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Hallo,
ich habe eine kurze Frage zur Ableitung von ln(xy), wenn ich nach x ableite.
Ist das dann 1/xy?
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Hallo, es handelt sich dabei um die partielle Ableitung, leiten wir nach x ab, so ist y eine Konstante, leiten wir nach y ab, so ist x eine Konstante, mache mal als Beispiel die Ableitung von ln(4x), benutze dabei die Kettenregel, dann kannst du zu ln(xy) gehen, die Ableitung nach x und die Ableitung nach y, Steffi
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Darauf bin ich auch gekommen, aber mir fehlt die Vorstellung, wie ln(4x) aussieht. Ich würde vermuten 1/(4x) *4, kann ich umformen zu 1/x (kürzen?) demnach also auch 1/y wenn ich nach x ableite.
Aber das scheint so falsch :(
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Hallo Englein,
> Darauf bin ich auch gekommen, aber mir fehlt die
> Vorstellung, wie ln(4x) aussieht. Ich würde vermuten 1/(4x)
> *4, kann ich umformen zu 1/x (kürzen?) demnach also auch
> 1/y wenn ich nach x ableite.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Aber das scheint so falsch :(
Dann hat es falsch geschienen 
Es ist nämlich genau richtig!
LG
schachuzipus
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Dann habe ich aber ein Problem
Ich soll nach x ableiten:
[mm] x^2+y^2-2ln(xy)
[/mm]
Ich hätte dann die Ableitung nach x: 2x-2/y und für y: 2y-2/x
Ich soll die Punkte herausfinden, in der der Gradient der Nullvektor ist, also muss ich die beiden Funktionen gleich 0 setzen, aber da ich dann jeweils 2 ungleiche Variablen habe, kriege ich keine Lösung, oder?
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Hallo Englein89,
> Dann habe ich aber ein Problem
>
> Ich soll nach x ableiten:
>
> [mm]x^2+y^2-2ln(xy)[/mm]
>
> Ich hätte dann die Ableitung nach x: 2x-2/y und für y:
> 2y-2/x
Das stimmt nicht ganz.
Ableitung nach x: [mm]2x-\bruch{2}{x}[/mm]
Ableitung nach y: [mm]2y-\bruch{2}{y}[/mm]
>
> Ich soll die Punkte herausfinden, in der der Gradient der
> Nullvektor ist, also muss ich die beiden Funktionen gleich
> 0 setzen, aber da ich dann jeweils 2 ungleiche Variablen
> habe, kriege ich keine Lösung, oder?
Mit den richtigen Ableitungen bekommst Du schon Lösungen.
Gruß
MathePower
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Dann ist also jede Ableitung von ln(irgendwas * x)=1/x?
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Hallo, ja, so ist es, Steffi
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Dann möchte ich doch gleich mal die Lösungen zu 2 anderen Aufgaben hier posten um euch um Korrektur zu bitten, weil ich nicht weiterkomme.
[mm] g(x,y)=x^2-y^2-(x^2+y^2)^2
[/mm]
Nach x abgeleitet: [mm] 2x-4x(x^2+y^2)
[/mm]
nach y abgeleitet: [mm] -2y-4y(x^2+y^2)
[/mm]
Aber wie finde ich nun die Punkte, wo dieser Gradient den Nullvektor bildet? Also wie finde ich ein Ergebnis dafür, wenn ich die Funktionen jeweils =0 setze? Vielleicht.. Matrix auflösen?
Und [mm] h(x,y)=(x^2+y)^2+4xy-x
[/mm]
Nach x abgeleitet: [mm] 2(x^2+y)*2x+4y-1
[/mm]
nach x abgeleitet: [mm] 2(x^2+y)+4x
[/mm]
Was sagt ihr dazu`?
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Hallo Englein89,
> Dann möchte ich doch gleich mal die Lösungen zu 2 anderen
> Aufgaben hier posten um euch um Korrektur zu bitten, weil
> ich nicht weiterkomme.
>
> [mm]g(x,y)=x^2-y^2-(x^2+y^2)^2[/mm]
>
> Nach x abgeleitet: [mm]2x-4x(x^2+y^2)[/mm]
>
> nach y abgeleitet: [mm]-2y-4y(x^2+y^2)[/mm]
>
> Aber wie finde ich nun die Punkte, wo dieser Gradient den
> Nullvektor bildet? Also wie finde ich ein Ergebnis dafür,
> wenn ich die Funktionen jeweils =0 setze? Vielleicht..
> Matrix auflösen?
Hier kannst Du x bzw. y ausklammern.
Und den Ausdruck in der verbleibenden Klammer,
kannst Du auch nach einer Variablen auflösen.
> Und [mm]h(x,y)=(x^2+y)^2+4xy-x[/mm]
>
> Nach x abgeleitet: [mm]2(x^2+y)*2x+4y-1[/mm]
> nach x abgeleitet: [mm]2(x^2+y)+4x[/mm]
Hier bekommst Du aus der zweiten Gleichung eine Funkion [mm]y=y\left(x\right)[/mm].
Diese setzt Du dann in die erste Gleichung ein um die x-Werte zu finden.
>
> Was sagt ihr dazu'?
Gruß
MathePower
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> >
> > [mm]g(x,y)=x^2-y^2-(x^2+y^2)^2[/mm]
> >
> > Nach x abgeleitet: [mm]2x-4x(x^2+y^2)[/mm]
> >
> > nach y abgeleitet: [mm]-2y-4y(x^2+y^2)[/mm]
> >
> > Aber wie finde ich nun die Punkte, wo dieser Gradient den
> > Nullvektor bildet? Also wie finde ich ein Ergebnis dafür,
> > wenn ich die Funktionen jeweils =0 setze? Vielleicht..
> > Matrix auflösen?
>
>
> Hier kannst Du x bzw. y ausklammern.
> Und den Ausdruck in der verbleibenden Klammer,
> kannst Du auch nach einer Variablen auflösen.
>
Also [mm] x(2-4x^2-4y^2)? [/mm] Und dann? Ich verstehe nicht ganz, was du meinst.
>
> > Und [mm]h(x,y)=(x^2+y)^2+4xy-x[/mm]
> >
> > Nach x abgeleitet: [mm]2(x^2+y)*2x+4y-1[/mm]
> > nach x abgeleitet: [mm]2(x^2+y)+4x[/mm]
>
>
> Hier bekommst Du aus der zweiten Gleichung eine Funkion
> [mm]y=y\left(x\right)[/mm].
>
> Diese setzt Du dann in die erste Gleichung ein um die
> x-Werte zu finden.
>
Meinst du ich ersetze das x aus Gleichung 1 durch [mm] 2(x^2+y)+4x?
[/mm]
>
> >
> > Was sagt ihr dazu'?
>
>
> Gruß
> MathePower
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Hallo Englein89,
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> > >
> > > [mm]g(x,y)=x^2-y^2-(x^2+y^2)^2[/mm]
> > >
> > > Nach x abgeleitet: [mm]2x-4x(x^2+y^2)[/mm]
> > >
> > > nach y abgeleitet: [mm]-2y-4y(x^2+y^2)[/mm]
> > >
> > > Aber wie finde ich nun die Punkte, wo dieser Gradient den
> > > Nullvektor bildet? Also wie finde ich ein Ergebnis dafür,
> > > wenn ich die Funktionen jeweils =0 setze? Vielleicht..
> > > Matrix auflösen?
> >
> >
> > Hier kannst Du x bzw. y ausklammern.
> > Und den Ausdruck in der verbleibenden Klammer,
> > kannst Du auch nach einer Variablen auflösen.
> >
> Also [mm]x(2-4x^2-4y^2)?[/mm] Und dann? Ich verstehe nicht ganz, was
> du meinst.
Hieraus folgern wir dann:
[mm]x=0 \vee 2-4x^{2}-4y^{2}=0[/mm]
Dann gibt es 2 Fälle:
i) x=0
ii) [mm]4x^{2}+4y^{2}=2[/mm]
Und jetzt untersuchst für beide Fälle, was sich aus der Gleichung
[mm]-2y-4y(x^2+y^2)=0[/mm]
ergibt.
> >
> > > Und [mm]h(x,y)=(x^2+y)^2+4xy-x[/mm]
> > >
> > > Nach x abgeleitet: [mm]2(x^2+y)*2x+4y-1[/mm]
> > > nach x abgeleitet: [mm]2(x^2+y)+4x[/mm]
> >
> >
> > Hier bekommst Du aus der zweiten Gleichung eine Funkion
> > [mm]y=y\left(x\right)[/mm].
> >
> > Diese setzt Du dann in die erste Gleichung ein um die
> > x-Werte zu finden.
> >
> Meinst du ich ersetze das x aus Gleichung 1 durch
> [mm]2(x^2+y)+4x?[/mm]
Nun, aus
[mm]2(x^2+y)+4x=0 \Rightarrow y=-2x-x^{2}[/mm]
Dies setzt Du jetzt in die Gleihung
[mm]2(x^2+y)*2x+4y-1=0[/mm]
ein.
> >
> > >
> > > Was sagt ihr dazu'?
> >
> >
> > Gruß
> > MathePower
>
Gruß
MathePower
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Hallo Englein,
alternativ, falls du die Kettenregel nicht magst, helfen bei Logarithmen fast immer Umformungen weiter.
So auch hier
[mm] $\ln(x\cdot{}y)=\ln(x)+\ln(y)$
[/mm]
Und da kannst du die partiellen Ableitungen ja "ablesen"
LG
schachuzipus
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