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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:52 Mo 03.05.2004 | | Autor: | dave |
Hallo, ich habe das mit der Kettenregel wohl noch nicht ganz verstanden. Ich wäre euch sehr dankbar wenn mir jemand helfen kann.
Wie Leite ich y=1/(x-1)^(3/4) nach x ab?
Resultat -3/4*(x-1)^(7/4)
Besten Dank Gruss Dave
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:43 Mo 03.05.2004 | | Autor: | Marc |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Dave,
willkommen im MatheRaum bzw. auf vorhilfe.de! 
> Hallo, ich habe das mit der Kettenregel wohl noch nicht
> ganz verstanden. Ich wäre euch sehr dankbar wenn mir jemand
> helfen kann.
>
> Wie Leite ich y=1/(x-1)^(3/4) nach x ab?
Die Kettenregel behandelt die Ableitung von zusammengesetzten (=verketteten) Funktionen.
Ein verkettete Funktion $f$ besteht aus einer inneren Funktion $g(x)$ und einer äußeren Funktion $h(x)$.
Die Bezeichnung "innen" und "außen" kommt daher, weil die innere Funktion in die äußere Funktion eingesetzt ist:
$f(x)=h(\;g(x)\;)$
In deinem Fall ist offenbar (bzw. genauer: "kann offenbar so gewählt werden", denn es könnte auch mehrere Möglichkeiten geben, eine innere und äußere Funktion zuzuordnen):
$f(x)=\left( \bruch{1}{x-1} \right)^\bruch{3}{4}$
innere Funktion: $g(x)=\bruch{1}{x-1}$, ein wenig umgeformt: $g(x)=(x-1)^{-1}$
äußere Funktion: $h(x)=x^\bruch{3}{4}$
Probe: Setzt man die innere Funktion in die äußere ein, ergibt sich: $h(g(x))=h(\bruch{1}{x-1})=\left( \bruch{1}{x-1} \right)^\bruch{3}{4}=f(x)$ ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Kommen wir nun zu dem eigentlichen Problem, dem Ableiten:
Die Kettenregel lautet für die Funktion $f(x)$:
$f'(x)=g'(x)*h'(\;g(x)\;)$
Merksatz: "Innere Ableitung mal äußere Ableitung"
In einer Nebenrechnung bestimme ich die Ableitungen der inneren und äußere Funktion:
$g'(x)=(-1)*(x-1)^{-2}$ (das ist genau genommen ebenfalls die Kettenregel, das war also ziemlich dämlich von mir; akzeptiere das Ergebnis jetzt an dieser Stelle, versuche die Kettenregel zu verstehen und vollziehe diese Anwendung der Kettenregel nach)
$h'(x)=\bruch{3}{4}*x^{\bruch{3}{4}-1}=\bruch{3}{4}*x^{-\bruch{1}{4}}$
Nun setze ich diese Teilergebnisse in die Kettenregel ein:
$f'(x)$
$=g'(x)*h'(\;g(x)\;)$
$=(-1)*(x-1)^{-2}*h'(\;\underbrace{(x-1)^{-1}}_{=g(x)}\;)$
Beachte hier, dass in die Ableitung der äußeren Funktion die innere Funktion, also g(x) eingesetzt wird; das wird häufig falsch gemacht.
$=(-1)*(x-1)^{-2}*\bruch{3}{4}*\left((x-1)^{-1}\right)^{-\bruch{1}{4}}$
$=-\bruch{3}{4}*(x-1)^{-2}*(x-1)^{\bruch{1}{4}$
$=-\bruch{3}{4}*(x-1)^{-\bruch{8}{4}}*(x-1)^{\bruch{1}{4}$
$=-\bruch{3}{4}*(x-1)^{-\bruch{8}{4}+\bruch{1}{4}}$
$=-\bruch{3}{4}*(x-1)^{-\bruch{7}{4}}$
> Resultat -3/4*(x-1)^(7/4)
Da hast du dann das Vorzeichen im Exponenten vergessen, oder ich habe was falsch gerechnet.
So, bei weiteren Fragen melde dich bitte wieder!
Alles Gute,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:19 Mo 03.05.2004 | | Autor: | dave |
Hoi Marc
Erstmal danke das du dir zeit genommen hast.
Ich habe aber noch ne Frage. Ist es möglich das du ganz oben in deiner erklärung von einer Falschen form ausgegangen bist. [mm] f(x)=\left( \bruch{1}{x-1} \right)^\bruch{3}{4} [/mm] wenn ich dass mit Maple ableite erhalte ich etwas anderes. das hatt mich etwas verwirrt und habe deswegen auch den unteren Teil nicht ganz verstanden ich meine es wäre nur das unter dem Bruchstrich hoch 3/4.
Gruss Dave
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:53 Mo 03.05.2004 | | Autor: | Marcel |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
'Nachtrag: Kommentar (23.15Uhr): Ups, Sorry. Marc hatte das ganze doch schon richtig gelöst. Warum habe ich mir die Arbeit gemacht  ? Ich habe das erst jetzt bemerkt. Sorry, Marc, ich hab nicht aufgepasst, ich dachte, du hättest eine andere Funktion abgeleitet...
PS: Ich glaube, Dave hat das hier nur etwas unglücklich geschrieben:
> -3/4*(x-1)^(7/4)
Er meint vermutlich:
$f'(x)=-\bruch{3}{4*(x-1)^{\bruch{7}{4}}} $...
Und was ich außerdem noch anmerken wollte:
Es gilt folgende Gleichheit (falls $x > 1$):
$\bruch{1}{(x-1)^{\bruch{3}{4}}}=(\bruch{1}{x-1})^\bruch{3}{4}$
$=((x-1)^{-1})^\bruch{3}{4}=(x-1)^\bruch{-3}{4}$
Naja, nun dennoch mein Rechenweg (für $x > 1$ und unter Beachtung, dass alles so ist, dass man das auch machen darf )...'
Hallo Dave,
$y=\bruch{1}{(x-1)^\bruch{3}{4}}$ meinst du also.
Ich notiere es dann lieber so:
$f(x)=\bruch{1}{(x-1)^\bruch{3}4}}$
Zunächst einmal läßt sich das ganze wie folgt umschreiben:
$f(x)=(x-1)^{\bruch{-3}{4}$ (das sollte dir bekannt sein, oder? Ggf. einfach nachfragen...)
Dann definierst du etwa
(I) $g(x):=x^{\bruch{-3}{4}$ und
(II) $h(x):=x-1$, denn damit gilt offenbar:
$f(x)=g(h(x))$ und mit der Kettenregel erhältst du:
(III) $f'(x)=g'(h(x))*h'(x)$.
Für (III) benutzen zu können, brauchen wir noch g' und h'.
Aus (I) folgt:
$g'(x)=-\bruch{3}{4} *x^{(\bruch{-3}{4}-1)$
$=-\bruch{3}{4} *x^{\bruch{-7}{4}$
Also erhältst du: $g'(h(x))=-\bruch{3}{4} *(h(x))^{\bruch{-7}{4}$
$=-\bruch{3}{4} *(x-1)^{\bruch{-7}{4}$. (*)
Aus (II) folgt:
$h'(x)=1$. (**)
Wir setzen nun noch (*) und (**) in (III) ein:
$f'(x)=g'(h(x))*h'(x)=-\bruch{3}{4} *(x-1)^{\bruch{-7}{4}}*1$
$=-\bruch{3}{4} *(x-1)^{\bruch{-7}{4}$
Natürlich läßt sich das ganze auch wieder umschreiben:
$f'(x)=-\bruch{3}{4} *\bruch{1}{(x-1)^{\bruch{7}{4}}}$ bzw.
$f'(x)=-\bruch{3}{4*(x-1)^{\bruch{7}{4}}} $ und so erhältst du deine vorgeschlagene Lösung (deshalb glaube ich, keinen Rechenfehler gemacht zu haben; es könnte natürlich dennoch einer vorhanden sein, also bitte kontrollieren...)
Viele Grüße
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:46 Di 04.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo dave und Marcel!
> PS: Ich glaube, Dave hat das hier nur etwas unglücklich
> geschrieben:
> > -3/4*(x-1)^(7/4)
> Er meint vermutlich:
> [mm] $f'(x)=-\bruch{3}{4*(x-1)^{\bruch{7}{4}}} [/mm] $...
Ja, das wird es sein, in diese Richtung hatte ich gar nicht gedacht.
Dein Lösungsweg, Marcel, gefällt mir auch besser, da er zur Veranschaulichung der Kettenregel die Kettenregel nicht wiederum als Teil anwendet, wie ich das dämlicherweise gemacht habe.
Und, dave, ist es jetzt klar, wie man die Kettenregel anwendet?
Falls es noch Probleme gibt, frage bitte nach.
Viele Grüße,
Marc
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