Ableitung b^x < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe ein großes Verständnisproblem zur ersten Ableitung einer Exponentialfunktion.
Zur Erklärung, wie man die erste Ableitung [mm] b^x [/mm] kommt habe ich folgende Erläuterung gefunden. Leider kann ich mir den Rechenweg/Gedankengang absolut nicht herleiten. Besonders den ersten und den letzten Schritt verstehe ich nicht. Es würde mich freuen, wenn sich jemand findet um mir das genau zu erläutern.
[mm] (e^{xIN(b)})= e^{xIN(b)} \* [/mm] 1 [mm] \* [/mm] In(b) = [mm] e^{xIn(b)} [/mm] = [mm] b^{x} \* [/mm] In(b)
Vielen Dank im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:54 Di 14.05.2013 | | Autor: | fred97 |
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> Hallo,
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> ich habe ein großes Verständnisproblem zur ersten
> Ableitung einer Exponentialfunktion.
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> Zur Erklärung, wie man die erste Ableitung [mm]b^x[/mm] kommt habe
> ich folgende Erläuterung gefunden. Leider kann ich mir den
> Rechenweg/Gedankengang absolut nicht herleiten. Besonders
> den ersten und den letzten Schritt verstehe ich nicht. Es
> würde mich freuen, wenn sich jemand findet um mir das
> genau zu erläutern.
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> [mm](e^{xIN(b)})= e^{xIN(b)} \*[/mm] 1 [mm]\*[/mm] In(b) = [mm]e^{xIn(b)}[/mm] = [mm]b^{x} \*[/mm]
> In(b)
Sei [mm] f(x)=b^x=e^{x*ln(b)}=e^{u(x)} [/mm] mit u(x)=x*ln(b)
Bestimme f' mit der Kettenregel:
[mm] f'(x)=e^{u(x)}*u'(x)
[/mm]
FRED
>
> Vielen Dank im voraus
>
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Hallo,
ersteinmal möchte ich mich für deine Hilfestellung bedanken Fred.
Ich habe mir schon fast gedacht, das die Kettenregel an dieser Geschichte beteiligt ist. Leider haben wir die Kettenregel noch nicht bei Exponentialfunktionen angwendet.
Wäre also prima wenn mir das jemand am vorliegenden Beispiel erläutern kann.
Ich muss also die Kettenfunktion auf ( [mm] e^{x\*In(b)}) [/mm] anwenden, um die erste Ableitung heraus zu bekommen.
Mein Problem ist zu erkennen, was hier genau die Innere und was die äußere Ableitung ist.
Laut den Vorgaben sollte dabei dann ( vorausgesezt ich verste die richtig folgendes rauskommen:
[mm] e^{x\*In(b)} \*1\*In(b)
[/mm]
Also meine Überlegungen bisher:
Da es sich um eine e-Funtion handelt und jede Ableitung der e-Funktion ist die die äußere Ableitung = [mm] e^{x\*In(b)}.
[/mm]
Bleibt [mm] x\*In(b) [/mm] als Ausgangspunkt für meine innere Ableitung. x wird =1.
Aber wiso bleibt In(b) in der inneren Ableitung In(b)????
Und weil In(b) die Umkehrfunktion von [mm] e^{x\*In(b)} [/mm] ist kommt man bei [mm] e^{x\*In(b)} [/mm] als Ergebnis raus, liege ich da richtig?
Bn für jede Hilfe dankbar
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Hallo Windbeutel,
Du machst dir, glaube ich, eher zuviel als zuwenig Gedanken...
> ersteinmal möchte ich mich für deine Hilfestellung
> bedanken Fred.
Das finde ich schonmal nett!
> Ich habe mir schon fast gedacht, das die Kettenregel an
> dieser Geschichte beteiligt ist. Leider haben wir die
> Kettenregel noch nicht bei Exponentialfunktionen
> angwendet.
Ist es nicht egal, bei welchen Funktionen man die anwendet? ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> Wäre also prima wenn mir das jemand am vorliegenden
> Beispiel erläutern kann.
>
> Ich muss also die Kettenfunktion auf ( [mm]e^{x\*In(b)})[/mm]
> anwenden, um die erste Ableitung heraus zu bekommen.
Kettenregel. Kettenregel.
Die ![[]](/images/popup.gif) Kettenfunktion wird eher selten so genannt. Sie beschreibt die Kettenlinie oder -kurve.
> Mein Problem ist zu erkennen, was hier genau die Innere und
> was die äußere Ableitung ist.
>
> Laut den Vorgaben sollte dabei dann ( vorausgesezt ich
> verste die richtig folgendes rauskommen:
>
> [mm]e^{x\*In(b)} \*1\*In(b)[/mm]
Was auch immer dem [mm] \ln [/mm] passiert ist: ja.
> Also meine Überlegungen bisher:
> Da es sich um eine e-Funtion handelt und jede Ableitung
> der e-Funktion ist die die äußere Ableitung =
> [mm]e^{x\*In(b)}.[/mm]
Korrekt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Bleibt [mm]x\*In(b)[/mm] als Ausgangspunkt für meine innere
> Ableitung. x wird =1.
Nein, das wird es nicht.
[mm] \ln{(b)} [/mm] ist hier nichts weiter als eine Zahl, eine Konstante. [mm] x*\ln{(b)} [/mm] nach x abzuleiten geht also genauso wie x*t nach x abzuleiten. Da ist die Ableitung t, oder hier eben [mm] \ln{b}.
[/mm]
Natürlich kannst Du auch solche Produkte nach der Produktregel ableiten, aber schau Dir mal an, was dann passiert... Das Ergebnis ist richtig, aber zu aufwändig.
> Aber wiso bleibt In(b) in der inneren Ableitung In(b)????
Na, eben weil er nichts weiter ist als eine Konstante. b steht ja fest, und damit auch [mm] \ln{b}.
[/mm]
> Und weil In(b) die Umkehrfunktion von [mm]e^{x\*In(b)}[/mm] ist
Das stimmt zum einen nicht, zum andern tut es hier auch nichts zur Sache. Diese Überlegung ist nicht zielführend.
> kommt man bei [mm]e^{x\*In(b)}[/mm] als Ergebnis raus, liege ich da
> richtig?
Nein.
> Bn für jede Hilfe dankbar
Verstehst Du es jetzt?
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:21 Do 16.05.2013 | | Autor: | Windbeutel |
Super .
Danke für deine Erklärung, jetzt habe ich es verstanden.
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