Ableiten von e-Funktionen < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:52 Mi 22.02.2006 | | Autor: | barlip |
| Aufgabe | | f(x) = -(4 - [mm] e^x) [/mm] * [mm] e^x [/mm] |
Hallo
Ich schaffe es einfach nicht diese Funktion richtig abzuleiten
und die erste Ableitung glecih Null gesetzt nach X hin auszulösen.
danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo barlip,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Um Dir diese Ableitung zu vereinfachen (Vermeidung der  Produktregel), kannst Du den Ausdruck auch zunächst ausmultiplizieren zu:
$f(x) \ = [mm] -\left(4 - e^x\right)*e^x [/mm] \ = \ [mm] -4*e^x [/mm] - [mm] \left[-\left(e^x\right)^2\right] [/mm] \ = \ [mm] -4*e^x+e^{2x} [/mm] \ = \ [mm] e^{2x}-4*e^x$
[/mm]
Schaffst Du es nun, die Ableitung zu bilden?
Gruß vom
Roadrunner
PS: Bist Du wirklich schon Mathe-Lehrer? Dann sollte das aber schon machbar sein diese Aufgabe ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Mi 22.02.2006 | | Autor: | barlip |
Hi
Erstmal ich habe nicht gemerkt das ich als Mathe-Lehrer eingetragen bin.
Stimmt natürlich nicht, werde ich gleich mal ändern.
Gut mit der Hilfe habe ich glaube ich die Ableitungen geschaft.
Wusste nur nicht, dass [mm] (e^x)^2 [/mm] = e^2x ist.
Habe nur diese Ableitungen herausbekommen:
f(x) = [mm] -4e^x [/mm] + e^2x
f'(x) = [mm] -3e^x [/mm] + 2e^2x
f''(x) = [mm] -2e^x [/mm] + 5e^2x
f''(x) = [mm] -1e^x [/mm] + 11e^2x
aber wenn ich nun f'(x) gleich Null setzte:
0 = [mm] -3e^x [/mm] + 2e^2x
Wie kann ich diese Gleichung nun nach X hin auflösen.
vielen danke für die Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:42 Mi 22.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo an alle Beteiligten,
ich habe mir die vorherigen Beiträge nicht durchgelesen, antworte also nur auf die letzte Frage:
Die Gleichung [mm] $-3e^x+2(e^x)^{2}=0$ [/mm] löst man durch Substitution, d.h. du setzt einfach [mm] u=e^{x} [/mm] und löst die entstehende quadratische Gleichung in $u$. Anschließend musst du wieder rücksubstituieren, d.h. du musst die Gleichung [mm] $e^{x}=u$ [/mm] nach $x$ auflösen!
Alles klar? Ansonsten bitte nochmal nachfragen!
MFG,
Yuma
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Mi 22.02.2006 | | Autor: | barlip |
Gut ich habe es mit der Substitution dann folgendermaßen gelöst:
[mm] 0=-3e^x [/mm] + [mm] 2(e^x)^2
[/mm]
[mm] e^x [/mm] = u
0=-3u + [mm] 2u^2
[/mm]
0=u(-3+2u) Xe = 0 <- geht nicht da [mm] e^x [/mm] nicht Null werden kann
3/2=u
[mm] 3/2=e^x [/mm] Xe = 3/2
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:59 Mi 22.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Barlip,
> Gut ich habe es mit der Substitution dann folgendermaßen
> gelöst:
> [mm]0=-3e^x[/mm] + [mm]2(e^x)^2[/mm]
> [mm]e^x[/mm] = u
>
> 0=-3u + [mm]2u^2[/mm]
> 0=u(-3+2u) Xe = 0 <- geht nicht da [mm]e^x[/mm]
> nicht Null werden kann
>
> 3/2=u
Das ist bis hierhin im Prinzip richtig - allerdings lautet die erste Ableitung [mm] $f'(x)=-4e^{x}+2(e^{x})^{2}$.
[/mm]
> [mm]3/2=e^x[/mm] Xe = 3/2
Wenn [mm] $u=e^{x}$ [/mm] (und $x>0$), dann (und nur dann) gilt [mm] $x=\ln{u}$ [/mm] (nicht $x=u$).
In deinem Fall wäre die Lösung also [mm] $x=\ln{\left(\bruch{3}{2}\right)}$.
[/mm]
MFG,
Yuma
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:02 Mi 22.02.2006 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo barlip, hallo Yuma!
Das funktioniert auch etwas leichter, wenn Du jeweils den Faktor [mm] $e^x$ [/mm] wieder ausklammerst und das Prinzip des Null-Produktes anwendest.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:08 Mi 22.02.2006 | | Autor: | Yuma |
... nur vorher halt mit $u$ bezeichnet... 
MFG,
Yuma
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:48 Mi 22.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo nochmal,
sorry, aber deine Ableitungen sind alle falsch... :-(
[mm] $-4e^{x}$ [/mm] ändert sich beim Ableiten nicht: [mm] $(e^{x})'=e^{x}$.
[/mm]
Auch der zweite Summand wurde nicht richtig abgeleitet, wahrscheinlich aus demselben Grund...
MFG,
Yuma
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Mi 22.02.2006 | | Autor: | barlip |
Hi
Kannst du mir denn mal kurz zeigen wie ich die ableiten muss.
Ich dachte da benutze ich dann die Produktregel um [mm] -4e^x
[/mm]
abzuleiten.
Ist der Ansatz denn von [mm] u=e^x [/mm] richtig ??
danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:03 Mi 22.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Barlip,
die Substitution ist prinzipiell korrekt - siehe meine obige Antwort...
Die Frage nach den Ableitungen wird ja gerade von fmBjoern beantwortet!
MFG,
Yuma
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Hi!
Zuerst zu den Ableitungen:
Die $-4$ vor dem $e$ ist ein konstanter Faktor. Beim Ableiten bleibt dieser Faktor erhalten, die Produktregel kannst du hier nicht benutzen.
Das besondere der $e$-Funktion ist, dass sie ihre eigene Ableitung ist. Daher ist [mm] $e^x$ [/mm] abgeleitet wieder [mm] $e^x$. [/mm] Der erste Summand ist also abgeleitet [mm] $-4e^x$, [/mm] beim zweiten Summanden [mm] ($e^{2x}$) [/mm] musst du die Verkettung beachten, d.h. $2x$ muss auch abgeleitet werden (ergibt $2$). Dann ist die Ableitung von [mm] $e^{2x}$ [/mm] genau [mm] $2e^{2x}$.
[/mm]
Ich hoffe, dass du meinen Ausführungen folgen konntest... sonst frag einfach!
Jetzt die Substitution:
Richtig ist, dass [mm] $\bruch{3}{2}=u$ [/mm] und dass du das dann in [mm] $e^x=u$ [/mm] einsetzen musst. Allerdings kommt dann nicht [mm] $x=\bruch{3}{2}$ [/mm] raus, sondern [mm] $x=\ln{\bruch{3}{2}}$... [/mm] funktioniert genauso wie [mm] $u=x^2$: [/mm] da ist $|x|$ auch nicht $u$ sondern [mm] $\wurzel{u}$!
[/mm]
Mit freundlichen Grüßen
Bjoern
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 Mi 22.02.2006 | | Autor: | barlip |
OK danke habe ich jetzt soweit verstanden,
aber was hat das mit dem ln aufsich ???
soweit sehr vielen dank
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Der [m]ln[/m] ist der "natürliche Logarithmus". Als natürlichen Logarithmus bezeichnet man einen Logarithmus zur Basis [m]e[/m].
Irgendwann in der 9. oder 10. Klasse nimmt man die Exponentialfunktionen durch, das sind Funktionen des Types [m]f(x)=a^x[/m], wobei a die Basis ist (eine konstante Zahl). [m]e^x[/m] ist eine solche Exponentialfunktion, nur eben zur Basis [m]e[/m] (EULERsche Zahl).
Genau wie bei meinem Wurzelbeispiel musst du die Umkehrfunktion nutzen, um den Ausdruck [m]e^x=u[/m] nach x zu lösen. Genau wie [m]\wurzel{x^2} = |x|[/m] (Beachte: Die Wurzel ist die Umkehrfunktion zu "Hoch Zwei") ist auch [m]\ln{e^x}=x[/m].
Ich hoffe, dass reicht dir als Erklärung ;) , ansonsten einfach melden!
Bjoern
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