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| Aufgabe | Bestimme die Ableitung der folgenden Funktion:
y= [mm] \bruch{x²}{\wurzel{1-x²}} [/mm] |
Leider komme ich bei dieser Aufgabe nicht weiter und ich wäre sehr dankbar, wenn einer sich einer meinen Lösungsansatz mal ansehen könnte.
y'= [mm] \bruch{2x*(1-x²)^{0.5}-x³*0.5*(1-x²)^{-0.5}}{(1-x²)}
[/mm]
Die Lösung dieser Aufgabe soll lauten:
y'= [mm] \bruch{2x-x³}{(1-x²)^{1,5}}
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Bestimme die Ableitung der folgenden Funktion:
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> y= [mm]\bruch{x²}{\wurzel{1-x²}}[/mm]
> Leider komme ich bei dieser Aufgabe nicht weiter und ich
> wäre sehr dankbar, wenn einer sich einer meinen
> Lösungsansatz mal ansehen könnte.
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> y'= [mm]\bruch{2x*(1-x²)^{0.5}-x³*0.5*(1-x²)^{-0.5}}{(1-x²)}[/mm]
Hallo!
Dein Lösungsansatz (Quotientenregel) ist fast richtig. Allerdings muss es lauten:
[mm]y' = \bruch{2x*(1-x²)^{0.5}\red{+}x³*\red{1}*(1-x²)^{-0.5}}{(1-x²)}[/mm]
Weil die innere Ableitung von [mm] \sqrt{1-x^{2}} [/mm] nämlich -2x ist. Dann "kürzen" sich das provisorische Minus der Quotientenregel und das durch die innere Ableitung entstehende zu einem Plus 
Und die 0.5 aus der äußeren Abl. mit der 2 aus der inneren (rote 1).
Um zu dem gewünschten Ergebnis zu kommen, musst du dir den Nenner anschauen: Was wollen wir dort stehen haben? Genau,
[mm] (1-x^{2})^{1,5}
[/mm]
Was steht im Moment dort?
[mm] (1-x^{2})^{1}
[/mm]
Mit was könnten wir den Bruch erweitern, sodass
[mm] (1-x^{2})^{1}*a [/mm] = [mm] (1-x^{2})^{1,5}
[/mm]
Denk an Potenzgesetze!
Und wenn du dann den Faktor a weißt, mit dem du den Bruch erweitern musst, damit schonmal der Nenner stimmt, guckst du einfach was dann beim Erweitern im Zähler passiert - es kommt deine genannte Musterlösung heraus
Stefan.
> Die Lösung dieser Aufgabe soll lauten:
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> y'= [mm]\bruch{2x-x³}{(1-x²)^{1,5}}[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
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Vielen Dank für die schnelle Anwort!
Eine kleine Frage hätte ich noch. Hier einmal mein weiterer Lösungsansatz:
y'= [mm] \bruch{2x*(1-x²)+x³*(1-x²)^{0}}{(1-x²)^{1.5}}
[/mm]
Die Funktion habe ich jetzt erweitert mit [mm] (1-x²)^{0.5}. [/mm]
[mm] x³*(1-x²)^{0} [/mm] = x³
aber wie kürze ich jetzt (1-x²) weg oder habe ich schon einen Fehler beim erweitern gemacht? Wäre sehr dankbar über einen kleinen Tipp.
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Hallo, der Term [mm] (1-x^{2})^{0} [/mm] ist gleich 1, somit steht im Zähler [mm] 2x\cdot{}(1-x²)+x³, [/mm] löse jetzt die Klammern auf, fasse zusammen, den Nenner hast du ja schon, fertig, Steffi
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Bei dieser Aufgabe konnte ich die Ableitung bestimmen, aber wie in der vorigen Aufgabe habe ich Probleme die Funktion so zu kürzen, erweitern oder umzustellen, um auf die vorgefertigte Lösung zu kommen. Wäre dankbar über einen kleinen Tipp!
Meine Lösung:
y' = [mm] \bruch{4*(1-x²)}{(1-x)^{4}}
[/mm]
Musterlösung:
y' = [mm] \bruch{4*(1+x)}{(1-x)³}
[/mm]
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> Bei dieser Aufgabe konnte ich die Ableitung bestimmen, aber
> wie in der vorigen Aufgabe habe ich Probleme die Funktion
> so zu kürzen, erweitern oder umzustellen, um auf die
> vorgefertigte Lösung zu kommen. Wäre dankbar über einen
> kleinen Tipp!
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> Meine Lösung:
>
> y' = [mm]\bruch{4*(1-x²)}{(1-x)^{4}}[/mm]
>
> Musterlösung:
>
> y' = [mm]\bruch{4*(1+x)}{(1-x)³}[/mm]
Hallo!
Benutze im Zähler die 3. binomische Formel bei [mm] 1-x^{2}, [/mm] dann wirst du sehen, dass du kürzen kannst
Stefan.
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3. binomischer Satz:
[mm] (a+b)(a-b)=a^2-b^2
[/mm]
oder hier: [mm] 1-x^2=(1+x)(1-x)
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:07 Di 04.11.2008 | | Autor: | Mary24782 |
Vielen Dank für die schnelle und kompetente Hilfe, ich konnte die Aufgaben sehr gut verstehen!
LG Mary
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:50 Di 04.11.2008 | | Autor: | Mary24782 |
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