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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:11 Fr 25.05.2012 | | Autor: | fatlouis |
Hallo Zusammen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Seit kurzem beschäftige ich mich mit Differenzialrechnen.
Das Grundprinzip hab ich verstanden, auch wie man auf die Formel des Differenzialquotienten kommt.
Ich finde aber nirgens ein richtiges Beispiel dafür.
Immer wird nur die Formel erklärt.
Denn ich verstehe nicht ganz, wie es funktionieren soll.
Man hat ja nur einen Punkt. Bei diesem Punkt will man möglichst die Steigung.
und braucht darum einen zweiten möglichst nahen Punkt.
Wie löst man aber die Rechnung?
Es fehlt doch der zweite Punkt. Man kann also gar nicht [mm] \Delta [/mm] von y und x berechnen.
Darum kann man ja den Limes nicht bekommen, denn die Formel verlangt ja, dass man zwei Punkte hat..
Kann mir das einer erklären?
Liebe Grüsse
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Hallo und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ist P(x|f(x)) ein Punkt auf f sowie [mm] Q(x+\Delta{x}|f(x+\Delta{x})) [/mm] ein weiterer Punkt, so lautet die Steigung der Sekante durch P und Q
[mm] m=\bruch{f(x+\Delta{x})-f(x)}{\Delta{x}}
[/mm]
Anmerkung:
IN der Schule wird heutzutage oft für [mm] \Delta{x} [/mm] h geschrieben un d das ganze 'h-Methode' genannt.
Die Ableitung entsteht jetzt dadurch, dass Q und P zusammenfallen, indem Q auf P zuwandert, so lange bis die Punkte identisch sind. Dann ist [mm] \Delta{x}=0, [/mm] der Zähler jedoch auch, also liegt ein undefinierter Ausdruck der Form 0/0 vor, den man per Grenzwertbetrachtung auswerten muss. Dieser Grenzwert heißt Ableitung, ais der Sekante ist die Tangente geworden, und es ist ja gerade der Witz an der Sache, dass es jetzt nur noch den Punkt P gibt, der Berührpunkt dieser Tangente an das Schaubild ist.
BTW: In deinem Profil steht, dass du in die 8. Klasse gehst. Sag jetzt aber nicht, man macht so etwas heutzutage in der 8. Klasse...
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Fr 25.05.2012 | | Autor: | fatlouis |
Ich habe aber gedacht, das der Limes von dem genommen werden muss.
Die Punkte sollen also gerade nicht zusammentreffen. Es muss ja ein kleiner "Funktionsabschnitt" zwischen den Punkten sein.
Sagen wir jetzt ich muss die Funktion
y= [mm] x^2+x+3
[/mm]
ableiten.
PS: Hab einfach mal was eingegeben (bin aus der Schweiz..)
1. unter ableiten würde ich ja eine Steigung von einem kleinen Stück (Punkt) auf der Funktion verstehen, doch ich hab bis jetzt noch nie (bei einer Ableitung) irgendwas von einem Punkt gesehen...braucht man den nicht zuerst?
2. rein theoretisch ist es also egal was ich für den 2. Punkt einsetzte, da er sich ja sowieso (durch den Limes) zum gewünschten Punkt bewegt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:06 Fr 25.05.2012 | | Autor: | chrisno |
> Ich habe aber gedacht, das der Limes von dem genommen
> werden muss.
> Die Punkte sollen also gerade nicht zusammentreffen. Es
> muss ja ein kleiner "Funktionsabschnitt" zwischen den
> Punkten sein.
1.
Es werden zwei Punkte betrachtet und für diese die Sekantensteigung berechnet. Nun aber ist nicht die Steigung der Sekante gesucht, sondern die Steigung der Tangente. Je näher die beiden Punkte aneinander rutschen, desto besser stimmen die Sekanten- und die gesuchte Tangentensteigung überein.
Übrigens ist klar, dass das auch schief gehen kann. Stell Dir vor, die Funktion hat einen Knick. An die Spitze des Knicks passt keine Tangente, auf jeden Fall ist die Steigung nicht festgelegt.
2.
Die Grenzwertbildung "Limes" ist genau der Schritt von zwei zu einem Punkt. Wenn man es schafft, aus der Tendenz bei zwei Punkten vorherzusagen, welche Steigung dann die Tangente haben muss, dann hat man den Limes gebildet.
>
> Sagen wir jetzt ich muss die Funktion
>
> y= [mm]x^2+x+3[/mm]
>
> ableiten.
Was soll nun passieren?
>
>
> PS: Hab einfach mal was eingegeben (bin aus der Schweiz..)
> 1. unter ableiten würde ich ja eine Steigung von einem
> kleinen Stück (Punkt) auf der Funktion verstehen, doch ich
> hab bis jetzt noch nie (bei einer Ableitung) irgendwas von
> einem Punkt gesehen...braucht man den nicht zuerst?
Das musst Du noch die Begriffe besser unterscheiden lernen:
Ableiten heißt eine Ableitung berechnen.
Die Ableitung gibt die Tangentensteigung an einem Punkt an. Diese Steigung nennt man dann auch die Steigung der Funktion an diesem Punkt.
Dann wird das ganze für alle Punkte einer Funktion durchgeführt und als neue Funktion geschrieben. Das ist dann die Ableitungsfunktion.
>
> 2. rein theoretisch ist es also egal was ich für den 2.
> Punkt einsetzte, da er sich ja sowieso (durch den Limes)
> zum gewünschten Punkt bewegt?
Ja. Du setzt ja sowie so nie Werte für den zweiten Punkt ein, wenn Du den Grenzwert berechnen willst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Fr 25.05.2012 | | Autor: | fatlouis |
Aber in den Videos formen diese Leute immer nur die Funktion um.
Es wird gar nie ein Punkt (ich meine jetzt nicht einen zweiten Punkt..)
ein.
Die Steigung ist ja an jedem Punkt anders..
Aber sonst wird mir das ganze langsam klarer.
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:16 Fr 25.05.2012 | | Autor: | chrisno |
Ich kenne die Videos nicht. Wenn da eine Funktion umgeformt wird, dann wird wahrscheinlich die Ableitungsfunktion berechnet. Dazu wird oft auch einfach nur Ableitung gesagt, was wie nun bei Dir, für mächtige Verwirrung sorgen kann.
Du musst unterscheiden zwischen den Regeln, nach denen man eine Ableitungsfunktion berechnet, und der Herleitung dieser Regeln. Da kommt es darauf an, was Du willst. Wenn Du nur wissen willst, wie man die typischen Ableitungsfuntionen berechnet, dann reichen ein paar Regeln dafür aus. Dann vergiss alles mit Limes und Differenzenquotienten. Willst Du dagegen wissen, wie man auf diese Regeln kommt, dann vergiss erst einmal alles was komplizierter als [mm] $x^2$ [/mm] oder [mm] $x^3$ [/mm] aussieht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 Sa 26.05.2012 | | Autor: | fatlouis |
Das heisst also, dass niemand mit der "ursprünglichen" Formel (Limes ect.)
ableitet?
Und wenn man eine Ableitungsfunktion hat, ist dass dann die Funktion ist (oder eben nur der Grenzwert), welche die Tangente beschriebt?
Eigentlich braucht man ja nur die Steigung...nicht?
Oder kommt man dann (mit den Regel) irgendwie direkt auf die Steigung?
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Hallo,
> Das heisst also, dass niemand mit der "ursprünglichen"
> Formel (Limes ect.)
> ableitet?
das kann man nun so auch nicht sagen. Aber man kann eben für die elementaren Funktionen Regeln angeben, mit deren Hilfe sich für jede differenzierbare Funktion die Ableitungsfunktion ermitteln lässt.
> Und wenn man eine Ableitungsfunktion hat, ist dass dann
> die Funktion ist (oder eben nur der Grenzwert), welche die
> Tangente beschriebt?
Die Stärke der Ableitungsfunktion liegt in der Tatsache, dass man für jeden x-Wert, den man einsetzen kann, die zugehörige Tangentensteigung der Grundfunktion bekommt.
> Eigentlich braucht man ja nur die Steigung...nicht?
> Oder kommt man dann (mit den Regel) irgendwie direkt auf
> die Steigung?
Die Frage verstehe ich nicht ganz. Natürlich kommt man mit Hilfe der Regeln jede mögliche Steigung. Aber zu glauben, das wäre die einzige Bedeutung der Ableitung, ist ein Irrtum: es gibt keinerlei Notwendigkeit, eine Funktion durch ein Schaubild darzustellen. Und so lange das einfach reelle Zahlen sind, mit denen du da jonglierst, macht der Begriff Steigung keinen Sinn. Man spricht dann abstrakter von der momentanen Änderungsrate einer Funktion, welche eben nichts anderes ist als die 1. Ableitung.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 Sa 26.05.2012 | | Autor: | fatlouis |
Ich gehe momentan immer von einem Graphen in einem Koordinatensystem aus, wenn ich an eine Funktion denke.
Ich habe hier mal versucht ein Beispiel zu machen:
f (x) = [mm] 2x^2 [/mm] + 2x +1 wird dann f '(x) = 4x + 2 + 0 = 4x + 2
(mit Hilfe der Regeln..)
Dann hat man jetzt 4x+2 und kann dann einen Punkt (x-Wert) einsetzten.
dann ist das, was rauskommt dann die Steigung am Punkt?
Sprich: der y-Wert der Ableitungsfunktion?
(ich schreibe eben sonst immer: y=4x+2)
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Hallo,
> Ich gehe momentan immer von einem Graphen in einem
> Koordinatensystem aus, wenn ich an eine Funktion denke.
>
> Ich habe hier mal versucht ein Beispiel zu machen:
>
> f (x) = [mm]2x^2[/mm] + 2x +1 wird dann f '(x) = 4x + 2 + 0 = 4x +
> 2
>
> (mit Hilfe der Regeln..)
>
> Dann hat man jetzt 4x+2 und kann dann einen Punkt (x-Wert)
> einsetzten.
> dann ist das, was rauskommt dann die Steigung am Punkt?
> Sprich: der y-Wert der Ableitungsfunktion?
> (ich schreibe eben sonst immer: y=4x+2)
du hast das völlig richtig verstanden, denke ich. Man bezeichnet zu einer gegebenen Funktion f(x) deren Ableitungsfunktion f'(x) (sprich: 'f Strich').
Wir haben
[mm] f(x)=2x^2+2x+1
[/mm]
f'(x)=4x+2
und die Ableitung beschreibt die Tangentensteigung des Schaubilds der Funkltion f. Wenn du jetzt an einer Stelle [mm] x_0 [/mm] diese Tangentensteigung [mm] m_0 [/mm] ausrechnen möchtest, dann machst du das so:
[mm] m_0=f'(x_0)
[/mm]
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:26 Sa 26.05.2012 | | Autor: | fatlouis |
Ja, ich glaub hab es langsam begriffen.
Danke
fatlouis
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