Ableitung einer Exp-Funktion < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:55 Mi 02.07.2008 | | Autor: | Rumba |
| Aufgabe | Es ist (X, ||.||) ein Banachraum, A [mm] \in [/mm] L(X,X)(stetige und lineare Funktionen von X nach X) und exp(.A): [mm] \IK \to [/mm] L(X,X) [mm] exp(zA):=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(zA)^{n}}{n!}.
[/mm]
Zeige die Gleichheit:
[mm] (\bruch{d}{dz}exp(.A))(z) [/mm] = A exp(zA) |
Hallo!
Ich habe zuerst exp(zA) abgeleitet (linke Seite):
[mm] \bruch{d}{dz}exp(zA)= \bruch{d}{dz}\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(zA)^{n}}{n!} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{d}{dz}\bruch{(zA)^{n}}{n!} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n (zA)^{n-1}A}^{n!} [/mm] = [mm] A\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(zA)^{n-1}}^{(n-1)!}
[/mm]
Für die rechte Seite habe ich:
A exp(zA)= A [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(zA)^{n}}{n!} [/mm] = [mm] A((\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(zA)^{n-1}}{(n-1)!}) [/mm] + [mm] \bruch{(zA)^{n}}{(n)!})
[/mm]
Kürze ich bei beiden Seiten Ergebnissen das A raus ist nur noch zu Zeigen:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(zA)^{n-1}}^{(n-1)!} [/mm] = [mm] (\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(zA)^{n-1}}{(n-1)!}) [/mm] + [mm] \bruch{(zA)^{n}}{(n)!}
[/mm]
Also ist zu Zeigen, dass [mm] \bruch{(zA)^{n}}{(n)!} [/mm] = 0.
Das stimmt doch so nicht oder? Warum sollte das Null sein.
Vielen Dank für eure Hilfe
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:23 Do 03.07.2008 | | Autor: | vivo |
> Ich habe zuerst exp(zA) abgeleitet (linke Seite):
> [mm]\bruch{d}{dz}exp(zA)= \bruch{d}{dz}\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(zA)^{n}}{n!}[/mm]
> = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{d}{dz}\bruch{(zA)^{n}}{n!}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n (zA)^{n-1}A}^{n!}[/mm] =
> [mm]A\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(zA)^{n-1}}^{(n-1)!}[/mm]
also das taucht doch schonmal dass problem auf, dass -1! vielleicht die Summe erst bei 1 starten lassen und dann 1 addieren, denn für 0 ergibt die Summe ja 1 und dann erst alles ableiten
gruß
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[mm] $\bruch{d}{dz}exp(zA)= \bruch{d}{dz}\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(zA)^{n}}{n!}=\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{d}{dz}\bruch{(zA)^{n}}{n!}=\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n (zA)^{n-1}A}^{n!}$ [/mm] (weil für n=0 ist der Summand ja null)
[mm] $A\sum^\infty_{n=1}\frac{(zA)^{n-1}}{(n-1)!}$
[/mm]
$= [mm] A\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(zA)^{n}}^{n!}$
[/mm]
$= A [mm] \exp(zA)$.
[/mm]
Du musst dir noch klar machen, wieso man in die unendliche Summe die Ableitung "reinziehen darf"
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