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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:45 So 12.10.2008 | | Autor: | Maaadin |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Integral und geben Sie gegebenfalls einen Näherungswert an.
[mm] $\integral_{0,25}^{0,75}{(\frac{1}{2}e^{(4t-1)}+1) dt}$ [/mm] |
Guten Abend!
Also ich muss bei der Aufgabe ja zuerst die Stammfunktion von der Funktion bilden. Da faengt das Problem aber schon an. Wie bilde ich denn die Stammfunktion einer e-Funktion? Ich habe grad so Begriffe im Kopf rumfliegen, wie Kettenregel, Kompensationsfaktor, kann damit aber grad nicht soo viel anfangen.
Ich hoffe ihr koennt mir helfen =)
Gruss,
Martin
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Hallo Martin,
> Berechnen Sie das Integral und geben Sie gegebenfalls einen
> Näherungswert an.
> [mm]\integral_{0,25}^{0,75}{(\frac{1}{2}e^{(4t-1)}+1) dt}[/mm]
>
> Guten Abend!
>
> Also ich muss bei der Aufgabe ja zuerst die Stammfunktion
> von der Funktion bilden. Da faengt das Problem aber schon
> an. Wie bilde ich denn die Stammfunktion einer e-Funktion?
> Ich habe grad so Begriffe im Kopf rumfliegen, wie
> Kettenregel, Kompensationsfaktor, kann damit aber grad
> nicht soo viel anfangen.
Der letzte Begriff scheint mir ein guter zu sein 
Die Ableitung der "normalen" e-Funktion ist [mm] $\left(e^t\right)'=e^t$
[/mm]
Also ist eine Stammfunktion der "normalen" e-Funktion [mm] $\int{e^t \ dt}=e^t$ [/mm] (ohne Integrationskonstante)
> Ich hoffe ihr koennt mir helfen =)
Zuerstmal kannst du dein Integral aufsplitten (ich schreib's ohne Grenzen)
[mm] $\int{\left(\frac{1}{2}\cdot{}e^{4t-1}+1\right) \ dt}=\frac{1}{2}\cdot{}\int{e^{4t-1} \ dt} [/mm] \ + \ [mm] \int{1 \ dt}$
[/mm]
Also ist das einzig schlimme Integral das [mm] $\int{e^{4t-1} \ dt}$
[/mm]
Hier kommt der "Kompensationsfaktor" ins Spiel
Mal angenommen [mm] $e^{4t-1}$ [/mm] wäre eine Stammfunktion, dann müsste es abgeleitet ja wieder genau den Integranden ergeben.
Nach Kettenregel ist aber [mm] $\left(e^{4t-1}\right)'=e^{4t-1}\cdot{}(4t-1)'=\blue{4}\cdot{}e^{4t-1}$
[/mm]
Das passt also nicht ganz, aber schon fast, der Faktor [mm] \blue{4} [/mm] ist "zuviel".
Versuche nun, durch einen "Kompensationsfaktor" die vermeintliche Stammfunktion so zu verändern, dass deren Ableitung am Ende [mm] $e^{4t-1}$ [/mm] ergibt.
Wenn du schon das Integrationsverfahren per Substitution kennst, kannst du das Integral alternativ schnell mit der Substitution $u:=4t-1$ lösen
LG
schachuzipus
>
> Gruss,
> Martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:19 So 12.10.2008 | | Autor: | Maaadin |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Aaah ja. An das Aufsplitten hab ich jetzt gar nciht gedacht.
Gut, dann waere die Stammfunktion von $ \int{e^{4t-1}dt}$:
$\frac{1}{4}*{e^{4t-1}}$
Jetzt steh ich aber ein wenig auf dem Schlauch was das Integrieren angeht. Wuerde der Rechenweg so aussehen:
$\int_{0,25}^{0,75}{(\frac{1}{2}{e^{(4t-1)}+1)dt} = \frac{1}{2}\cdot{}\int_{0,25}^{0,75}{e^{4t-1} \ dt} \ + \ \int_{0,25}^{0,75}{1 \ dt}$
Davon nun die Stammfunktion:
$\frac{1}{2}\left| \frac{1}{4}*{e^{4t-1}} \right|$
Was passiert mit dem $\int_{0,25}^{0,75}{1 \ dt}$ faellt das weg?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 So 12.10.2008 | | Autor: | Maaadin |
Sorry, Stammfunktion von [mm] $\int_{0,25}^{0,75}{1 \ dt}$ [/mm] ist natuerlich [mm] $\left|t\right|$
[/mm]
Heisst die komplette Stammfunktion dann:
$ [mm] \frac{1}{2}\left| \frac{1}{4}\cdot{}{e^{4t-1}} \right| [/mm] + [mm] \left|t\right|$
[/mm]
?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:33 So 12.10.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo Maaadin,
> Sorry, Stammfunktion von [mm]\int_{0,25}^{0,75}{1 \ dt}[/mm] ist
> natuerlich [mm]\left|t\right|[/mm]
> Heisst die komplette Stammfunktion dann:
>
> [mm]\frac{1}{2}\left| \frac{1}{4}\cdot{}{e^{4t-1}} \right| + \left|t\right|[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") ja!
Lg
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 So 12.10.2008 | | Autor: | Maaadin |
Ok, vielen Dank!
Jetzt haette ich nur noch einige Basics Fragen, da ich grad irgendwie voll das blackout habe =D
Wenn ich die Funktion [mm] $f(x)=x*e^x$
[/mm]
Dann ist doch die 1. Ableitung: [mm] $f'(x)=x*e^x+e^x$, [/mm] oder? Wie wuerde die Stammfunktion dazu lauten? Ich dachte anfangs an [mm] $F(x)=x*e^x$ [/mm] Aber die abgeleitet wuerde ja nicht stimmen. Ich hab's heute irgendwie nicht so mit Mathe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 So 12.10.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo Maaadin,
> Ok, vielen Dank!
>
> Jetzt haette ich nur noch einige Basics Fragen, da ich grad
> irgendwie voll das blackout habe =D
>
> Wenn ich die Funktion [mm]f(x)=x*e^x[/mm]
> Dann ist doch die 1. Ableitung: [mm]f'(x)=x*e^x+e^x[/mm], oder?
ja, nach  Produktregel <-- click it
> Wie
> wuerde die Stammfunktion dazu lauten?
zu welcher Funktion [mm] x*e^x [/mm] oder [mm] x*e^x+e^x
[/mm]
> Ich dachte anfangs an
> [mm]F(x)=x*e^x[/mm]
zu der letzteren stimmt das, denn [mm] x*e^x-e^x+e^x=x*e^x
[/mm]
Wenn [mm] f(x)=x*e^x
[/mm]
dann ist [mm] F(x)=x*e^x-e^x
[/mm]
mit partieller Integration!
Liebe Grüße
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:54 So 12.10.2008 | | Autor: | Maaadin |
Ach so... ja klar.... oh man.
Dankeschoen =)
Viele Gruesse,
Martin
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