Ableitung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:44 Mo 02.07.2007 | | Autor: | Wehm |
| Aufgabe | Sei $f(x,y) = [mm] sin^2(x^2y+y) [/mm] + [mm] sin^2(2xy)$ [/mm] Es gibt dann (Satz über implizite Funktionen) $a < 1 < b$ und eine differenzierbare Funktion
$g:]a,b[ [mm] \to \IR$ [/mm] mit $f(x,g(x)) = 1 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] ]a,b[$ und $g(1) = [mm] \frac{\pi}{8}$. [/mm] Berechnen Sie die Ableitung g'(1) von g an der Stelle 1.
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Hallo.
Ich hab hier das totale Problem g zu berechnen. Woran liegts? Ich habe da gar keine Vorstellung, wie ich auf das g komme.
Ich weiß,
$g(1) = [mm] \frac{\pi}{8}$
[/mm]
Jetzt beginnt das Raten. g(x) ist das y von f(x,y)
Also $f(x,g(x)) = [mm] sin^2(x^2*g(x)+g(x)) [/mm] + [mm] sin^2(2x*g(x))$
[/mm]
Das ist immer gleich 1
$1 = [mm] sin^2(x^2*g(x)+g(x)) [/mm] + [mm] sin^2(2x*g(x)) [/mm] = f(x,g(x))$
Weiterhin weiß ich ja, dass g(1) = pi/8
$f(x,1) = [mm] sin^2(x^2*\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{8}) [/mm] + [mm] sin^2(2x*\frac{\pi}{8})=1$
[/mm]
$f(x,1) = [mm] sin^2(x^2*\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{8}) [/mm] + [mm] sin^2(x*\frac{\pi}{4})=1$
[/mm]
und das soll für alle x gelten. Glaub ich nicht
Ich bin da total aufgeschmissen.
Grüße
Wehm
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:20 Mo 02.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Wehm
> Sei [mm]f(x,y) = sin^2(x^2y+y) + sin^2(2xy)[/mm] Es gibt dann (Satz
> über implizite Funktionen) [mm]a < 1 < b[/mm] und eine
> differenzierbare Funktion
>
> [mm]g:]a,b[ \to \IR[/mm] mit [mm]f(x,g(x)) = 1 \forall x \in ]a,b[[/mm] und
> [mm]g(1) = \frac{\pi}{8}[/mm]. Berechnen Sie die Ableitung g'(1) von
> g an der Stelle 1.
>
> Hallo.
>
> Ich hab hier das totale Problem g zu berechnen. Woran
> liegts? Ich habe da gar keine Vorstellung, wie ich auf das
> g komme.
Du kannst auch g gar nicht berechnen, der Satz über impl. funktionen sagt nur dass das an jeder Stelle lokal geht!
> Ich weiß,
> [mm]g(1) = \frac{\pi}{8}[/mm]
>
> Jetzt beginnt das Raten. g(x) ist das y von f(x,y)
>
> Also [mm]f(x,g(x)) = sin^2(x^2*g(x)+g(x)) + sin^2(2x*g(x))[/mm]
>
> Das ist immer gleich 1
>
> [mm]1 = sin^2(x^2*g(x)+g(x)) + sin^2(2x*g(x)) = f(x,g(x))[/mm]
und das leitest du jetzt nach der Kettenregel nach x ab. die rechte Seite wird dabei 0, du hast dann einen Ausdruck mit g(x),x, g'(x) da setz du dann x=1 und g(x)=1 dann bleibt nur g'(1) über und du kannst es ausrechnen!
(damit es klar ist ein Beispiel- NICHT deins: [mm] f(x,g(x))=sin(x^2*g(x))=7
[/mm]
daraus [mm] df/dx=cos(x^2*g(x))*(2x*g(x)+x^2*g'(x)=0) [/mm] mit g(1)=1 wär das: cos(1)*(1+g'(1))=0 ;g'(1)=-1))
also auf Ketten und Produktregel achten!
so
>
> Weiterhin weiß ich ja, dass g(1) = pi/8
>
> [mm]f(x,1) = sin^2(x^2*\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{8}) + sin^2(2x*\frac{\pi}{8})=1[/mm]
>
> [mm]f(x,1) = sin^2(x^2*\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{8}) + sin^2(x*\frac{\pi}{4})=1[/mm]
>
> und das soll für alle x gelten. Glaub ich nicht
Damit hast du völlig recht! es gilt ja nur für x=1!!
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Mo 02.07.2007 | | Autor: | Wehm |
Hi.
> (damit es klar ist ein Beispiel- NICHT deins:
> [mm]f(x,g(x))=sin(x^2*g(x))=7[/mm]
> daraus [mm]df/dx=cos(x^2*g(x))*(2x*g(x)+x^2*g'(x)=0)[/mm] mit
> g(1)=1 wär das: cos(1)*(1+g'(1))=0 ;g'(1)=-1))
> also auf Ketten und Produktregel achten!
Ohne dieses Beispiel hätte ich auch nach dem Ableiten keine Chance mehr gehabt.
Die Ableitung in meinem Beispiel wird aber krass
1 = [mm] sin^2(x^2*g(x)+g(x)) [/mm] + [mm] sin^2(2xg(x))
[/mm]
[mm] $[sin^2(x^2*g(x)+g(x))]' [/mm] = [mm] sin((x^2*g(x)+g(x)))*cos(x^2*g(x)+g(x))*(2x*g(x)+g'(x)*x^2+g'(x))$
[/mm]
[mm] $[sin^2(2xg(x))]' [/mm] =sin(2xg(x))*cos(2xg(x))*2g(x) + 2xg'(x) $
Also alles zusammen abgeleitet df/dx
[mm] $sin((x^2*g(x)+g(x)))*cos(x^2*g(x)+g(x))*(2x*g(x)+g'(x)*x^2+g'(x))+sin(2xg(x))*cos(2xg(x))*2g(x) [/mm] + 2xg'(x) = 0 $
g(1) = [mm] \pi [/mm] /8
[mm] $sin((1^2*\frac{\pi}{8})+\frac{\pi}{8}))*cos(1^2*\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{8})*(2*1*\frac{\pi}{8}+g'(x)*1^2+g'(x))+sin(2*1*\frac{\pi}{8})*cos(2*1 *\frac{\pi}{8})*2*\frac{\pi}{8} [/mm] + 2*1*g'(x) = 0 $
[mm] $sin(\frac{\pi}{4}) *cos(\frac{\pi}{4})*(\frac{\pi}{4}*g'(1)) [/mm] + [mm] sin(\frac{\pi}{4})*cos(\frac{\pi}{4})*\frac{\pi}{4}+2g'(1) [/mm] = 0$
[mm] sin(\frac{\pi}{4})cos(\frac{\pi}{4}) [/mm] = 1/2, damit ergibt sich
[mm] $0.5*(\frac{\pi}{4}*g'(1)) [/mm] + [mm] 0.5*\frac{\pi}{4}+2g'(1) [/mm] = 0$
Irgendwo habe ich hier einen fetten Fehler [mm] (\frac{\pi}{4}*g'(1) [/mm] kommt mir total komisch vor.
Ansonsten ist mir das Prinzip aber klar, recht vielen Dank.
Wer findet sich jetzt noch, den Fehler zu finden? 
Grüße
Wehm
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 Mo 02.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
2 mal derselbe Fehler:
(sin(f(x))'=cos(f(x))*f'
du schreibst:(sin(f(x))'=sin(f(x)*cos(f(x))*f'
Also nochmal.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Mo 02.07.2007 | | Autor: | Wehm |
Ja, aber das ist doch auch [mm] sin^2(...) [/mm] !?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:27 Mo 02.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
sorry! du hast recht dann fehlt bim ersten und 2. Ausdruck nur ne 2vor dem sin und beim zweiten Ausdruck ne Klammer um die 2 letzen Glieder.
viel Spaaaaass!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:31 Mo 02.07.2007 | | Autor: | Wehm |
Hi.
Recht herzlichen Dank für deine Hilfe
Ganz besonders für dein Beispiel, ich werde mir es statt dieser Aufgabe verinnerlichen. Solch komplexe Ableitung sind nur Fehlerquelle, deine Beispielaufgabe ist viel besser gewesen um das Prinzip zu demonstrieren. Super Hilfe war das.
Gruß
Wehm
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