Ableitung Betragsfunktion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:05 Do 21.05.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Bestimmen Sie jeweils den max. Definitionsbereich in [mm] \IR [/mm] und alle Extremstellen.
[mm] \bruch{x^4}{(x²-1)|x|} [/mm] |
Hallo Zusammen,
ich habe den Definitionsbereich ermittelt:
D = [mm] \IR [/mm] \ {-1,1,0}
Nun muss ich doch aufgrund der Betragsfunktion die Funktion abschnittweise definieren:
f(x)= [mm] \bruch{x^4}{x(x²-1)} [/mm] für x>0 und [mm] \bruch{x^4}{-x(x²-1)} [/mm] für x<0
(Hierbei darf ich doch nicht x >= 0 schreiben, da die Funktion, dort nicht definiert ist?)
Nun kann ich diese beiden Funktionen jeweils ableiten und komme dabei auf:
f'(x)= [mm] \bruch{x^4-3x²}{x^4-2x²+1} [/mm] für x>0 und [mm] \bruch{-x^4+3x²}{x^4-2x²+1} [/mm] für x<0
Wenn ich nun die Extreme bestimmen will, erhalte ich:
für x > 0:
f'(x) = 0 -> [mm] x^4-3x² [/mm] = 0
x²(x²-3)= 0
x² = 0 -> x = 0
x²-3 = 0 -> x = [mm] \wurzel{3}
[/mm]
für x < 0:
f'(x) = 0 -> [mm] -x^4+3x² [/mm] = 0
-x²(x²-3)= 0
-x² = 0 -> x = 0
x²-3 = 0 -> x = - [mm] \wurzel{3}
[/mm]
Die Funktion ist für x = 0 nicht definiert, somit sind die Extrema x = [mm] \pm \wurzel{3}. [/mm] Würde diese Vorgehensweise so stimmen? Könnte man nicht auch einfach, die Betragsfunktion durch |x| = [mm] \wurzel{x²} [/mm] ersetzen? Wenn nun die Ableitung x = 0 gesucht wird, per Grenzwertdefinition, den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert bestimmen und wenn dieser gleich ist, ist die Ableitung auch für x = 0 definiert, oder?
Gruß
itse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:58 Do 21.05.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimmen Sie jeweils den max. Definitionsbereich in [mm]\IR[/mm]
> und alle Extremstellen.
>
> [mm]\bruch{x^4}{(x²-1)|x|}[/mm]
> Hallo Zusammen,
>
> ich habe den Definitionsbereich ermittelt:
>
> D = [mm]\IR[/mm] \ {-1,1,0}
Passt 
> Nun muss ich doch aufgrund der Betragsfunktion die Funktion
> abschnittweise definieren:
>
> f(x)= [mm]\bruch{x^4}{x(x²-1)}[/mm] für x>0
und $x [mm] \not=1$
[/mm]
> und
> [mm]\bruch{x^4}{-x(x²-1)}[/mm] für x<0
und $x [mm] \not=-1$
[/mm]
> (Hierbei darf ich doch nicht x >= 0 schreiben, da die
> Funktion, dort nicht definiert ist?)
Genau, das wäre problematisch.
> Nun kann ich diese beiden Funktionen jeweils ableiten und
> komme dabei auf:
>
> f'(x)= [mm]\bruch{x^4-3x²}{x^4-2x²+1}[/mm] für x>0
und $x [mm] \not=1$
[/mm]
Das stimmt!
> und
> [mm]\bruch{-x^4+3x²}{x^4-2x²+1}[/mm] für x<0
und $x [mm] \not=-1$
[/mm]
Das stimmt auch!
> Wenn ich nun die Extreme bestimmen will, erhalte ich:
>
> für x > 0
und $x [mm] \not=1$:
[/mm]
> f'(x) = 0 -> [mm]x^4-3x²[/mm] = 0
> x²(x²-3)= 0
> x² = 0 -> x = 0
>
> x²-3 = 0 -> x = [mm]\wurzel{3}[/mm]
Das stimmt auch (bitte beachte aber, dass eigentlich [mm] $x^2=3 \Rightarrow x=\pm\sqrt{3}$ [/mm] gelten würde, aber [mm] $x=-\sqrt{3}$ [/mm] kann hier wegen $x > 0$ nicht sein).
> für x < 0:
>
> f'(x) = 0 -> [mm]-x^4+3x²[/mm] = 0
> -x²(x²-3)= 0
> -x² = 0 -> x = 0
Aber es ist [mm] $D=\IR \setminus \{-1,0,1\}\,,$ [/mm] also hast Du ein Problem damit, bei $x=0$ zu sagen, dass $f'(x)=0$ (denn [mm] $f'(0)\,$ [/mm] ist gar nicht definiert!).
> x²-3 = 0 -> x = - [mm]\wurzel{3}[/mm]
>
>
> Die Funktion ist für x = 0 nicht definiert, somit sind die
> Extrema x = [mm]\pm \wurzel{3}.[/mm] Würde diese Vorgehensweise so
> stimmen?
Im Wesentlichen ist das alles in Ordnung
> Könnte man nicht auch einfach, die Betragsfunktion
> durch |x| = [mm]\wurzel{x²}[/mm] ersetzen?
Ja, aber das bringt Dir erstmal nicht wirklich viel, nur die Fallunterscheidungen am Anfang wären damit vermeidbar, sofern Du weißt bzw. Dir damit überlegst, dass $x [mm] \mapsto |x|=\sqrt{x^2}$ [/mm] auf [mm] $\IR \setminus \{0\}$ [/mm] die Ableitung $x [mm] \mapsto \frac{2x}{2\sqrt{x^2}}=\frac{x}{|x|}=\text{sign}(x)$ [/mm] hat.
> Wenn nun die Ableitung
an der Stelle
> x = 0 gesucht wird, per Grenzwertdefinition, den
> linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert bestimmen und
> wenn dieser gleich ist, ist die Ableitung auch für x = 0
> definiert, oder?
Da ist die Aufgabenstellung schlecht (wobei sie auch schon Anfangs schlecht ist, wo der Begriff 'max. Definitionsbereich' verwendet wird; aber das nur nebenbei).
Du müßtest Dir überlegen:
Kann ich die Funktion an [mm] $x=0\,$ [/mm] differenzierbar fortsetzen? Notwendig dafür ist erstmal, dass man die Funktion an [mm] $x=0\,$ [/mm] stetig fortsetzen kann. Du kannst Dir dann überlegen, dass dies mit der Definition [mm] $f(0):=0\,$ [/mm] machbar ist (und dass dies' auch die einzige Möglichkeit ist, die Funktion stetig an [mm] $x=0\,$ [/mm] fortzusetzen).
Jetzt betrachtest Du die erweiterte Funktion
$$f: [mm] \IR \setminus \{-1,1\} \to \IR,$$
[/mm]
$$x [mm] \mapsto f(x):=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x=0 \\ \bruch{x^4}{(x²-1)|x|}, & \mbox{für } x \in \IR \setminus \{-1,0,1\} \end{cases}\,.$$
[/mm]
Und nun kannst Du nachrechnen, ob diese Fortsetzung differenzierbar an [mm] $x=0\,$ [/mm] ist. Das sollte klappen, und dann erkennst Du, dass diese, auf [mm] $\IR \setminus \{-1,1\}$ [/mm] definierte Funktion [mm] $f\,,$ [/mm] auch an [mm] $x=0\,$ [/mm] eine lokale Extremstelle vorliegen hat.
(P.S.: Ich glaube, Du hast noch nichts zu der Art der Extremstellen gesagt, also ob ein lokales Max./Min. vorliegt...)
Gruß,
Marcel
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