Ableitung des Sinus < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
wieso ist der Grenzwert von sin(x)/x = 1 wenn x gegen 0 strebt?
Kann ich das eigentlich auch über die Betragsungleichung
|sinx/x - 1 | < E lösen?
Danke
Flipper
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:49 So 02.01.2005 | | Autor: | Fabian |
Hi Flipper
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{sinx}{x}\to \bruch{0}{0}
[/mm]
Der Zähler und Nenner des Bruches streben für [mm] x\to0 [/mm] gegen Null. Der Grenzwert führt also zunächst zum unbestimmten Ausdruck vom Typ [mm] \bruch{0}{0}. [/mm] Jetzt kann man die Grentzwertregel von de L'Hospital anwenden:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ x_{0}}\bruch{f(x)}{g(x)}=\limes_{x\rightarrow\ x_{0}}\bruch{f'(x)}{g'(x)}
[/mm]
Also Zähler und Nenner einzeln ableiten:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}\bruch{cosx}{1}=1 [/mm] mit cos(0)=1
Ob dein Ansatz auch zu einer Lösung führt, weiß ich nicht. Ich hoffe du verstehst meinen Weg! 
Gruß Fabian
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Hi,
die Formel von l'Hospital möchte ich nicht verwenden, weil ich dafür ja die Ableitung des Sinus bereits wissen müsste. Ich will sie aber doch gerade berechnen!
Gibt es keinen anderen Weg?
Lg
Flipper
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Hallo,
verwende doch die Potenzreihe des Sinus:
[mm]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \;\frac{{\sin \left( x \right)}}{x}\; = \;\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \;\frac{{\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{\left( { - 1} \right)^k }}{{\left( {2k + 1} \right)!}}\;x^{2k + 1} } }}{x}\; = \;\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \;\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{\left( { - 1} \right)^k }}{{\left( {2k + 1} \right)!}}\;x^{2k} \; = \;1} [/mm]
Gruß
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:25 Mo 03.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Flipper 368 !!
So, ich habe mir noch mal ein paar Gedanken gemacht und habe tatsächlich ein Ergebnis ![[idee]](/images/smileys/idee.gif "[idee]") .
[Dateianhang nicht öffentlich]
Am Einheitskreis gelten folgende Relationen:
[mm] $$\green{\sin(x)} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ x \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \red{\tan(x)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\sin(x)}{\cos(x)}$$
[/mm]
Betrachten wir uns zunächst den linken Teil:
[mm] $$\sin(x) [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ x \ \ \ \ \ [mm] \left| \ : x\not= 0$$
$$\bruch{\sin(x)}{x} \ \le \ 1$$
Nun den rechten Teil:
$$x \ \le \ \bruch{\sin(x)}{\cos(x)} \ \ \ \ \ \left| \ * \bruch{\cos(x)}{x} \not= 0$$
$$\cos(x) \ \le \ \bruch{\sin(x)}{x}$$
Das wird nun wieder in eine Zeile geschrieben:
$$\cos(x) \ \le \ \bruch{\sin(x)}{x} \ \le \ 1$$
Nun Grenzwertbetrachtung:
$$\limes_{x\rightarrow 0}\cos(x) \ \le \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\sin(x)}{x} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \limes_{x\rightarrow0}1$$
[/mm]
$$1 \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\sin(x)}{x} \le [/mm] \ 1$$
Daraus folgt unsere Behauptung bzw. wir erhalten:
[mm] $$\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\sin(x)}{x} [/mm] \ = \ 1$$
Ich hoffe, mit dieser Lösungsvariante kommst Du nun klar ...
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hi, klasse Beweis, vielen Dank auch an alle anderen Antworter 
Lg
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![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]"){kind=small}
und grad nicht greifbar ![[buchlesen]](/images/smileys/buchlesen.gif "[buchlesen]"){kind=small}
.
