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Hallo,
folgende Aufgabe:
Sei f : [mm] \IR \to \IR [/mm] gegenen durch:
f(x) = [mm] \begin{cases} e^{-(log(|x|))^2}, & \mbox{für } x \not= 0 \\ 0, & \mbox{für } x = 0 \end{cases}
[/mm]
Berechnen Sie die Ableitung von f an jeder Stelle x [mm] \in \IR.
[/mm]
So - für x [mm] \not= [/mm] 0 ist das ja recht einfach.
f'(x) = [mm] e^{-(log(|x|))^2} [/mm] (-2 log(|x|) [mm] \frac{1}{x})
[/mm]
Für x = 0 wird in der Musterlösung etwas getan, was ich nicht nachvollziehen kann. Hier die Musterlösung:
Für x = 0: Es gilt für h [mm] \not= [/mm] 0: [mm] |\frac{f(h)-f(0)}{h}| [/mm] = [mm] \frac{1}{|h|} e^{-(log(|x|))^2}
[/mm]
Soweit okay und alles verstanden. Aber jetzt kommts:
Setzt man |h| = [mm] e^{-y}, [/mm] so erhält man:
[mm] \limes_{h \rightarrow 0} |\frac{f(h)-f(0)}{h}| [/mm] = [mm] \limes_{y \rightarrow \infty} e^{y-y^2} [/mm] = 0, also f'(0) = 0.
Okay. Ich habe es versucht zu verstehen. Es wurde ja einerseits überprüft, ob f(x) für x = 0 überhaupt differenzierbar ist und andererseits gleich die Ableitung bestimmt. In meiner Formelsammlung steht dazu:
f heißt an der Stelle [mm] x_0 [/mm] differenzierbar, falls
[mm] \limes_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} [/mm] := [mm] f'(x_0) [/mm] existiert.
In der Musterlösung wurde |h| = [mm] e^{-y} [/mm] gesetzt. Darf ich also für h immer einen beliebigen Ausdurck einsetzen, falls ich dann auch gleichzeitig (ggf.) die Grenzwertbetrachtung so abändere, dass der Ausdruck, der h ersetzt auch gegen Null geht?
In der Musterlösung wurde |h| = [mm] e^{-y} [/mm] gesetzt und gleichzeitig y gegen [mm] \infty [/mm] gehen lassen, sodass [mm] e^{-y} [/mm] - wie ursprünglich |h| gegen 0 geht.
Richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:44 Sa 05.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo abi2007LK!
Das hast Du genau richtig verstanden! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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