Ableitung der ln-Funktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:47 Mo 17.03.2008 | | Autor: | cancy |
Hi ihr Lieben,
also wir beschäftigen uns gerade mit der ln-Funktion.......mir den Abl. hab ich einige Probleme.
die Ableitung von ln(x) ist ja [mm] \bruch{1}{x}.
[/mm]
Aber mir fällt es schwer sowas auf andere Fkt. anzuwenden.
Zum Beispiel: f(x)= 3ln [mm] \wurzel{4x}
[/mm]
Wie bilde ich hierzu die Ableitung, bzw. in welcher Reihenfolge gehe ich vor ?
Danke für Tipps
Liebe Grüße !!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Mo 17.03.2008 | | Autor: | cancy |
aaalso ist dann die abl. von ln auch [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ?
und [mm] \wurzel{4x} [/mm] kann ich dann zu [mm] 4x^\bruch{1}{2} [/mm] umschreiben, oder ?
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Hi, cancy,
> aaalso ist dann die abl. von ln auch [mm]\bruch{1}{x}[/mm] ?
> und [mm]\wurzel{4x}[/mm] kann ich dann zu [mm]4x^\bruch{1}{2}[/mm]
> umschreiben, oder ?
Fast! [mm] \wurzel{4x} [/mm] = [mm] (4x)^{\bruch{1}{2}} [/mm] (= [mm] \red{2}*x^{\bruch{1}{2}}!!) [/mm]
Und klar, wie's dann weitergeht:
f(x) = [mm] 3*ln(\wurzel{4x}) [/mm] = [mm] 3*ln((4x)^{\bruch{1}{2}} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2}*ln(4x) [/mm] = [mm] \bruch{3}{2}*(ln(x) [/mm] + ln(4))
Und das ist nun schnell abgeleitet, vor allem, wenn Du beachtest, dass ln(4) eine Konstante ist!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Mo 17.03.2008 | | Autor: | cancy |
Heißt, am Ende steht [mm] \bruch{3}{2}\*\bruch{1}{x}\ [/mm] da ?
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Hi, cancy,
> Heißt, am Ende steht [mm]\bruch{3}{2}\*\bruch{1}{x}\[/mm] da ?
Stimmt!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 Mo 17.03.2008 | | Autor: | cancy |
Oki, thx
Das hab ich eig erst mal begriffen, aber da gibts so einige andere Aufgaben wo ich überhaupt nichts check =(
z.b.
a) [mm] (ln(\wurzel{x}))^-1
[/mm]
b) [mm] f(s)=(ln(s-a))^3
[/mm]
Und wie bilde ich hier die ersten beiden Ableitungen und dir Stammfunktion....
Bin total die Mathenull ;(...Zahlen verwirren mich
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:45 Mo 17.03.2008 | | Autor: | cancy |
okay zu
a) innere Ableitung ist dann: [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
äußere -2 (?)
[mm] -2*(ln(x))*(\bruch{1}{x})
[/mm]
Danke dass ihr euch so viel Mühe mit mir gebt ^^
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Scheint mir noch nicht ganz richtig zu sein.
Die Funktion ist
[mm]f(x) = 2*[\ln(x)]^{-1}[/mm]
Die äußere Funktion ist, wie du richtig erkannt hast, die Funktion
[mm]h(x) = 2*x^{-1}[/mm]
Die innere Funktion ist:
[mm]g(x) = \ln(x)[/mm].
Das heißt, dass eine Variable in f(x) einsetzen dasselbe ist wie wenn ich sie erst in g(x) einsetze und das Ergebnis davon nochmal in h(x), d.h. die Funktion f(x) lässt sich darstellen als:
[mm]f(x) = h( g(x) )[/mm].
So nun zur Kettenregel:
[mm]f'(x) = \left[h( g(x) )\right] = h'( g(x) ) * g'(x)[/mm].
D.h. die äußere Ableitung bekommt nach dem Ableiten wieder statt x als Argument g(x).
Nun führen wir's mal durch. Es ist:
[mm]h'(x) = \left[2*x^{-1}\right]' = 2*\left[x^{-1}\right]' = 2*\left[(-1)*x^{-2}\right] = -2*x^{-2}[/mm].
[mm]g'(x) = \left[\ln(x)\right]' = \bruch{1}{x}[/mm].
Nun kennen wir alle Ableitungen, die wir wissen müssen. Nun setzen wir alles in die Kettenregel ein (und beachten, dass bei der äußeren Ableitung als Argument g(x) steht)
[mm]f'(x) = \left[h( g(x) )\right] = h'( g(x) ) * g'(x)[/mm].
Also:
[mm]\left[2*\left[\ln(x)\right]^{-1}\right]' = -2*( \ln(x) )^{-2} * \bruch{1}{x}[/mm].
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Logarithmusgesetz