Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:38 Di 05.02.2008 | | Autor: | howtoadd |
| Aufgabe | | Man macht bei der Ableitung einer Funktion mit Betrag einen Fallunterschied nach Positivem und Negativem innerhalb des Betrages! |
hallo,
schreibe nächste woche meine mathe klausur, und hab da noch so einige lücken :(((
also, mit ableitungen bin ich ein bissl vertraut... aber der satz oben sagt mir nicht viel aus :( deswegen bin ich froh, wenn ihr mir erklären könntet was es für einen fallunterschied gibt und wie überhaupt eine ableitung von einem betrag aussieht...
ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt.
danke um alle bemühungen,
lieben gruß
howtoadd
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Hallo howtoadd!
Der Satz besagt lediglich, dass Du für den Betrag jeweils die Definition anwenden sollst und beide Teilfunktionen separat ableiten sollst.
[mm] $$|x|:=\begin{cases} -x, & \mbox{für } x \ < \ 0 \mbox{ } \\ +x, & \mbox{für } x \ \ge \ 0 \mbox{ } \end{cases}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:56 Di 05.02.2008 | | Autor: | howtoadd |
sorry aber das sagt mir irgendwie nichts :///
also, wo ist dann der fallunterschied?? und welche defintion? :((
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:01 Di 05.02.2008 | | Autor: | abakus |
Wenn du von irgendwas den Betrag bildest, bleibt entweder alles, wie es ist, oder (falls es negativ ist), wird was positives draus.
Für Graphen bedeutet das, dass die Teile, die unterhalb der y-Achse liegen, nach oben gespiegelt werden (mit Konzequenzen für den jeweiligen Anstieg der gepiegelten Funktionsteile).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:09 Di 05.02.2008 | | Autor: | howtoadd |
danke, also, wie ich es jetzt verstanden habe:
mal angenommen f (x) = 2x-3
und das jetzt in betragsstrichen: |2x-3| = 2x + 3 ?????
weil das es ja vorher |-3|= 3 ???
aber da stand ja die ableitung einer funktion mit betrag, also:
a.) |2x-3| die ableitung |2|= 2
und bei
b.) |-2x-3| die ableitung |-2| =2 ??????
also wenn das so richtig ist, dann ändert sich doch trozdem nichts mit dem ergebnis, beide sind ja positiv, oder wird a.) aufgrund positiver zahl dann außerhalb der betragsstriche negativ ??
dann hätte man ja einen fallunterschied zwischen positivem und negativem...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:17 Di 05.02.2008 | | Autor: | abakus |
> danke, also, wie ich es jetzt verstanden habe:
>
> mal angenommen f (x) = 2x-3
> und das jetzt in betragsstrichen: |2x-3| = 2x + 3
Unfug!
Mache eine Wertetabelle
x y=2x-3
-2 -7
-1 -5
0 -3
1 -1
1,5 0
2 1
3 3
Jetzt bist du dran: Bilde in der folgenden Tabelle von sämtlichen oben angegebenen y-Werten den Betrag:
x |2x-3|
-2
-1
0
1
1,5
2
3
> ?????
>
> weil das es ja vorher |-3|= 3 ???
>
> aber da stand ja die ableitung einer funktion mit betrag,
> also:
>
> a.) |2x-3| die ableitung |2|= 2
>
> und bei
> b.) |-2x-3| die ableitung |-2| =2 ??????
>
> also wenn das so richtig ist, dann ändert sich doch trozdem
> nichts mit dem ergebnis, beide sind ja positiv, oder wird
> a.) aufgrund positiver zahl dann außerhalb der
> betragsstriche negativ ??
> dann hätte man ja einen fallunterschied zwischen positivem
> und negativem...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:35 Di 05.02.2008 | | Autor: | howtoadd |
oops,
also:
x= -2 |2 * (-2) - 3|= |-7|= 7
x= -1 |2* (-1) -3 | = |-5|= 5
x= 0 |2* 0 -3| = |-3|= 3
x=2 |2* 2 -3| = |1| = 1
besser? :S
und wie ist das jetzt mit der ableitung?
war die richtig?
f (x)= -2x-3 ??
|-2x-3| = |-2| = 2 ??
danke um die erklärungen :))
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Hallo howtoadd!
Um die Ableitung einer Betragsfunktion zu bestimmen, muss man die mehrfach erwähnte Fallunterscheidung machen:
$$ [mm] f(x)=|2x-3|:=\begin{cases} -(2x-3), & \mbox{für } 2x-3 \ < \ 0 \mbox{ } \\ +(2x-3), & \mbox{für } 2x-3 \ \ge \ 0 \mbox{ } \end{cases} [/mm] = [mm] \begin{cases} -2x+3, & \mbox{für } x \ < \ \bruch{3}{2} \mbox{ } \\ +2x-3, & \mbox{für } x \ \ge \ \bruch{3}{2} \mbox{ } \end{cases} [/mm] $$
Nun kannst Du für diese beiden Teilfunktionen jeweils die Ableitung ermitteln.
Aufpassen musst Du jedoch an der "Nahtstelle" [mm] $x_0 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3}{2}$ [/mm] , da dort die Funktion nicht differenzierbar ist.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Di 05.02.2008 | | Autor: | howtoadd |
ich hab da doch noch eine frage ://///
wie ist man denn jetzt auf 3/2 gekommen? kann man das selbst bestimmen :////???
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Hallo howtoadd!
Ich habe die Ungleichung $2x-3 \ < \ 0$ nach $x \ < \ ...$ umgestellt.
Und $2x-3_$ ist ja exakt, was innerhalb der Betragsstriche steht.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:57 Di 05.02.2008 | | Autor: | howtoadd |
o okey! :// mir fehlt ein mathegen :(((
dankeschön!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:56 Di 05.02.2008 | | Autor: | howtoadd |
ich hab jetzt die 3/2 einfach mal eingesetzt, ist die nullstelle der funktion... die frage hat sie erledigt, es sei denn, ich habs wieder falsch verstanden :///
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:05 Di 05.02.2008 | | Autor: | howtoadd |
oke, das verstehe ich...
wir haben jetzt einen fallunterschied gemacht, und wie gehts dann weiter?
also ich komme immer wieder auf meine lösung zurück.... denn wenn ich die ableitung beider gleichungen in betragsstriche fasse habe ich |-2| und |2| raus...
muss ich diese ergebnisse nun mit 3/2 vergleichen? dann ist |-2|=2 > 3/2
ist mir schon langsam peinlich :////
dankeschön nochmal für alle!
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Hallo howtoadd!
Wie heban doch nun die Funktion $f(x) \ = \ |2x-3|$ in diese beiden Teilfunktionen zerlegt:
[mm] $$f(x)=\begin{cases} -2x+3, & \mbox{für } x \ < \ \bruch{3}{2} \mbox{ } \\ +2x-3, & \mbox{für } x \ \ge \ \bruch{3}{2} \mbox{ } \end{cases}$$
[/mm]
Bilde nun also für beide Teilfunktionen [mm] $f_1(x) [/mm] \ = \ -2x+3$ bzw. [mm] $f_2(x) [/mm] \ = \ +2x-3$ jeweils die Ableitung (diese sollten ja kein Problem darstellen):
[mm] $$f'(x)=\begin{cases} ..., & \mbox{für } x \ < \ \bruch{3}{2} \mbox{ } \\ ..., & \mbox{für } x \ \ \red{>} \ \ \bruch{3}{2} \mbox{ } \end{cases}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Di 05.02.2008 | | Autor: | howtoadd |
aber das mache ich doch die ganze zeit :(((
die ableitung ist doch |-2| und |2|
die ableitung von |-2x-3| und |2x-3|
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Hallo howtoadd!
Durch unsere Fallunterscheidung haben wir doch extra die Betragsstriche aus unserer Funktionsvorschrift entfernt.
Wo sollen denn da plötzlich in der Ableitung die Betragsstriche wieder herkommen?
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:43 Di 05.02.2008 | | Autor: | howtoadd |
dann die ableitung ohne betragsstriche, ergibt -2 und 2
ich gibs auf :((((
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:51 Di 05.02.2008 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo howtoadd!
So stimmt es dann. Du musst es nur noch sauberer mit der Fallunterscheidung aufschreiben (siehe oben).
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:44 Di 05.02.2008 | | Autor: | howtoadd |
dankeschön!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:17 Di 05.02.2008 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo howtoadd!
In meiner Antwort habe ich doch die Definition der Betragsfunktion aufgeführt.
Und die Fallunterscheidung ist dann stets: Argument kleiner als Null (Fall 1) oder Argument größer/gleich Null (Fall 2).
Gruß vom
Roadrunner
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