Ableitung d. Umkehrf. arcsin < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:42 Mo 27.02.2006 | | Autor: | baddi |
Ich soll die Ableitung der Umkehrfunktion ( arcsin(x) ) von sin(x) über die Ableitung von sin(x) berechnen.
Ich habe den Begriff Inversenregel gefunden.
Kann aber damit nicht viel anfangen.
Demnach soll gelten:
x' = [mm] \bruch{1}{y'(x(y))}
[/mm]
wobei x die Umkehrfunktioin zu y sein soll.
Das ist mir aber zimlich verwirrend, weil das y in der Funktion selber wiede r vorkommt. Ist das wirklich richtig? Die Formel mein ich.
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Die Formel ist richtig - und ist es zugleich nicht. Denn links bedeutet der Strich "nach [mm]y[/mm] ableiten", rechts dagegen "nach [mm]x[/mm] ableiten". Wenn man das so interpretiert, ist die Formel richtig. In diesem Zusammenhang ist es aber besser, die Leibnizsche Schreibweise mit Differentialquotienten zu verwenden:
[mm]\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = \frac{1}{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}[/mm]
oder mit Funktionsbezeichnern zu arbeiten. Dann heißt es, wenn [mm]g[/mm] die Umkehrfunktion von [mm]f[/mm] ist:
[mm]g'(y) = \frac{1}{f' \left( g(y) \right)}[/mm]
Vielleicht versuchst du die letzte Formel einmal mit
[mm]g(y) = \arcsin{y}[/mm] und [mm]f(x) = \sin{x}[/mm]
Zur Vereinfachung am Schluß beachte
[mm]\cos{x} = \sqrt{1 - \sin^2{x}} \ \ \ \mbox{für} \ \ x \in \left[ - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right][/mm]
Für welche [mm]y \in [-1,1][/mm] läßt sich die Rechnung nur durchführen?
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