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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 19:10 Mo 13.02.2006 | | Autor: | jane882 |
| Aufgabe | Der Verlauf eines Seiles zwischen zwei Aufhängepunkten A (0/0) und B(50/10) kann näherungsweise durch eine quadratische Funktion mit f f(x)=ax²+ bx + c beschrieben werden (Einheiten in m)
a) Bestimmen sie a, b und c so, dass die Tangente im Punkt B die Steigung 1 hat.
b) Welche Koordinaten hat der tiefste Punkt T des Seils? In welchem Punkt D ist der Durchhang d des Seils am größten
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Hi:) Also die Aufgabe habt ihr ja schon gelesen, Lösung ist auch dabei nur die b) verstehe ich nicht so ganz:( wie die an die Werte gekommen sind? Kann mir jemand helfen? Wäre voll lieb:) Danke!
Lösung:
f(x)=ax²+bx+c //A(0;0)
0=a*0²+b*0+c
0=c //das c fällt also aus dem Funktionsterm weg
f(x)=ax²+bx
f'(x)=2ax+b //die Steigung bei x=50 soll 1 sein, also f'(50)=1
2a*50+ b=1
b=1-100a
in f(x)eingesetzt:
f(x)=ax²+(1-100a)x //B(50;10) also für x=50 kommt 10 raus
10=a*50²+50-5000a
a=0,016
in b=1-100a einsetzen:
b=-0,6
also die Funktionsgleichung:
f(x)=0,016x²-0,6x
(=Tiefpunkt)ausrechnen:
f'(x)=0,032x-0,6 muss 0 sein:
0,032x-0,6=0
x=18,75
überprüfen, ob wirklich ein Tiefpunkt:
f´´(x)=0,032 >0 ein Tiefpunkt
x=18,75 in die Funktion einsetzen liefert die y-Koordinate
y=0,016*(18,75)²-06*18,75=-5,625
T(18,75/-5,625)
BIS DAHIN HAB ICH ES VERSTANDEN gibt ja schonmal n pluspunkt für mein mathematisches verständnis
und nach dem Tiefpunkt kommt dann:
g(x)= 1/5x
f'(x)= 0,016x²-0,6x
D(25/-5)
...aber wie kommen die da auf 1/5 x? Und auch wenn ich dann diese 1/5 x in die darunter stehende Funktion einsetze, kommen bei mir nicht die Werte für D raus, die die da haben ?! Und mit D ist denke ich mal die Mitte der Strecke gemeint...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:47 Mo 13.02.2006 | | Autor: | Disap |
Hallo.
> Der Verlauf eines Seiles zwischen zwei Aufhängepunkten A
> (0/0) und B(50/10) kann näherungsweise durch eine
> quadratische Funktion mit f f(x)=ax²+ bx + c beschrieben
> werden (Einheiten in m)
> a) Bestimmen sie a, b und c so, dass die Tangente im Punkt
> B die Steigung 1 hat.
> b) Welche Koordinaten hat der tiefste Punkt T des Seils? In
> welchem Punkt D ist der Durchhang d des Seils am größten
>
> Hi:) Also die Aufgabe habt ihr ja schon gelesen, Lösung ist
> auch dabei nur die b) verstehe ich nicht so ganz:( wie die
> an die Werte gekommen sind? Kann mir jemand helfen? Wäre
> voll lieb:) Danke!
>
> Lösung:
> f(x)=ax²+bx+c //A(0;0)
> 0=a*0²+b*0+c
> 0=c //das c fällt also aus dem Funktionsterm weg
> f(x)=ax²+bx
> f'(x)=2ax+b //die Steigung bei x=50 soll 1 sein, also
> f'(50)=1
> 2a*50+ b=1
> b=1-100a
> in f(x)eingesetzt:
> f(x)=ax²+(1-100a)x //B(50;10) also für x=50 kommt 10 raus
> 10=a*50²+50-5000a
> a=0,016
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> in b=1-100a einsetzen:
> b=-0,6
> also die Funktionsgleichung:
> f(x)=0,016x²-0,6x
> (=Tiefpunkt)ausrechnen:
> f'(x)=0,032x-0,6 muss 0 sein:
> 0,032x-0,6=0
> x=18,75
> überprüfen, ob wirklich ein Tiefpunkt:
> f´´(x)=0,032 >0 ein Tiefpunkt
> x=18,75 in die Funktion einsetzen liefert die y-Koordinate
> y=0,016*(18,75)²-06*18,75=-5,625
> T(18,75/-5,625)
![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
> BIS DAHIN HAB ICH ES VERSTANDEN gibt ja schonmal n
> pluspunkt für mein mathematisches verständnis
Bis hier hin war tatsächlich alles richtig, Glückwunsch!
> und nach dem Tiefpunkt kommt dann:
> g(x)= 1/5x
> f'(x)= 0,016x²-0,6x
> D(25/-5)
> ...aber wie kommen die da auf 1/5 x? Und auch wenn ich dann
> diese 1/5 x in die darunter stehende Funktion einsetze,
> kommen bei mir nicht die Werte für D raus, die die da haben
> ?! Und mit D ist denke ich mal die Mitte der Strecke
> gemeint...
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Also das finde ich jetzt frech. ![[]](/images/popup.gif) Hierhast du die Frage gestern gestellt, genau der gleiche Wortlaut usw. Das ist ansich nichts schlimmes, aber das solltest du auch angeben und uns hier nicht einen vorlügen! Merke dir das bitte für die Zukunft. Mir hätte es auch das nachrechnen erspart....
Du musst es folgendermassen machen: Du stellst eine Gerade g(x), diese hat die Steigung [mm] \bruch{ \Delta y}{ \Delta x}, [/mm] auf. Nun musst du die Funktion, die du in Aufgabe a ermittelt hast, einmal ableiten (hast du auch schon gemacht) und mit der Steigung der Geraden gleichsetzen.
f'(x) = [mm] \bruch{1}{5}
[/mm]
Und das löst du nach x auf und du hast die Stelle, an die der Durchhang am größten ist. Der tiefste Punkt war übrigens der Tiefpunkt.
Nun alles klar?
Viele Grüße Disap
PS: Die Frage finde ich allerdings interessant: ...aber wie kommen die da auf 1/5 x? Wer ist hier mit die gemeint?
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