Ableitung der Umkehrfunktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:15 Di 11.01.2005 | | Autor: | nika86 |
Hallo!!!
Ich such ganz dringend die allgemeine Herleitung der Ableitung der Umkehrfunktion! Laut meinem Mathebuch ist das Ergebnis bei dieser Rechnung dann f(x)=1/f´(x) aber ich krieg den Lösungsweg nicht hin!!! Konnte auch nirgendwo anders etwas hierzu finden!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke für die Hilfe!!!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:18 Di 11.01.2005 | | Autor: | Matti66 |
Hallo!
> Ich weiß, dass die Ableitung
> der Umkehrfunktion zu ln(x) = 1/x ist
Das stimmt so nicht, denn die Ableitung von ln(x) ist 1/x. Das hat nichts mit der Umkehrfunktion von ln(x) zu tun.
Was du meinst, ist wahrscheinlich die Reziprokregel und die lautet:
[mm] $\red{(}\bruch{1}{g(x)}\red{)'} [/mm] = [mm] \bruch{-g'(x)}{(g(x))^{2}}$
[/mm]
Gruß
|
|
|
| |
|
Hallo Nika!
Was Du zeigen möchtest, ist wohl Folgendes:
Gegeben sei eine streng monoton wachsende (oder fallende) Funktion $f$, deren Ableitung auf einem Intervall $[a,b]$ existiert. Dann gilt für die Umkehrfunktion [mm] $f^{-1}$ [/mm] auf dem Bild von $[a,b]$ unter $f$:
[mm](f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(x)}[/mm]
wobei $y=f(x)$ zu setzen ist.
Diese Aussage folgt im Wesentlichen aus der Kettenregel: Es gilt ja
[mm]f^{-1}(f(x))=x.[/mm]
Leitet man auf beiden Seiten ab, erhält man
[mm](f^{-1})'(f(x))\cdot f'(x)=1,[/mm]
also
[mm](f^{-1})'(f(x))=\frac{1}{f'(x)},[/mm]
was zu zeigen war. Beispiel, das Du vielleicht andeuten wolltest: [mm] $y=f(x)=e^x$. [/mm] Dann folgt wegen [mm] $f'(x)=e^x$
[/mm]
[mm](f^{-1})'(y)=\frac{1}{e^x}=\frac{1}{y},[/mm]
also $(ln(y))'=1/y$. Da die Exponentialfunktion auf ganz $IR$ streng monoton wachsend ist, gilt das für jedes (noch so große) abgeschlossene Intervall.
Viele Grüße
Brigitte
|
|
|
|
