Ableiten d. Abltg. d. Umkehrf. < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo liebe Leute,
ich hätte da eine Frage an die Lehramtsstudenten in Mathematik / Mathe-Lehrer.
In Formelsammlungen findet man ja:
f(x) = ln(x) mit: $f'(x) = [mm] \frac{1}{x}$
[/mm]
Darauf kommt man über die Ableitung der Umkehrfunktion von f(x) welche mit f(x) verknüpft ist:
Umkehrfunktion = [mm] $g(x)=e^{x}$ [/mm] und [mm] $g'(x)=e^x$
[/mm]
(I) $g(f(x)) [mm] \;=\; e^{ln(x)}$ [/mm] Hier ist d. Definitionsbereich = [mm] \IR^{+} [/mm] .
(II) $= [mm] \; [/mm] x$ Und hier ist d. Definitionsbereich = [mm] \IR [/mm] ?
Ableitung von $g(f(x)) [mm] \; =\; [/mm] x$ : $(g(f(x)))' = g'(f(x))*f'(x) = 1$
Dann habe ich wieder das gleiche Problem:
(III) $f'(x) [mm] \; [/mm] = [mm] \; \frac{1}{g'(f(x))} \;=\; \frac{1}{e^{ln(x)}}$ [/mm] Hier ist d. Definitionsbereich = [mm] \IR^{+} [/mm] .
(IV) $= [mm] \; \frac{1}{x}$ [/mm] Hier ist d. Definitionsbereich = [mm] \IR [/mm] ?
Besten Dank für eine Antwort.
LG, Martinius
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Hallo!
Die Ableitung einer Funktion kann logischerweise höchstens auf dem gesamten Definitionsbereich der Funktion, also hier [mm] \IR^+ [/mm] existieren. Das heißt aber nicht, daß die Funktion, welche die Ableitung darstellt, von sich aus auch darauf beschränkt sein muss.
Man kann für [mm] \ln(x) [/mm] nur auf [mm] \IR^+ [/mm] eine Ableitung bilden, auch wenn die Ableitungsfunktion [mm] \frac1x [/mm] auf [mm] \IR\\0 [/mm] definiert ist.
Ein ähnlicher Fall: Die Umkehrfunktion von [mm] \sqrt{x} [/mm] ist die Quadratfunktion. [mm] \sqrt{x} [/mm] hat den Wertebereich [mm] \IR^+_0 [/mm] , welcher im Definitionsbereich der Quadratfunktion enthalten ist. Der Definitionsbereich der Quadratfunktion ist aber ganz [mm] \IR [/mm] !
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Hallo Event_Horizon,
habe Dank für Deine Antwort.
Dann kann man also vom Definitions- & Wertebereich einer Funktion nicht ohne weiteres auf Definitions- & Wertebereich der Ableitung bzw. des Integrals schließen?
So wie es sich z.B. bei einer Funktion & deren Umkehrfunktion verhält?
LG, Martinius
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:55 Sa 28.07.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Eine Ableitung einer fkt macht nur auf ihrem Definitionsbereich einen Sinn. Also ist der Defber der Ableitung = Defbereich der Fkt.
Die Funktion selbst die auf dem Defbereich der Fkt deren Ableitung ist kann auch einen größereren Defber haben, ist dort aber nicht mehr "die" Ableitungsfkt.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:58 Sa 28.07.2012 | | Autor: | Martinius |
Hallo leduart,
dank Dir für deine Antwort!
LG, Martinius
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