Ableitung der Umkehrfunktion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Beweisen sie den "kleinen" Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion. |
Satz:(Ableitung der Umkehrfunktion)
Sei [mm] $f:\mathbb{D}\longrightarrow\mathbb{R}$ [/mm] eine umkehrbare Funktion und [mm] $f^{-1}:f(\mathbb{D})\longrightarrow \mathbb{D}$ [/mm] die zugehörige Umkehrfunktion.
Falls $f$ in [mm] $a\in\mathbb{D}$ [/mm] differenzierbar und [mm] $f(a)\neq [/mm] 0$ ist, dann ist [mm] $f^{-1}$ [/mm] differenzierbar in [mm] $b=f(a)\in f(\mathbb{D})$ [/mm] mit Ableitung:
[mm] $$(f^{-1})'(b)=\frac{1}{f(a)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(b))}$$
[/mm]
Wir hatten diesen Satz im Tutorium und sollten ihn beweisen. Reicht es dann so vorzugehen?
Beweis:
Kettenregel:
[mm] \forall x\in\mathbb{D}: x=f^{-1}(f(x)) \Longrightarrow 1=(f^{-1})'(f(x))\cdot [/mm] f'(x) [mm] \Longrightarrow (f^{-1})'(f(x))=\frac{1}{f'(x)}
[/mm]
bzw.
[mm] \forall y\in f(\mathbb{D}): y=f(f^{-1}(y)) \Longrightarrow 1=f'(f^{-1}(y))\cdot (f^{-1})'(y) \Longrightarrow (f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}
[/mm]
Reicht das? Oder muss man auch zeigen, dass [mm] f^{-1}(y) [/mm] existiert?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:40 Fr 21.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen sie den "kleinen" Satz über die Ableitung der
> Umkehrfunktion.
> Satz:(Ableitung der Umkehrfunktion)
> Sei [mm]f:\mathbb{D}\longrightarrow\mathbb{R}[/mm] eine umkehrbare
> Funktion und [mm]f^{-1}:f(\mathbb{D})\longrightarrow \mathbb{D}[/mm]
> die zugehörige Umkehrfunktion.
> Falls [mm]f[/mm] in [mm]a\in\mathbb{D}[/mm] differenzierbar und [mm]f(a)\neq 0[/mm]
> ist, dann ist [mm]f^{-1}[/mm] differenzierbar in [mm]b=f(a)\in f(\mathbb{D})[/mm]
> mit Ableitung:
> [mm](f^{-1})'(b)=\frac{1}{f(a)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(b))}[/mm]
>
Du hast Dich sicher nur verschrieben. Es muß f'(a) [mm] \not= [/mm] 0 heißen. Ebenso muß in der Formel oben f'(a) im Nenner stehen.
> Wir hatten diesen Satz im Tutorium und sollten ihn
> beweisen. Reicht es dann so vorzugehen?
>
>
> Beweis:
> Kettenregel:
> [mm]\forall x\in\mathbb{D}: x=f^{-1}(f(x)) \Longrightarrow 1=(f^{-1})'(f(x))\cdot[/mm]
> f'(x) [mm]\Longrightarrow (f^{-1})'(f(x))=\frac{1}{f'(x)}[/mm]
>
> bzw.
>
> [mm]\forall y\in f(\mathbb{D}): y=f(f^{-1}(y)) \Longrightarrow 1=f'(f^{-1}(y))\cdot (f^{-1})'(y) \Longrightarrow (f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}[/mm]
>
>
> Reicht das? Oder muss man auch zeigen, dass [mm]f^{-1}(y)[/mm]
> existiert?
Nein. So kannst Du den Satz nicht beweisen ! Wenn Du wie oben die kettenregel verwendest, mußt Du die Differenzierbarkeit von [mm] f^{-1} [/mm] voraussetzen. Die willst Du aber doch beweisen !
FRED
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Ja stimmt das waren Tipfehler und das mit dem verhunzten Beweis ist auch klar!
Also muss man wohl doch mit dem Differenzenquotienten arbeiten:
[mm]
f^{-1}'(b)=\limes_{y\rightarrow b}( \bruch{ f^{-1}(y)-f^{-1}(b))}{y-b})[/mm]
Beim nächsten Schritt bin ich mir ziemlich unsicher: Wie komm ich denn nun dazu dass es dann x gibt, mit f(x)=y und
[mm]\limes_{y\rightarrow b}\bruch{f^{-1}(y)-f^{-1}(b)}{y-b}=\limes_{x\rightarrow a}\bruch{x-a}{f(x)-f(a)}....[/mm]
Liegt das an der Existenz der Umkehrfunktion und der Stetigkeit von f ?
Der Rest wäre dann ja wieder klar!
Gruß Deuterinomium
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:30 Fr 21.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Es ist doch y [mm] \in f(\mathbb{D}), [/mm] also ex. x [mm] \in \mathbb{D} [/mm] mit f(x) =y
FRED
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