Abituraufgabe 2007 LK NRW < Abivorbereitung < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:36 Fr 05.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Um die Wasserstände eines Flusses vorherzusagen, kann man versuchen, die Durchflussgeschwindigkeit
des Wassers an einer bestimmten Stelle des Flusses mit Hilfe geeigneter
Funktionen zu beschreiben.
Solche näherungsweise Beschreibungen der Durchflussgeschwindigkeiten seien z. B. gegeben durch die Funktionenschar [mm] f_{a} [/mm] mit [mm] f_{a}(t)=\bruch{1}{4}t^{3}-at^{2}+a^{2}t, [/mm] a>0.
Dabei gibt [mm] f_{a}(t) [/mm] die Durchflussgeschwindigkeit in [mm] 10^{6}m^{3}/Monat [/mm] (Millionen Kubikmeter pro
Monat) und t die verstrichene Zeit in Monaten seit Beginn der Vorhersage (t =0) an.
Die Funktionen [mm] f_{a}(t) [/mm] berücksichtigen, dass es sich um einen Fluss handelt, der zeitweise austrocknet.
a) Berechnen Sie abhängig vom Parameter a, zu welchen Zeitpunkten gerade kein Wasser durch den Fluss fließt.
b) Ermitteln Sie in Abhängigkeit von a, zu welchen Zeitpunkten die Durchflussgeschwindigkeit ein relatives Maximum bzw. Minimum annimmt, und berechnen Sie diese Funktionswerte.
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Hallo zusammen^^
Das ist eine Aufgabe aus dem Abitur 2007 LK in NRW.
Ich hab sie als Übungsaufgabe gemacht,komme aber nicht bei allen Teilaufgaben weiter.
Es wäre lieb,wenn ihr mir helfen könntet,sie zu lösen.
Zunächst hab ich nur die a) und b) gemacht und wüsste gern ob die so stimmen:
a) Man muss quasi die Nullstellen berechnen,
[mm] \bruch{1}{4}t^{3}-at^{2}+a^{2}t=0
[/mm]
t=2a ???
b) [mm] f_{a}'(t)=\bruch{3}{4}t^{2}-2at+a^{2}
[/mm]
[mm] f_{a}''(t)=\bruch{3}{2}t-2a
[/mm]
[mm] f_{a}'(t)=\bruch{3}{4}t^{2}-2at+a^{2}=0
[/mm]
[mm] t_{1}=\bruch{4+2*\wurzel{3}}{3}\approx2.48
[/mm]
[mm] t_{2}=\bruch{4-2*\wurzel{3}}{3}\approx0.17
[/mm]
[mm] f_{a}''(t_{1})=2+\wurzel{3}-2a>0 [/mm] ---> Minimum
[mm] f_{a}''(t_{2})=2-\wurzel{3}-2a<0 [/mm] ---> Maximum
[mm] f_{a}(t_{1})=3.85-6.19a+2.48a^{2} [/mm] ---> [mm] T(2.48/3.85-6.19a+2.48a^{2})
[/mm]
[mm] f_{a}(t_{2})=-0.03+0.17a^{2} [/mm] ---> [mm] H(0.17/-0.03+0.17a^{2})
[/mm]
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:03 Sa 06.12.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Die eine Nullstelle ist richtig. Eine andere ist aber noch t=0!
Deine Ableitungen sind dann richtig, aber die errechneten Extremwerte stimmen leider nicht.
Die t-Koordinaten der Extrempunkte enthalten (zur Kontrolle: [mm] t_1=\bruch{2}{3}a, t_2=2a).
[/mm]
Dann kommen auch nicht so hässliche Zahlen raus ;)
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:50 Sa 06.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hi!
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> Die eine Nullstelle ist richtig. Eine andere ist aber noch
> t=0!
Ja klar,die hab ich ganz übersehn.
> Deine Ableitungen sind dann richtig, aber die errechneten
> Extremwerte stimmen leider nicht.
> Die t-Koordinaten der Extrempunkte enthalten (zur
> Kontrolle: [mm]t_1=\bruch{2}{3}a, t_2=2a).[/mm]
>
Ich habs nochmal gerechnet und komme auf ein Maximum bei [mm] (\bruch{2}{3}a/\bruch{2}{27}a^{3}) [/mm] und ein Minimum bei [mm] (2a/2a^{3}).
[/mm]
Stimmt das so?
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Nein, nicht ganz.
Die Steigung gibt dir ja die Veränderung der Durchflussgeschwindigkeit an. Du musst also das Minimun der Ableitung berechnen, oder bezogen auf die Ausgangsfunktion den Wendepunkt der Funktion.
Im Wendepunkt ist die Steigung immer am größten/kleinsten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Sa 06.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | c) Ermitteln Sie in Abhängigkeit von a, wann die Durchflussgeschwindigkeit besonders stark absinkt,und berechen Sie ihren Wert zu diesem Zeitpunkt. |
Als nächstes kommt Teilaufgabe c).
Ich versteh hier aber nicht,was genau ich berechnen soll.Muss man hier vielleicht berechnen,wann die Funktion streng monoton fällt?
vielen dank
lg
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Nein, nicht ganz.
Die Steigung gibt dir ja die Veränderung der Durchflussgeschwindigkeit an. Du musst also das Minimun der Ableitung berechnen, oder bezogen auf die Ausgangsfunktion den Wendepunkt der Funktion.
Im Wendepunkt ist die Steigung immer am größten/kleinsten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Sa 06.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Nein, nicht ganz.
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> Die Steigung gibt dir ja die Veränderung der
> Durchflussgeschwindigkeit an. Du musst also das Minimun der
> Ableitung berechnen, oder bezogen auf die Ausgangsfunktion
> den Wendepunkt der Funktion.
>
> Im Wendepunkt ist die Steigung immer am größten/kleinsten.
ok,dann hab ich jetzt den Wendepunkt berechnet,stimmen diese 3 Koordinaten so?
Hochpunkt [mm] (\bruch{2}{3}a/\bruch{2}{27}a^{3})
[/mm]
Tiefpunkt [mm] (2a/2a^{3})
[/mm]
Wendepunkt [mm] (\bruch{4}{3}a/\bruch{4}{27}a^{3})
[/mm]
lg
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Hallo Mandy_90,
> > Nein, nicht ganz.
> >
> > Die Steigung gibt dir ja die Veränderung der
> > Durchflussgeschwindigkeit an. Du musst also das Minimun der
> > Ableitung berechnen, oder bezogen auf die Ausgangsfunktion
> > den Wendepunkt der Funktion.
> >
> > Im Wendepunkt ist die Steigung immer am größten/kleinsten.
>
> ok,dann hab ich jetzt den Wendepunkt berechnet,stimmen
> diese 3 Koordinaten so?
>
> Hochpunkt [mm](\bruch{2}{3}a/\bruch{2}{27}a^{3})[/mm]
>
> Tiefpunkt [mm](2a/2a^{3})[/mm]
>
> Wendepunkt [mm](\bruch{4}{3}a/\bruch{4}{27}a^{3})[/mm]
Der y-Wert vom Tief- bzw. Hochpunkt stimmt nicht.
>
> lg
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 So 07.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | d)
1.In der Abbildung sind die Graphen der Funktionen [mm] f_{2} [/mm] und [mm] f_{3} [/mm] dargestellt.Begründen Sie, warum kein Punkt der Funktionsgraphen von [mm] f_{a} [/mm] im Bereich [mm] t\ge0 [/mm] unterhalb der t-Achse liegt und inwiefern dies mit dem zugrunde liegenden Sachverhalt vereinbar ist.
2.Geben Sie das Verhalten von [mm] f_{a} [/mm] für [mm] t\to\infty [/mm] an und begründen Sie, ob die Funktionen auch nach den ersten 8 Monaten noch eine sinnvolle Beschreibung der Durchflussgeschwindigkeit liefern.
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> Der y-Wert vom Tief- bzw. Hochpunkt stimmt nicht.
>
ok,danke hab meinen Fehler gefunden.
Ich hab jetzt Teilaufgabe d) versucht,komme hier aber nicht mehr weiter.
Zu 1. würde ich sagen,dass kein Punkt im Bereich [mm] t\ge0 [/mm] unterhalb der x-Achse liegt,weil die Durchflussgeschwindigkeit nicht weniger als 0 sein kann.Es kann sein,dass keine Durchflussgeschwindigkeit da ist,also 0,aber sie kann ja nicht in den Minusbereich gehen.
Was ich aber nicht verstehe ist,warum sie für t<0 in den Minusbereich geht ?
Zu 2.
Ich hab einfach mal große Werte eingesetzt und festgestellt,dass die Funktion für [mm] t\to\infty [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] geht.Kann man das auch noch irgendwie anders überprüfen?
Und da die Funktion für größere t gegen [mm] \infty [/mm] geht,ist die Beschreibung der Durchflussgeschwindigkeit nach 8 Monaten auch nicht mehr sinnvoll.
Reicht dies schon als Begründung aus für die Aufgabe?
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:47 So 07.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Mir ist grad aufgefallen,dass ich das Bild vergessen hab,hier kommts.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:03 So 07.12.2008 | | Autor: | DerFabe |
> Zu 1. würde ich sagen,dass kein Punkt im Bereich [mm]t\ge0[/mm]
> unterhalb der x-Achse liegt,weil die
> Durchflussgeschwindigkeit nicht weniger als 0 sein kann.
Die Überlegung ist richtig, du musst das aber auch zeigen. Ein sicherer Weg wäre hier zB das Minimum abhängig von a zu bestimmen und zu zeigen, dass dieses nie kleiner 0 ist.
> Was ich aber nicht verstehe ist,warum sie für t<0 in den
> Minusbereich geht ?
Das wurde auch nicht behauptet. Die Aussage für t/ge0 sagt im Prinzip nur aus, dass die Funktion für diesen Bereich betrachtet wird. Was sie sonst macht ist nicht von Interesse.
> Zu 2.
> Ich hab einfach mal große Werte eingesetzt und
> festgestellt,dass die Funktion für [mm]t\to\infty[/mm] gegen [mm]\infty[/mm]
> geht.Kann man das auch noch irgendwie anders überprüfen?
Die saubere Variante ist die Ableitungen zu betrachten.
Die erste Ableitung ist noch schwer zu durchschaun, aber bereits in der 2. wird die Sache recht deutlich. Denk mal darüber nach, was du mit Hilfe der 2. Ableitung über die Rate mit der sich die Durchflussgeschwindigkeit ändert sagen kannst.
Gruß, Fabe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 So 07.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Zu 2.
> > Ich hab einfach mal große Werte eingesetzt und
> > festgestellt,dass die Funktion für [mm]t\to\infty[/mm] gegen [mm]\infty[/mm]
> > geht.Kann man das auch noch irgendwie anders überprüfen?
>
> Die saubere Variante ist die Ableitungen zu betrachten.
> Die erste Ableitung ist noch schwer zu durchschaun, aber
> bereits in der 2. wird die Sache recht deutlich. Denk mal
> darüber nach, was du mit Hilfe der 2. Ableitung über die
> Rate mit der sich die Durchflussgeschwindigkeit ändert
> sagen kannst.
>
Erst mal vielen dank für die Antwort.
Also die 1.Ableitung gibt mir die Steigung der Tangente an und die 2. die Steigung der Steigung der Tangente.
An der 2.Ableitung seh ich,dass die Steigung der Steigung der Tangente für größere x immer mehr wächst,das heißt,dass der Graph quasi immer steiler wird und die Geschwindigkeit immer schneller oder?
Wäre das so in Ordnung?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:00 So 07.12.2008 | | Autor: | DerFabe |
> An der 2.Ableitung seh ich,dass die Steigung der Steigung
> der Tangente für größere x immer mehr wächst,das heißt,dass
> der Graph quasi immer steiler wird und die Geschwindigkeit
> immer schneller oder?
> Wäre das so in Ordnung?
Ja, das sollte so passen. Sei nur mit der Schlussfolgerung "der Graph wird immer steiler" vorsichtig. Du stellst fest, dass die 2. Ableitung gegen unendlich geht. Da diese ja die Steigung der 1. Ableitung beschreibt muss diese ebenfalls gegen unendlich gehen, woraus wiederum folgt, dass die Funktion selbst dies auch tut.
Dem liegt im Prinzip die Überlegung zu Grunde, dass eine Funktion gegen unendlich geht wenn das ihre Ableitung tut. Wenn das klar ist hast du die Aufgabe verstanden!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 So 07.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | e)Ermitteln Sie für a = 3 , wie viel Liter Wasser in den ersten sechs Monaten durch den Fluss fließen. |
Ich hab jetzt mal dei e) versucht,da muss ich ja in die Funktion,also [mm] f_{a}(t)=\bruch{1}{4}t^{3}-at^{2}+a^{2}*t, [/mm] die Werte a=3 und t=6 einsetzen.Wenn ich das mache komme ich auf [mm] f_{3}(6)=0.Das [/mm] heißt,dass die Geschwindigkeit zu dem Zeitpunkt 0 ist.
Aber ich weiß ja nicht wie viel Liter Wasser in den ersten sechs Monaten durch den Fluss geflossen sind.
Kann mir jemand einen Tipp geben,wie ich die Aufgabe lösen kann?
vielen dank
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:10 So 07.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Die Durchflussmenge wird durch die Integration der Durchfluss[geschwindigkeit[/u] ermittelt.
Du musst hier also folgendes Integral lösen:
[mm] $$\integral_{0}^{6}{f_3(t) \ dt} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{0}^{6}{\bruch{1}{4}*t^3-3*t^2+9*t \ dt} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 So 07.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy!
>
>
> Die Durchflussmenge wird durch die Integration der
> Durchfluss[geschwindigkeit[/u] ermittelt.
>
> Du musst hier also folgendes Integral lösen:
> [mm]\integral_{0}^{6}{f_3(t) \ dt} \ = \ \integral_{0}^{6}{\bruch{1}{4}*t^3-3*t^2+9*t \ dt} \ = \ ...[/mm]
>
Achso,ok vielen dank.
Dann fließen also in den ersten 6 Monaten 207 Liter Wasser durch den Fluss? (Das hört sich ziemlich wenig an für einen Fluss in 6 Monaten).
lg
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Hallo Mandy_90,
> > Hallo Mandy!
> >
> >
> > Die Durchflussmenge wird durch die Integration der
> > Durchfluss[geschwindigkeit[/u] ermittelt.
> >
> > Du musst hier also folgendes Integral lösen:
> > [mm]\integral_{0}^{6}{f_3(t) \ dt} \ = \ \integral_{0}^{6}{\bruch{1}{4}*t^3-3*t^2+9*t \ dt} \ = \ ...[/mm]
>
> >
>
> Achso,ok vielen dank.
> Dann fließen also in den ersten 6 Monaten 207 Liter Wasser
> durch den Fluss? (Das hört sich ziemlich wenig an für einen
> Fluss in 6 Monaten).
Da hast Du sich sicherlich verschrieben, das Ergebnis lautet nämlich 27.
Hmm, in der Aufgabenstellung heißt es, daß [mm]f_{a}\left(t\right)[/mm]
die Durchflußgeschwindigkeit in [mm]10^{6}\bruch{m^{3}}{Monat}[/mm] angibt.
>
> lg
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:34 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
ok,vielen dank an alle,die mir bei dieser Aufgabe geholfen haben =)
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