung schriftlich ausrechnen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:30 Mo 23.02.2004 | | Autor: | Marc |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo flo,
> Ich habe die Tangente jetzt mit dem Taschenrechner
> herausbekommen: y=0.9x - 2,5
Was ist denn das für ein Taschenrechner, der das ausrechnen kann? Einer von diesen grafischen?
> Im Abitur kommt man damit aber sicherlich nicht davon...
Das stimmt...
> Wie kann ich die Tangentengleichung schriftlich
> ausrechnen?
Zunächst einmal berechne die Steigung der Tangente:
$m=f'(-4)$
Diese Gleichung gilt, da die Ableitung an der Stelle -4 per Definition die Steigung der Tangente an dieser Stelle ist.
Also: $f'(x)=1-\bruch{1}{x^2}$ (das hatten wir ja schon vorher ausgerechnet) und $m=f'(-4)=1-\bruch{1}{16}=\bruch{15}{16}$ ($\approx{0{,}9$ )
Nun lautet die Tangentgleichung bis jetzt: $y=\bruch{15}{16}*x+b$; den Achsenabschnitt $b$ wähle ich jetzt gerade so, dass auch der Punkt $P(-4|-\bruch{25}{4})$ auf der Gerade liegt; also Einsetzen der Punktkoordinanten in die Tangentengleichung und Auflösen nach b:
$-\bruch{25}{4}=\bruch{15}{16}*(-4)+b$
$\gdw -\bruch{25}{4}=-\bruch{15}{4}+b$
$\gdw -\bruch{25}{4}+\bruch{15}{4}=b$
$\gdw -\bruch{10}{4}=b$
Alles klar?
Falls nicht, weißt du ja mittlerweile, wo du mich/uns findest
Viel Erfolg,
Marc.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Mo 23.02.2004 | | Autor: | flo |
Hallo Marc! :)
Mensch, du kannst das wirklich gut erklären...
Die Aufgabe mit der zweiten Tangente [mm] t_2 [/mm] hat mich jedoch
wieder in Stocken gebracht...
Ich habe mit überlegt, dass diese Tangente [mm] t_2 [/mm] ja die gleiche Steigung m
wie die Tangente [mm] t_1 [/mm] haben müsste... aber welche bekannten Werte ich
noch verwenden könnte, weiss ich dann wieder nicht.. :(
zu Aufgabe c: A=5,19 ?
Liebe Grüße,
flo :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:04 Mo 23.02.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo flo,
> Die Aufgabe mit der zweiten Tangente [mm] t_2 [/mm] hat mich jedoch
> wieder in Stocken gebracht...
> Ich habe mit überlegt, dass diese Tangente [mm] t_2 [/mm] ja die
> gleiche Steigung m
> wie die Tangente [mm] t_1 [/mm] haben müsste... aber welche bekannten
, das ist genau richtig.
> Werte ich
> noch verwenden könnte, weiss ich dann wieder nicht.. :(
Du mußt die Frage für die selbst etwas umformulieren. Wenn nach einer weiteren Tangente an den Graphen gefragt ist, ist damit gemeint: An welcher Stelle hat der Graph eine bestimmte Steigung (nämlich die Steigung der anderen Tangente).
Diese Frage kann direkt in eine Gleichung übersetzt werden, denn wir haben eine mathematische HAndhabe für die Steigung eines Graphen: Die Ableitung!
Fragen wir doch mal die Ableitung, wo sie die Steigung $m=15/16$ hat:
[mm] $f'(x)=\bruch{15}{16}$
[/mm]
[mm] $\gdw 1-\bruch{1}{x^2}=\bruch{15}{16}$
[/mm]
[mm] $\gdw 1-\bruch{1}{x^2}=\bruch{15}{16}$
[/mm]
[mm] $\gdw \bruch{1}{16}-\bruch{1}{x^2}=0$
[/mm]
[mm] $\gdw \bruch{1}{16}=\bruch{1}{x^2}$
[/mm]
[mm] $\gdw x^2*\bruch{1}{16}=1$
[/mm]
[mm] $\gdw x^2=16$
[/mm]
[mm] $\gdw x_1=4 \;\; \vee \;\; x_2=-4$
[/mm]
[mm] $x_2$ [/mm] ist natürlich die Berührstelle von $P$, aber [mm] $x_1=4$ [/mm] ist eine "neue" Stelle; das muss der andere Berührpunkt sein.
Zu dieser Stelle berechnest du noch die y-Koordinate (das Ergebnis war ja zur Kontrolle angegeben) und setzt x- und y-Koordinate in die allgemeine Geradengleichung $y=m*x+b$ ein, um den Achsenabschnitt $b$ zu erhalten.
> zu Aufgabe c: A=5,19 ?
Dazu schreibe ich gleich noch was, ich muß es erst berechnen
Bis gleich,
Marc.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:11 Mo 23.02.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo flo,
da du keine Zwischenschritte zur Kontrolle angegeben hast, habe ich den Flächeninhalt auch einfach mit ![[]](/images/popup.gif) FunkyPlot berechnen lassen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Und FunkyPlot kam auch auf deinen Flächeninhalt, also scheint dein Ergebnis richtig zu sein.
Alles Gute und viel Erfolg für die Klausur morgen,
Marc
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:54 Mo 23.02.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo flo,
zur besseren Übersicht habe ich mal eine Plot der Situation angefertigt. Eingezeichnet habe ich die Ausgangsfunktion, die Tangente t1 und die Asymptote a.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dann kannst du dir hoffentlich die Situation besser vorstellen.
Viele Grüße,
Marc
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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