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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:42 Mi 22.08.2007 | | Autor: | Borti |
Hallo Ihr Lieben,
Ich soll Folgendes machen:
[mm] \IR\to\IR
[/mm]
[mm] $f_n(x)=x^n$ $n\in\IZ$
[/mm]
Ich soll Differenzierbarkeit zeigen und eine Ableitung mit Hilfe von vollständiger Induktion.
Eigentlich müsste die Ableitung doch irgendwie so aussehen:
[mm] $f_n'(x)=x^{n-1}$ $n\in\IZ$
[/mm]
Ich bin mir nicht ganz sicher wie ich die Differnezierbarkeit zeigen kann, normaler weiße würde ich schauen ob es eine Ableitung gibt.
Kann mir vllt. jmd helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:56 Mi 22.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Borti!
Zum einen lautet die Ableitung zu [mm] $f_n(x) [/mm] \ = \ [mm] x^n$ [/mm] selbstverständlich [mm] $f_n'(x) [/mm] \ = \ [mm] \red{n}*x^{n-1}$ [/mm] .
Und die Differenzierbarkeit wird üblicherweise durch die Existenz des Differentialquotienten nachgeweisen:
$f'(x) \ := \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}$
[/mm]
Für Deine Aufgabe musst Du also (nach dem Nachweis des Induktionsanfanges) folgendes zeigen: [mm] $f_{n+1}'(x) [/mm] \ = \ [mm] (n+1)*x^n$ [/mm] .
Dafür würde ich den Term für [mm] $f_{n+1}(x)$ [/mm] wie folgt zerlegen und mit der  Produktregel arbeiten. Dies ist zulässig, da durch die Induktionsannahme alle [mm] $f_n(x)$ [/mm] differenzierbar sind sowie die o.g. Ableitung haben:
[mm] $f_{n+1}(x) [/mm] \ = \ [mm] x^{n+1} [/mm] \ = \ [mm] x^n*x^1 [/mm] $
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Mi 22.08.2007 | | Autor: | Borti |
Wähle ich dann
$ [mm] f_n'(x) [/mm] \ = \ [mm] \red{n}\cdot{}x^{n-1} [/mm] $ für den Induktionsanfang?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:15 Mi 22.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Borti!
Nein, für den Induktionsanfang wählst man üblicherweise $n \ = \ 1$ ; also [mm] $f_1(x) [/mm] \ = \ [mm] x^1$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 Mi 22.08.2007 | | Autor: | Borti |
Ach stimmt ja, auweia.
Habe für den Anfang [mm] f_1(x)= x^1
[/mm]
Für den Schritt [mm] f_n+1(x)=x^{n+1}
[/mm]
Für den Schluss dann
zu zeigen: $ [mm] f_{n+1}'(x) [/mm] \ = \ [mm] (n+1)\cdot{}x^n [/mm] $
Daraus folgt dann:
[mm] f'_n+1(x)=n*x^{n-1}+x^n [/mm] (nach Produktregel)
und das wäre genau $ [mm] f_{n+1}'(x) [/mm] \ = \ [mm] (n+1)\cdot{}x^n [/mm] $
Was mir noch einfällt ein Tipp sagt ich soll mir das ganze für die Fälle n [mm] \ge [/mm] 1 , n [mm] \le [/mm] -1 und n=0 anschauen, was bringt mir das nun.
War das soweit richtig, was mache ich jetzt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:58 Mi 22.08.2007 | | Autor: | Borti |
Hat jemand vielleicht noch einen Tipp?
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Hallo!
Naja, überleg mal, was die Vorraussetzungen für Differenzierbarkeit sind. Dann guck dir mal die Graphen der Funktionen:
x^-1
[mm] x^0
[/mm]
[mm] x^1 [/mm] an.
Da müsste dir dann was auffallen...
Wie kann man x^-1 noch schreiben? Und durch was darf man nicht teilen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Mi 22.08.2007 | | Autor: | Borti |
Ich könnte noch [mm] \bruch{1}{x} [/mm] dafür schreiben, sprich nicht definiert für x=0
nur was hilft mir das nun um konkret die Differenzierbarkeit nachzuweisen
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[mm] x^n [/mm] für n [mm] \le [/mm] -1 ist nicht stetig für x [mm] \in \IR
[/mm]
[mm] x^n [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 1 ist stetig
[mm] x^n [/mm] für n = 0 ist konstant
und jetzt lies doch mal nach was die Vorraussetzung für Differenzierbarkeit ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 Mi 22.08.2007 | | Autor: | Borti |
Das ist doch aber diese Sache mit dem Grenzwert:
$ f'(x) \ := \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h} [/mm] $
Und das ist gerade mein Problem, an dieser Stelle schonmal nen dickes Danke :)
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Ja, das ist ein Kriterium...
Das zweite ist:
Aus der Vorlesung wissen wir:
Ist f differenzierbar => f ist stetig
also, a impliziert b
[mm] \neg [/mm] b => [mm] \neg [/mm] a heißt also:
f ist nicht stetig => f ist nicht differenzierbar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 Mi 22.08.2007 | | Autor: | Borti |
Haben wir nicht auch gelernt, das eine differntierbare Funktion stetig ist, dies aber eben nicht anderes herum funktioniert?
Ach qutsch für nicht gehts wa.
Manchmal glaube ich das is nichts für mich :) ... wie kommst du mit dem Kurs so gut klar ?
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Ja!
Aber ich habe doch die Implikation richtig angewendet!!!
Was du sagst wäre:
Jede stetige Funktion ist differenzierbar!
DAS ist falsch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:29 Mi 22.08.2007 | | Autor: | Borti |
Das habe ich auch noch erkannt, sry irgendwie übersehen, damit könnte ich das ganze für n [mm] \le [/mm] -1 zeigen aber wie mit den anderen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 Mi 22.08.2007 | | Autor: | Borti |
... Das habe ich auch noch erkannt, sry irgendwie übersehen, damit könnte ich das ganze für n [mm] \le [/mm] -1 zeigen aber wie mit den anderen?
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Ja gut...
Das hab ich einfach schlichtweg behauptet :)
Da fiel mir einfach kein besserer Weg ein.
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