Ableitung Logarithmusfunktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:01 Di 14.06.2005 | | Autor: | Swu |
Noch immer im Maturastress, bräuchte die Herleitung für die Ableitung der Funktion f(x)=a logx, also den Logarithmus von x zur Basis a (das a müsste hochgestellt sein).
Danke im Voraus,
mfg Swu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:43 Di 14.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Swu!
Wenn man die Regel [mm] $\ln'(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{x}$ [/mm] schon kennt, dann ist es ganz einfach, denn dann haben wir wegen:
[mm] $\log_a(x) [/mm] = [mm] \frac{\ln(x)}{\ln(a)} [/mm] = [mm] \frac{1}{\ln(a)} \cdot \ln(x)$
[/mm]
sofort mit der Faktorregel:
[mm] $\log_a'(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{\ln(a)} \cdot \frac{1}{x} [/mm] = [mm] \frac{1}{\ln(a)x}$.
[/mm]
Kennt man diese Regel nicht, so muss man etwas komplizierter vorgehen:
Allgemein gilt für eine differenzierbare umkehrbare Funktion $f$:
[mm] $(f^{-1})'(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$.
[/mm]
Nun ist die Umkehrfunktion von [mm] $\log_a(x)$ [/mm] gerade die Funktion [mm] $a^x=e^{x\ln(a)}$.
[/mm]
Wegen
[mm] $\frac{d}{dx} a^x [/mm] = [mm] \frac{d}{dx} e^{x\ln(a)} [/mm] = [mm] \ln(a) e^{x\ln(a)} [/mm] = [mm] \ln(a)a^x$ [/mm] (Kettenregel)
erhält man dann:
[mm] $\log_a'(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{ln(a)a^{\log_a(x)}} [/mm] = [mm] \frac{1}{\ln(a)x}$.
[/mm]
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:14 Di 14.06.2005 | | Autor: | Swu |
hat mir sehr geholfen ;)
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