Ableitung, Betragsfunktion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:53 Di 01.06.2010 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo!
> > Hallo Community,
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> > ich würde gerne wissen, wie man die Ableitung der
> > Funktion
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> > [mm]f(x)=\bruch{1}{|x-a|},[/mm] mit [mm]x\not=a[/mm] und [mm]x,a\in\IR[/mm] bildet.
> >
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> > Vielleicht würde ich mal wie folgt ansetzen
> >
> >
> > [mm]f(x)=\bruch{1}{|x-a|}=|x-a|^{-1}=\begin{cases} \bruch{1}{x-a}, & \mbox{für } x>a \mbox{} \\ \bruch{1}{a-x}, & \mbox{für } x
>
> Das ist richtig.
> >
> >
> >
> > Wie geht es nun weiter? Darf man die Funktion nun
> > komponentenweise differenzieren?
> Besser formuliert:
> du darfst die im jeweiligen Teilbereich gültige
> Funktionsvorschrift ableiten.
Dann hätte man also
[mm] \bruch{d{f(x)}}{dx}=\begin{cases} -\bruch{1}{(x-a)^{2}}, & \mbox{für } x>a \mbox{} \\ +\bruch{1}{(x-a)^{2}}, & \mbox{für } x
[mm] =\vmat{\bruch{1}{(x-a)^{2}}}, [/mm] mit [mm] x\not=a?
[/mm]
Gruß, Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:58 Di 01.06.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo!
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> > > Hallo Community,
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> > > ich würde gerne wissen, wie man die Ableitung der
> > > Funktion
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> > > [mm]f(x)=\bruch{1}{|x-a|},[/mm] mit [mm]x\not=a[/mm] und [mm]x,a\in\IR[/mm] bildet.
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> > > Vielleicht würde ich mal wie folgt ansetzen
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> > > [mm]f(x)=\bruch{1}{|x-a|}=|x-a|^{-1}=\begin{cases} \bruch{1}{x-a}, & \mbox{für } x>a \mbox{} \\ \bruch{1}{a-x}, & \mbox{für } x
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> > Das ist richtig.
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> > > Wie geht es nun weiter? Darf man die Funktion nun
> > > komponentenweise differenzieren?
> > Besser formuliert:
> > du darfst die im jeweiligen Teilbereich gültige
> > Funktionsvorschrift ableiten.
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> Dann hätte man also
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> [mm]\bruch{d{f(x)}}{dx}=\begin{cases} -\bruch{1}{(x-a)^{2}}, & \mbox{für } x>a \mbox{} \\ +\bruch{1}{(x-a)^{2}}, & \mbox{für } x
Das ist richtig.
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> [mm]=\vmat{\bruch{1}{(x-a)^{2}}},[/mm] mit [mm]x\not=a?[/mm]
Das ist falsch. Im ersten Fall ist die Ableitung garantiert negativ. Das kann kein Betrag leisten.
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> Gruß, Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Di 01.06.2010 | | Autor: | Marcel08 |
> > Hallo!
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> > > > Hallo Community,
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> > > > ich würde gerne wissen, wie man die Ableitung der
> > > > Funktion
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> > > > [mm]f(x)=\bruch{1}{|x-a|},[/mm] mit [mm]x\not=a[/mm] und [mm]x,a\in\IR[/mm] bildet.
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> > > > Vielleicht würde ich mal wie folgt ansetzen
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> > > > [mm]f(x)=\bruch{1}{|x-a|}=|x-a|^{-1}=\begin{cases} \bruch{1}{x-a}, & \mbox{für } x>a \mbox{} \\ \bruch{1}{a-x}, & \mbox{für } x
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> > > Das ist richtig.
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> > > > Wie geht es nun weiter? Darf man die Funktion nun
> > > > komponentenweise differenzieren?
> > > Besser formuliert:
> > > du darfst die im jeweiligen Teilbereich gültige
> > > Funktionsvorschrift ableiten.
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> >
> > Dann hätte man also
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> > [mm]\bruch{d{f(x)}}{dx}=\begin{cases} -\bruch{1}{(x-a)^{2}}, & \mbox{für } x>a \mbox{} \\ +\bruch{1}{(x-a)^{2}}, & \mbox{für } x
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> Das ist richtig.
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> > [mm]=\vmat{\bruch{1}{(x-a)^{2}}},[/mm] mit [mm]x\not=a?[/mm]
> Das ist falsch. Im ersten Fall ist die Ableitung
> garantiert negativ. Das kann kein Betrag leisten.
Gibt es eine Möglichkeit, die beiden Fälle zusammen zu fassen? In der Übung wird die Ableitung zu
[mm] \bruch{d}{dx}f(x)=-\bruch{(x-a)}{|x-a|^{3}}
[/mm]
angegeben. Ist das wirklich richtig? Wenn ja, wie komme ich auf diese Gestalt?
Gruß, Marcel
> > Gruß, Marcel
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