Ableitung + vereinfachen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:38 Fr 05.12.2008 | | Autor: | larifari |
| Aufgabe | | Ableitung f(x)=arcsin[(x+1)(x-1)^-1] |
Hallo,
folgende Sache beschäftigt mich und ich hab das Gefühl, dass da irgendwo der Wurm drin ist.
Ableitung sollte ja durch innere x äußere Ableitung entstehen.
Ich komm also auf folgendes Ergebnis:
[mm] 1/wurzel{1-(x+1)^2/(x-1)^2} [/mm] (Ableitung arcsin) * -2/(x-1)² (Ableitung von (x+1)/(x-1).
Mit den beiden Ableitungen komme ich auf: [mm] -2/wurzel{1-(x+1)^2/(x-1)^2}*(x-1)².
[/mm]
Ich hab noch versucht das ganze zu vereinfachen, jedoch bisher ohne Erfolg. Also Ergebnis muss rauskommen: 1/(x-1)*(-x)^-0,5.
Hab das Gefühl, dass ist eigentlich recht einfach ist, jedoch steh ich irgendwie auf den Schlauch und komm nicht dahinter. Wäre nett wenn mir jeman auf die Sprünge hilft.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:02 Fr 05.12.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Bevor du dich an die Aableitung machst, würde ich das ganze noch ein wenig umformen, so umgehst du im Argument (der inneren Ableitung) nachher der Kombination aus Produkt und Kettenregel, sondern braucsht "nur noch" die Quotientenregel
Also:
[mm] f(x)=\arcsin\left((x+1)(x-1)^{-1}\right)
[/mm]
[mm] =\arcsin\left(\bruch{x+1}{x-1}\right)
[/mm]
Und jetzt mal ableiten:
[mm] f'(x)=\bruch{1}{\wurzel{1-\left(\bruch{x+1}{x-1}\right)^{2}}}*\bruch{1(x-1)-1(x+1)}{(x-1)²}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\wurzel{1-\left(\bruch{x+1}{x-1}\right)^{2}}}*\bruch{-2}{(x-1)²}
[/mm]
[mm] =\bruch{-2}{(x-1)²*\wurzel{1-\left(\bruch{x+1}{x-1}\right)^{2}}}
[/mm]
[mm] =\bruch{-2}{\wurzel{(x-1)^{4}*\left(1-\left(\bruch{(x+1)²}{(x-1)²}\right)^{2}\right)}}
[/mm]
[mm] =\bruch{-2}{\wurzel{(x-1)^{4}-\bruch{(x+1)²(x-1)^{4}}{(x-1)²}}}
[/mm]
[mm] =\bruch{-2}{\wurzel{(x-1)^{4}-(x+1)²(x-1)²}}
[/mm]
[mm] =\bruch{-2}{\wurzel{((x-1)²)^{2}-((x+1)(x-1))²}}
[/mm]
[mm] =\bruch{-2}{\wurzel{((x-1)²)^{2}-((x+1)(x-1))²}}
[/mm]
[mm] =\bruch{-2}{\wurzel{[((x-1)²)-((x+1)(x-1))]*[((x-1)²)+((x+1)(x-1))]}}
[/mm]
[mm] =\bruch{-2}{\wurzel{(x-1)²-(x+1)(x-1)]}*\wurzel{(x-1)²+(x+1)(x-1)}}
[/mm]
Kommst du jetzt irgendwie weiter?
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Fr 05.12.2008 | | Autor: | larifari |
Wie kommt man von:
$ [mm] =\bruch{-2}{(x-1)²\cdot{}\wurzel{1-\left(\bruch{x+1}{x-1}\right)^{2}}} [/mm] $
zu diesen Schritt:
$ [mm] =\bruch{-2}{\wurzel{(x-1)^{4}\cdot{}\left(1-\left(\bruch{(x+1)²}{(x-1)²}\right)^{2}\right)}} [/mm] $
den Nenner einfach ins quadrat nehmen!?
Der Ansatz reicht mir, jetzt muss ich theoretisch noch weiter ausmultiplizieren und komme dann auf mein Ergebnis oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 Fr 05.12.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Wie kommt man von:
>
> [mm]=\bruch{-2}{(x-1)²\cdot{}\wurzel{1-\left(\bruch{x+1}{x-1}\right)^{2}}}[/mm]
>
> zu diesen Schritt:
>
> [mm]=\bruch{-2}{\wurzel{(x-1)^{4}\cdot{}\left(1-\left(\bruch{(x+1)²}{(x-1)²}\right)^{2}\right)}}[/mm]
>
> den Nenner einfach ins quadrat nehmen!?
Yep, es gilt: [mm] \wurzel{a²*b}=\wurzel{a²}*\wurzel{b}=a*\wurzel{b}
[/mm]
>
> Der Ansatz reicht mir, jetzt muss ich theoretisch noch
> weiter ausmultiplizieren und komme dann auf mein Ergebnis
> oder?
So sollte es sein, ja
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:17 Fr 05.12.2008 | | Autor: | larifari |
Wunderbar, langsam kommt Licht ins Dunkle. Vielen Dank!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Mo 08.12.2008 | | Autor: | larifari |
So irgendwie hänge ich doch nich in der Luft, nachdem ich gemerkt habe, dass irgendetwas falsch war.
Ich habe die Gleichung jetzt ausmultipliziert mit binomischen Formel usw. und komme auf:
[mm] \bruch{2}{\wurzel{-2+2}\*{\wurzel{x^{2}}-2x}}
[/mm]
jetzt hab ich unzählige sachen versucht um auf mein ergebnis: [mm] (x-1)^{-1}\*(-x)^{\bruch{-1}{2}} [/mm] x<0
Bin schon bisschen am verzweifeln und hoffe, dass jemand helfen kann. Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo larifari!
Da hast Du wohl falsch ausmultipliziert und zusammengefasst...
Betrachten wir nur mal den Nenner aus der letzten Zeile von Marius' Antwort:
[mm] $$\wurzel{(x-1)²-(x+1)(x-1)}\cdot{}\wurzel{(x-1)²+(x+1)(x-1)}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \wurzel{x^2-2x+1-x^2+1}\cdot{}\wurzel{x^2-2x+1+x^2-1}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \wurzel{2-2x}\cdot{}\wurzel{2x^2-2x}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \wurzel{2*(1-x)}\cdot{}\wurzel{2*x*(x-1)}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \wurzel{2}*\wurzel{1-x}\cdot{}\wurzel{2}*\wurzel{x}*\wurzel{x-1}$$
[/mm]
$$= \ [mm] 2*\wurzel{-(x-1)\cdot{}x*(x-1)}$$
[/mm]
$$= \ [mm] 2*\wurzel{-x*(x-1)^2}$$
[/mm]
$$= \ [mm] 2*(x-1)*\wurzel{-x}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:59 Mo 08.12.2008 | | Autor: | larifari |
So jetzt hat sich endlich alles geklärt. Hat wieder an kleinen Kleinigkeiten gelegen. Danke euch!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:07 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Astor |
Meiner Rechnung nach ist bei der Ableitungsumformung von der 4 zur 5. Zeile ein Fehler. Wie kommt der Subtrahend 1 weg?
Astor
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