Ableitung einer Funktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Schwimmbeckenaufgabe:
Gegeben ist: f(x)= [mm] $e^x$($e^x$ [/mm] - 2)
1.1...
1.2...
1.3 Zeige das gilt:f [mm] '(x)=$2e^x$($e^x$ [/mm] - 1)
....... |
Hallo liebe Mitglieder,
ich hab ein kleines Problem bei der Teilaufgabe 1.3.
Hier ist meine Rechnung:
f(x)= [mm] $e^x$($e^x$ [/mm] - 2)
u= [mm] $e^x$ v=$e^x$ [/mm] - 2
u'= [mm] $xe^x$ [/mm] v'= [mm] $xe^x$ [/mm]
f '(x)= [mm] $xe^x$*$e^x$-2 [/mm] + [mm] $xe^x$ [/mm] * [mm] $e^x$ [/mm]
Meine Frage ist kann ich die [mm] $xe^x$ [/mm] * [mm] $e^x$ [/mm] zusammenfassen?
Wenn ja wie würde dies aussehen? So : [mm] $x2e^x$ [/mm] ?
Ein Freund von mir hat vom Lehrer die Lösung mit abgeschrieben für mich da ich nicht da war.
In der Lösung steht:
[mm] u=$e^x$ v=$e^x$ [/mm] - 2
[mm] u'=$e^x$ v'=$e^x$
[/mm]
Wieso kommt da bei u' das gleiche wie u raus? ist das nicht so das was "da oben" steht kommt runter? sry für die Umschreibung aber mir fällt das passende Wort gerade nicht ein.
mfG
Kay
|
|
| |
|
Hallo KayXYhoch2,
> Schwimmbeckenaufgabe:
> Gegeben ist: f(x)= [mm]e^x[/mm]([mm]e^x[/mm] - 2)
> 1.1...
> 1.2...
>
> 1.3 Zeige das gilt:f '(x)=[mm]2e^x[/mm]([mm]e^x[/mm] - 1)
> .......
> Hallo liebe Mitglieder,
> ich hab ein kleines Problem bei der Teilaufgabe 1.3.
> Hier ist meine Rechnung:
>
> f(x)= [mm]e^x[/mm]([mm]e^x[/mm] - 2)
>
> u= [mm]e^x[/mm] v=[mm]e^x[/mm] - 2
>
> u'= [mm]xe^x[/mm] v'= [mm]xe^x[/mm]
>
u' und v' stimmen nicht.
> f '(x)= [mm]xe^x[/mm]*[mm]e^x[/mm]-2 + [mm]xe^x[/mm] * [mm]e^x[/mm]
>
> Meine Frage ist kann ich die [mm]xe^x[/mm] * [mm]e^x[/mm] zusammenfassen?
> Wenn ja wie würde dies aussehen? So : [mm]x2e^x[/mm] ?
>
Somit ist f' ebenfalls nicht richtig.
> Ein Freund von mir hat vom Lehrer die Lösung mit
> abgeschrieben für mich da ich nicht da war.
> In der Lösung steht:
>
> u=[mm]e^x[/mm] v=[mm]e^x[/mm] - 2
>
> u'=[mm]e^x[/mm] v'=[mm]e^x[/mm]
>
> Wieso kommt da bei u' das gleiche wie u raus? ist das nicht
> so das was "da oben" steht kommt runter? sry für die
> Umschreibung aber mir fällt das passende Wort gerade nicht
> ein.
>
Daß für u' die Funktion u wieder herauskommt,
das hat die Exponentialfunktion hier so an sich.
>
> mfG
>
> Kay
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:43 So 16.03.2014 | | Autor: | Ne0the0ne |
> Daß für u' die Funktion u wieder herauskommt,
> das hat die Exponentialfunktion hier so an sich.
> Gruss
> MathePower
Oberflächlich betrachtet schon.
Jedoch steckt hinter der Ableitung/Aufleitung auch ein Algorhythmus, der (sehr) wichtig ist.
[mm] f(x)=e^{b}
[/mm]
[mm] f'(x)=b'*e^{b}
[/mm]
usw.
darum ist
[mm] f(x)=e^{x} [/mm] (b=x)
gleich
f'(x)= [mm] 1*e^{x} [/mm] (also [mm] e^{x}) [/mm] da b'=1 ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:54 So 16.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Jedoch steckt hinter der Ableitung/Aufleitung auch ein
> Algorhythmus, der (sehr) wichtig ist.
Algorithmus.
> [mm]f(x)=e^{b}[/mm]
> [mm]f'(x)=b'*e^{b}[/mm]
> usw.
>
> darum ist
> [mm]f(x)=e^{x}[/mm] (b=x)
> gleich
> f'(x)= [mm]1*e^{x}[/mm] (also [mm]e^{x})[/mm] da b'=1 ist.
Zwischen deiner ersten und zweiten Aussage gibt es keinen
Unterschied, denn es gilt (und das meinst du auch):
[mm] (e^{x})'=e^{x}*(x)'=e^{x}*1=e^{x} [/mm] für alle [mm] x\in\IR.
[/mm]
Das lässt sich auch sofort anhand der Reihe zeigen:
[mm] e^{x}=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\ldots
[/mm]
[mm] \Rightarrow (e^{x})'=(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\ldots)'=0+1+x+\frac{x^2}{2!}+\ldots=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{x^n}{n!}=e^{x}.
[/mm]
Alternativ: Differenzenquotient.
Eigentlich hat man es meistens mit so einem Fall zu tun:
[mm] (e^{\alpha*x})'=e^{\alpha*x}*(\alpha*x)'=\alpha*e^{\alpha*x} [/mm] für alle [mm] \alpha,x\in\IR.
[/mm]
Das lässt sich, analog zu oben, genauso mit der Reihe oder
dem Differenzenquotienten zeigen. Wir machen es mal wieder
mit der Reihe, da ich es besser finde. Für alle [mm] \alpha,x\in\IR [/mm] gilt:
[mm] e^{\alpha*x}=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{(\alpha*x)^n}{n!}=1+\alpha*x+\frac{(\alpha*x)^2}{2!}+\frac{(\alpha*x)^3}{3!}+\ldots
[/mm]
[mm] \Rightarrow (e^{\alpha*x})'=0+\alpha+\alpha^2*x+\frac{\alpha^3*x^2}{2!}=\alpha(1+\alpha*x+\frac{\alpha^2*x^2}{2!})+\ldots=\alpha*\left(\sum^{\infty}_{n=0}\frac{(\alpha*x)^n}{n!}\right)=\alpha*e^{\alpha*x}.
[/mm]
edit: Wir haben natürlich immer nach $x$ abgeleitet. 
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:26 So 16.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Man kann zwar die Ableitung solcher Funktionen auf diese Art
und Weise ermitteln, aber im Grunde kann man das Spiel direkt
formal etwas allgemeiner fassen. Wir betrachten dafür folgende
Funktion $f$, wobei die Funktion $g$ differenzierbar ist:
[mm] f(x):=e^{g(x)}.
[/mm]
Hier gilt durch die Definition der Exponentialfunktion:
[mm] f(x)=e^{g(x)}=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{(g(x))^n}{n!}=1+g(x)+\frac{(g(x))^2}{2!}+\frac{(g(x))^3}{3!}+\ldots
[/mm]
[mm] \Rightarrow f'(x)=g'(x)+g(x)*g'(x)+\frac{(g(x))^2*g'(x)}{2!}+\ldots=g'(x)\left(\sum^{\infty}_{n=0}\frac{(g(x))^n}{n!}\right)=g'(x)*e^{g(x)}.
[/mm]
Zur Schreibweise: Bei den Zahlen im Exponenten der Funktion
$g$ ist natürlich weder eine Verkettung der Funktion noch die
Ableitung selbst gemeint.
Damit gilt also folgendes:
[mm] f'(x)=(e^{g(x)})'=g'(x)*e^{g(x)}.
[/mm]
Wenn man also von einem Algorithmus sprechen will oder einer
Regel, dann meint man eigentlich diese tolle Eigenschaft.
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:20 Fr 21.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo nochmal,
Vielleicht noch eine kleine Anmerkung. Wir haben durch die
Reihendarstellung der Exponentialfunktion gezeigt, dass für
eine differenzierbare Funktion $g$ folgendes gilt:
[mm] $(e^{g(x)})'=\blue{g'(x)*e^{g(x)}}$.
[/mm]
Dahinter steckt eigentlich die Kettenregel. In der Analysis
haben wir gezeigt, dass folgendes gilt:
[mm] $\exp(x)=e^x$ [/mm] für alle [mm] x\in\IR.
[/mm]
Die Kettenregel sagt uns (in kurz):
$(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)$.
Hier wird im Grunde genau das gemacht. Wir setzen
[mm] $f(x):=\exp(x)$.
[/mm]
und wenden die Kettenregel an:
[mm] $(f(g(x)))'=\exp'(g(x))*g'(x)=\exp(g(x))*g'(x)$=\blue{g'(x)*e^{g(x)}},
[/mm]
wobei wir folgende Eigenschaft benutzt haben:
[mm] \exp'(x)=\exp(x).
[/mm]
Das haben wir auch schon durch die Reihendarstellung hier gezeigt.
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:56 Mo 17.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
>
> > Jedoch steckt hinter der Ableitung/Aufleitung auch ein
> > Algorhythmus, der (sehr) wichtig ist.
>
> Algorithmus. Ich finde aber ehrlich gesagt Algorhythmus
> auch
> nicht schlecht, denn hier kommt Rhythmus mehr zur
> Geltung.
Zur Wortgeschichte (aus Wiki):
Das Wort Algorithmus ist eine Abwandlung des Namens des choresmischen Universalgelehrten Muhammed al-Chwarizmi (etwa 780–850; sein Beiname al-Chwarizmi bedeutet „der Choresmier“, bezieht sich also auf seine Herkunft aus diesem iranischen Volk), dessen arabisches Lehrbuch Über das Rechnen mit indischen Ziffern (um 825) in der mittelalterlichen lateinischen Übersetzung mit den Worten Dixit Algorismi (Algorismi hat gesagt) beginnt. Im Mittelalter veränderte sich der latinisierte Name von Alchoarismi über Algorismi, Algorismus, Algorisme, Algorithmi hin zu Algorism und dem heutigen englischen Begriff Algorithm.
FRED
>
> > [mm]f(x)=e^{b}[/mm]
> > [mm]f'(x)=b'*e^{b}[/mm]
> > usw.
> >
> > darum ist
> > [mm]f(x)=e^{x}[/mm] (b=x)
> > gleich
> > f'(x)= [mm]1*e^{x}[/mm] (also [mm]e^{x})[/mm] da b'=1 ist.
>
> Zwischen deiner ersten und zweiten Aussage gibt es keinen
> Unterschied, denn es gilt (und das meinst du auch):
>
> [mm](e^{x})'=e^{x}*(x)'=e^{x}*1=e^{x}[/mm] für alle [mm]x\in\IR.[/mm]
>
> Das lässt sich auch sofort anhand der Reihe zeigen:
>
> [mm]e^{x}=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\ldots[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow (e^{x})'=(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\ldots)'=0+1+x+\frac{x^2}{2!}+\ldots=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{x^n}{n!}=e^{x}.[/mm]
>
> Alternativ: Differenzenquotient.
>
>
> Eigentlich hat man es meistens mit so einem Fall zu tun:
>
> [mm](e^{\alpha*x})'=e^{\alpha*x}*(\alpha*x)'=\alpha*e^{\alpha*x}[/mm]
> für alle [mm]\alpha,x\in\IR.[/mm]
>
> Das lässt sich, analog zu oben, genauso mit der Reihe
> oder
> dem Differenzenquotienten zeigen. Wir machen es mal
> wieder
> mit der Reihe, da ich es besser finde. Für alle
> [mm]\alpha,x\in\IR[/mm] gilt:
>
> [mm]e^{\alpha*x}=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{(\alpha*x)^n}{n!}=1+\alpha*x+\frac{(\alpha*x)^2}{2!}+\frac{(\alpha*x)^3}{3!}+\ldots[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow (e^{\alpha*x})'=0+\alpha+\alpha^2*x+\frac{\alpha^3*x^2}{2!}=\alpha(1+\alpha*x+\frac{\alpha^2*x^2}{2!})+\ldots=\alpha*\left(\sum^{\infty}_{n=0}\frac{(\alpha*x)^n}{n!}\right)=\alpha*e^{\alpha*x}.[/mm]
>
> edit: Wir haben natürlich immer nach [mm]x[/mm] abgeleitet.
>
>
> Gruß
> DieAcht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:25 Fr 21.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Fred,
> Zur Wortgeschichte (aus Wiki):
>
> Das Wort Algorithmus ist eine Abwandlung des Namens des
> choresmischen Universalgelehrten Muhammed al-Chwarizmi
> (etwa 780–850; sein Beiname al-Chwarizmi bedeutet „der
> Choresmier“, bezieht sich also auf seine Herkunft aus
> diesem iranischen Volk), dessen arabisches Lehrbuch Über
> das Rechnen mit indischen Ziffern (um 825) in der
> mittelalterlichen lateinischen Übersetzung mit den Worten
> Dixit Algorismi (Algorismi hat gesagt) beginnt. Im
> Mittelalter veränderte sich der latinisierte Name von
> Alchoarismi über Algorismi, Algorismus, Algorisme,
> Algorithmi hin zu Algorism und dem heutigen englischen
> Begriff Algorithm.
>
>
> FRED
.. und ich dachte unser Mitglied kommt aus dem Irak.
Liebe Grüße
DieAcht
|
|
|
| |
|
> Hallo KayXYhoch2,
>
> > Schwimmbeckenaufgabe:
> > Gegeben ist: f(x)= [mm]e^x[/mm]([mm]e^x[/mm] - 2)
> > 1.1...
> > 1.2...
> >
> > 1.3 Zeige das gilt:f '(x)=[mm]2e^x[/mm]([mm]e^x[/mm] - 1)
> > .......
> > Hallo liebe Mitglieder,
> > ich hab ein kleines Problem bei der Teilaufgabe 1.3.
> > Hier ist meine Rechnung:
> >
> > f(x)= [mm]e^x[/mm]([mm]e^x[/mm] - 2)
> >
> > u= [mm]e^x[/mm] v=[mm]e^x[/mm] - 2
> >
> > u'= [mm]xe^x[/mm] v'= [mm]xe^x[/mm]
> >
>
>
> u' und v' stimmen nicht.
>
>
> > f '(x)= [mm]xe^x[/mm]*[mm]e^x[/mm]-2 + [mm]xe^x[/mm] * [mm]e^x[/mm]
> >
> > Meine Frage ist kann ich die [mm]xe^x[/mm] * [mm]e^x[/mm] zusammenfassen?
> > Wenn ja wie würde dies aussehen? So : [mm]x2e^x[/mm] ?
> >
>
>
> Somit ist f' ebenfalls nicht richtig.
>
>
> > Ein Freund von mir hat vom Lehrer die Lösung mit
> > abgeschrieben für mich da ich nicht da war.
> > In der Lösung steht:
> >
> > u=[mm]e^x[/mm] v=[mm]e^x[/mm] - 2
> >
> > u'=[mm]e^x[/mm] v'=[mm]e^x[/mm]
> >
> > Wieso kommt da bei u' das gleiche wie u raus? ist das nicht
> > so das was "da oben" steht kommt runter? sry für die
> > Umschreibung aber mir fällt das passende Wort gerade nicht
> > ein.
> >
>
>
> Daß für u' die Funktion u wieder herauskommt,
> das hat die Exponentialfunktion hier so an sich.
Und wieso kommt da wieder u raus? Ich versteh das nicht da müsste doch ein x vorne sein oder nicht?
Gruß
Kay
|
|
|
| |
|
Hallo KayXYhoch2,
> > Hallo KayXYhoch2,
> >
> > > Schwimmbeckenaufgabe:
> > > Gegeben ist: f(x)= [mm]e^x[/mm]([mm]e^x[/mm] - 2)
> > > 1.1...
> > > 1.2...
> > >
> > > 1.3 Zeige das gilt:f '(x)=[mm]2e^x[/mm]([mm]e^x[/mm] - 1)
> > > .......
> > > Hallo liebe Mitglieder,
> > > ich hab ein kleines Problem bei der Teilaufgabe 1.3.
> > > Hier ist meine Rechnung:
> > >
> > > f(x)= [mm]e^x[/mm]([mm]e^x[/mm] - 2)
> > >
> > > u= [mm]e^x[/mm] v=[mm]e^x[/mm] - 2
> > >
> > > u'= [mm]xe^x[/mm] v'= [mm]xe^x[/mm]
> > >
> >
> >
> > u' und v' stimmen nicht.
> >
> >
> > > f '(x)= [mm]xe^x[/mm]*[mm]e^x[/mm]-2 + [mm]xe^x[/mm] * [mm]e^x[/mm]
> > >
> > > Meine Frage ist kann ich die [mm]xe^x[/mm] * [mm]e^x[/mm] zusammenfassen?
> > > Wenn ja wie würde dies aussehen? So : [mm]x2e^x[/mm] ?
> > >
> >
> >
> > Somit ist f' ebenfalls nicht richtig.
> >
> >
> > > Ein Freund von mir hat vom Lehrer die Lösung mit
> > > abgeschrieben für mich da ich nicht da war.
> > > In der Lösung steht:
> > >
> > > u=[mm]e^x[/mm] v=[mm]e^x[/mm] - 2
> > >
> > > u'=[mm]e^x[/mm] v'=[mm]e^x[/mm]
> > >
> > > Wieso kommt da bei u' das gleiche wie u raus? ist das nicht
> > > so das was "da oben" steht kommt runter? sry für die
> > > Umschreibung aber mir fällt das passende Wort gerade nicht
> > > ein.
> > >
> >
> >
> > Daß für u' die Funktion u wieder herauskommt,
> > das hat die Exponentialfunktion hier so an sich.
>
> Und wieso kommt da wieder u raus? Ich versteh das nicht da
> müsste doch ein x vorne sein oder nicht?
>
Schau Dir hierzu die Kettenregel an.
Die Ableitung einer verketten Funktion, wie sie hier vorliegt,
wird ausschlileßlich mit der äußeren Ableitung (hier: [mm]e^{x}[/mm])
und der inneren Ableitung (hier, Ableitung von x: 1) gebildet.
> Gruß
>
> Kay
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
>
>
> Schau Dir hierzu die
> Kettenregel an.
>
> Die Ableitung einer verketten Funktion, wie sie hier
> vorliegt,
> wird ausschlileßlich mit der äußeren Ableitung (hier:
> [mm]e^{x}[/mm])
> und der inneren Ableitung (hier, Ableitung von x: 1)
> gebildet.
>
Ich hab mein Denkfehler soweit verstanden aber ich komme nicht auf die f '(x)=[mm]2e^x[/mm]([mm]e^x[/mm] - 1)
f '(x)= [mm]e^x[/mm]*([mm]e^x[/mm]-2) + [mm]e^x[/mm] * [mm]e^x[/mm]
= [mm]e^x[/mm]*([mm]e^x[/mm]-2) + [mm]e^2^x[/mm]
[mm] =$-2e^x$ [/mm] + [mm] $2e^2^x$
[/mm]
Ab da komme ich nicht weiter...
|
|
|
| |
|
Hallo, deine Ableitung ist jetzt ok
[mm] f'(x)=e^x*(e^x-2)+e^x*e^x=-2e^x+2e^2^x
[/mm]
klammere [mm] 2e^x [/mm] aus
Steffi
|
|
|
| |
|
> Hallo, deine Ableitung ist jetzt ok
>
> [mm]f'(x)=e^x*(e^x-2)+e^x*e^x=-2e^x+2e^2^x[/mm]
>
> klammere [mm]2e^x[/mm] aus
>
>
>
> Steffi
>
Ich komm dann trotzdem nicht auf f '(x)=[mm]2e^x[/mm]([mm]e^x[/mm] - 1) ??
|
|
|
| |
|
Hallo KayXYhoch2,
> > Hallo, deine Ableitung ist jetzt ok
> >
> > [mm]f'(x)=e^x*(e^x-2)+e^x*e^x=-2e^x+2e^2^x[/mm]
> >
> > klammere [mm]2e^x[/mm] aus
> >
> >
> >
> > Steffi
> >
>
> Ich komm dann trotzdem nicht auf f '(x)=[mm]2e^x[/mm]([mm]e^x[/mm] - 1) ??
>
Bedenke daß gitl: [mm]e^{2x}=e^{x}*e^{x}[/mm]
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:59 So 16.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Alternativ kannst du natürlich auch zunächst ausklammern.
[mm] f(x)=e^x(e^x-2)=e^x*e^x-2e^x=e^{2x}-2e^x
[/mm]
[mm] \Rightarrow f'(x)=2e^{2x}-2e^x=2e^x(e^x-1).
[/mm]
Siehe dir dazu auch hier meine Mitteilung an.
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
>
> Alternativ kannst du natürlich auch zunächst
> ausklammern.
>
> [mm]f(x)=e^x(e^x-2)=e^x*e^x-2e^x=e^{2x}-2e^x[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow f'(x)=2e^{2x}-2e^x=2e^x(e^x-1).[/mm]
>
>
> Siehe dir dazu auch hier
> meine Mitteilung an.
>
>
> Gruß
> DieAcht
Ich habs zwar immer noch nicht ganz verstanden aber ich versuchs mal alleine herauszubekommen.
Dabei brauch ich mal eben Hilfe:
[mm] 2$e^x$ [/mm] = [mm] $e^x$ [/mm] * [mm] $e^x$
[/mm]
[mm] $e^2^x$ [/mm] = [mm] $e^x$ [/mm] * [mm] $e^x$
[/mm]
ist das richtig?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> > Hallo,
> >
> >
> > Alternativ kannst du natürlich auch zunächst
> > ausklammern.
> >
> > [mm]f(x)=e^x(e^x-2)=e^x*e^x-2e^x=e^{2x}-2e^x[/mm]
> >
> > [mm]\Rightarrow f'(x)=2e^{2x}-2e^x=2e^x(e^x-1).[/mm]
> >
> >
> > Siehe dir dazu auch hier
> > meine Mitteilung an.
> >
> >
> > Gruß
> > DieAcht
>
> Ich habs zwar immer noch nicht ganz verstanden aber ich
> versuchs mal alleine herauszubekommen.
> Dabei brauch ich mal eben Hilfe:
>
> 2[mm]e^x[/mm] = [mm]e^x[/mm] * [mm]e^x[/mm]
Es ist doch [mm] 2e^x=e^x+e^x
[/mm]
>
> [mm]e^2^x[/mm] = [mm]e^x[/mm] * [mm]e^x[/mm]
Ja, das stimmt hier
>
> ist das richtig?
Letztlich brauchst du die Regel ja beim Ausklammern, wie es dieAcht gemacht hat:
[mm] f(x)=e^x(e^x-2)=e^x\cdot{}e^x-2e^x=e^{2x}-2e^x
[/mm]
Wo drückt jetzt noch genau der Schuh? Wie können wir dir das noch verständlich machen, wo hängt es noch?
Immer frag, wenn noch was offen ist. Gerade grundlagen sollten sattelfest sein, und so sollte man wirklich jede kleine Frage hier ausmerzen, bis es sitzt.
Liebe Grüße!
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> > > Hallo,
> > >
> > >
> > > Alternativ kannst du natürlich auch zunächst
> > > ausklammern.
> > >
> > > [mm]f(x)=e^x(e^x-2)=e^x*e^x-2e^x=e^{2x}-2e^x[/mm]
> > >
> > > [mm]\Rightarrow f'(x)=2e^{2x}-2e^x=2e^x(e^x-1).[/mm]
> > >
> > >
> > > Siehe dir dazu auch hier
> > > meine Mitteilung an.
> > >
> > >
> > > Gruß
> > > DieAcht
> >
> > Ich habs zwar immer noch nicht ganz verstanden aber ich
> > versuchs mal alleine herauszubekommen.
> > Dabei brauch ich mal eben Hilfe:
> >
> > 2[mm]e^x[/mm] = [mm]e^x[/mm] * [mm]e^x[/mm]
>
> Es ist doch [mm]2e^x=e^x+e^x[/mm]
>
> >
> > [mm]e^2^x[/mm] = [mm]e^x[/mm] * [mm]e^x[/mm]
>
> Ja, das stimmt hier
> >
> > ist das richtig?
>
Ich hab´s jetzt einigermaßen verstanden (zumindestens weiß ich jetzt wie ich auf die Lösung komme, nur habe ich hier die Lösung und in der Klausur nicht :/)
> Letztlich brauchst du die Regel ja beim Ausklammern, wie es
> dieAcht gemacht hat:
>
> [mm]f(x)=e^x(e^x-2)=e^x\cdot{}e^x-2e^x=e^{2x}-2e^x[/mm]
>
Ich habs jetzt verstanden aber...
>
> Wo drückt jetzt noch genau der Schuh? Wie können wir dir
> das noch verständlich machen, wo hängt es noch?
Ich glaube bei mir hängt es beim "ausklammern". ich verstehe es eigentlich (z.B 2x + 5x$^2$ + [mm] 4$x^3$ [/mm] = [mm] x(2+5x+4$x^2$) [/mm] )
Nur wenn es jetzt wie bei der obigen Aufgabe ein x da oben im Exponent ist bekomme ich Schwierigkeiten. Ich weiß aber nicht warum :/
>
> Immer frag, wenn noch was offen ist. Gerade grundlagen
> sollten sattelfest sein, und so sollte man wirklich jede
> kleine Frage hier ausmerzen, bis es sitzt.
>
> Liebe Grüße!
Danke schön! Ich bin manchmal echt Schwierig sry
|
|
|
| |
|
> > Hallo,
> >
> > > > Hallo,
> > > >
> > > >
> > > > Alternativ kannst du natürlich auch zunächst
> > > > ausklammern.
> > > >
> > > > [mm]f(x)=e^x(e^x-2)=e^x*e^x-2e^x=e^{2x}-2e^x[/mm]
> > > >
> > > > [mm]\Rightarrow f'(x)=2e^{2x}-2e^x=2e^x(e^x-1).[/mm]
> > > >
> > > >
> > > > Siehe dir dazu auch hier
> > > > meine Mitteilung an.
> > > >
> > > >
> > > > Gruß
> > > > DieAcht
> > >
> > > Ich habs zwar immer noch nicht ganz verstanden aber ich
> > > versuchs mal alleine herauszubekommen.
> > > Dabei brauch ich mal eben Hilfe:
> > >
> > > 2[mm]e^x[/mm] = [mm]e^x[/mm] * [mm]e^x[/mm]
> >
> > Es ist doch [mm]2e^x=e^x+e^x[/mm]
> >
> > >
> > > [mm]e^2^x[/mm] = [mm]e^x[/mm] * [mm]e^x[/mm]
> >
> > Ja, das stimmt hier
> > >
> > > ist das richtig?
> >
> Ich hab´s jetzt einigermaßen verstanden (zumindestens
> weiß ich jetzt wie ich auf die Lösung komme, nur habe ich
> hier die Lösung und in der Klausur nicht :/)
>
>
> > Letztlich brauchst du die Regel ja beim Ausklammern, wie es
> > dieAcht gemacht hat:
> >
> > [mm]f(x)=e^x(e^x-2)=e^x\cdot{}e^x-2e^x=e^{2x}-2e^x[/mm]
> >
> Ich habs jetzt verstanden aber...
>
> >
> > Wo drückt jetzt noch genau der Schuh? Wie können wir dir
> > das noch verständlich machen, wo hängt es noch?
>
> Ich glaube bei mir hängt es beim "ausklammern". ich
> verstehe es eigentlich (z.B 2x + 5x[mm]^2[/mm] + 4[mm]x^3[/mm] = x(2+5x+4[mm]x^2[/mm])
> )
> Nur wenn es jetzt wie bei der obigen Aufgabe ein x da oben
> im Exponent ist bekomme ich Schwierigkeiten. Ich weiß aber
> nicht warum :/
>
> >
> > Immer frag, wenn noch was offen ist. Gerade grundlagen
> > sollten sattelfest sein, und so sollte man wirklich jede
> > kleine Frage hier ausmerzen, bis es sitzt.
> >
> > Liebe Grüße!
>
> Danke schön! Ich bin manchmal echt Schwierig sry
>
Muss meinen Eintrag nochmal verbessern sry
Meine Unsicherheit besteht immer dann was vor der Klammer stehen soll bzw kann?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:50 Mo 17.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> > Ich glaube bei mir hängt es beim "ausklammern".
Okay, dann gucken wir uns das doch mal an.
> > ich verstehe es eigentlich (z.B 2x + 5x[mm]^2[/mm] + 4[mm]x^3[/mm] = x(2+5x+4[mm]x^2[/mm]) )
Das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> > Nur wenn es jetzt wie bei der obigen Aufgabe ein x da oben
> > im Exponent ist bekomme ich Schwierigkeiten. Ich weiß aber
> > nicht warum :/
Lass dich nicht irritieren. Die Eulersche Zahl ist selbst
nur eine Zahl. Du hast also verstanden, weshalb wir durch
das Ausklammern etwas schneller zur Ableitung kommen und
weshalb wir als Ableitung zunächst folgendes erhalten:
[mm] f'(x)=2e^{2x}-2e^x.
[/mm]
Es gilt:
[mm] $e^{a+b}=e^a*e^b$ [/mm] für alle [mm] a,b\in\IR.
[/mm]
[mm] $2e^x=e^x+e^x$ [/mm] für alle [mm] x\in\IR.
[/mm]
$2x=x+x$ für alle [mm] x\in\IR.
[/mm]
Die letzten zwei sind sogar Ausklammerungen, denn es gilt:
$x+x=x(1+1)=2x$ für alle [mm] x\in\IR.
[/mm]
[mm] $2e^x=(1+1)e^x=e^x+e^x$ [/mm] für alle [mm] x\in\IR.
[/mm]
Für das Zusammenfassen der Ableitung nutzen wir nun diese
drei Eigenschaften aus. Es gilt:
[mm] f'(x)=2e^{2x}-2e^x=2e^{x+x}-2e^x=2*e^x*e^x-(e^x+e^x)=2*e^x*e^x-e^x-e^x.
[/mm]
Mehr geht nicht. 
Jetzt [mm] $e^x$ [/mm] ausklammern!
[mm] f'(x)=2*e^x*e^x-e^x-e^x=e^x(2e^x-1-1)=e^x(2e^x-2)=e^x(2(e^x-1))=2e^x(e^x-1).
[/mm]
Wenn du dir unsicher bist, dann kannst du auch die Probe machen:
[mm] 2e^x(e^x-1)=2(e^x*e^x-e^x)=2e^x*e^x-2e^x=2e^{2x}-2e^x=f'(x).
[/mm]
Noch ausführlicher geht das kaum und auch so macht es wenig
Sinn. Zur Übung natürlich schon, aber sonst eher nicht.
Das was du erkennen musst ist, dass die Summen alle etwas
gemeinsam haben müssen. Genau das klammern wir aus. Hier ist
es [mm] $e^x$.
[/mm]
Normalerweise macht man im Kopf folgendes:
[mm] f'(x)=2e^{2x}-2e^x.
[/mm]
Wir setzen:
[mm] g(x):=2e^{2x} [/mm] und [mm] h(x):=2e^x
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] f'(x)=g(x)-h(x)$.
Was haben nun $g$ und $h$ gemeinsam? Zunächst nur die $2$ am
Anfang, also gilt schon einmal folgendes:
[mm] f'(x)=2e^{2x}-2e^x=2(e^{2x}-e^x). [/mm] (Probe: [mm] 2(e^{2x}-e^x)=2e^{2x}-2e^x=f'(x))
[/mm]
Dann überlegt man sich, analog zu oben, dass folgendes gilt:
[mm] $e^{2x}=e^x*e^x$ [/mm] für alle [mm] x\in\IR.
[/mm]
Demnach gilt:
[mm] f'(x)=2(e^{2x}-e^x)=2(e^{x}*e^x-e^x).
[/mm]
Analog zu oben, wir setzen:
[mm] i(x):=e^x*e^x [/mm] und [mm] j(x):=e^x.
[/mm]
Damit gilt:
$f'(x)=2(i(x)-j(x))$.
Was haben $i$ und $j$ gemeinsam? Antwort: [mm] $e^x$. [/mm] Also gilt:
[mm] f'(x)=2(e^{x}*e^x-e^x)=2(e^x(e^x-1))=2e^x(e^x-1).
[/mm]
Das macht man aber eigentlich im Kopf, aber zur Übung kannst
du dir das mal so ausführlich angucken. Vor Allem solltest
du immer die Probe in deinem Kopf machen, denn dann werden
Fehler schnell abgefangen. Ich hoffe, dass es nun klarer ist.
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:25 Di 18.03.2014 | | Autor: | KayXYhoch2 |
| Aufgabe | Aufgabe
Schwimmbeckenaufgabe:
Gegeben ist: f(x)= $ [mm] e^x [/mm] $($ [mm] e^x [/mm] $ - 2)
1.1...
1.2 Untersuche das Verhalten der Funktiom an den Defenitionsrändern
x [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}$
[/mm]
1.3 Zeige das gilt:f '(x)=$ [mm] 2e^x [/mm] $($ [mm] e^x [/mm] $ - 1)
....... |
> Hallo,
>
>
> > > Ich glaube bei mir hängt es beim "ausklammern".
>
> Okay, dann gucken wir uns das doch mal an.
>
> > > ich verstehe es eigentlich (z.B 2x + 5x[mm]^2[/mm] + 4[mm]x^3[/mm] =
> x(2+5x+4[mm]x^2[/mm]) )
>
> Das ist richtig.
>
> > > Nur wenn es jetzt wie bei der obigen Aufgabe ein x da oben
> > > im Exponent ist bekomme ich Schwierigkeiten. Ich weiß aber
> > > nicht warum :/
>
> Lass dich nicht irritieren. Die Eulersche Zahl ist selbst
> nur eine Zahl. Du hast also verstanden, weshalb wir durch
> das Ausklammern etwas schneller zur Ableitung kommen und
> weshalb wir als Ableitung zunächst folgendes erhalten:
>
> [mm]f'(x)=2e^{2x}-2e^x.[/mm]
>
> Es gilt:
>
> [mm]e^{a+b}=e^a*e^b[/mm] für alle [mm]a,b\in\IR.[/mm]
>
> [mm]2e^x=e^x+e^x[/mm] für alle [mm]x\in\IR.[/mm]
>
> [mm]2x=x+x[/mm] für alle [mm]x\in\IR.[/mm]
>
> Die letzten zwei sind sogar Ausklammerungen, denn es gilt:
>
> [mm]x+x=x(1+1)=2x[/mm] für alle [mm]x\in\IR.[/mm]
>
> [mm]2e^x=(1+1)e^x=e^x+e^x[/mm] für alle [mm]x\in\IR.[/mm]
>
> Für das Zusammenfassen der Ableitung nutzen wir nun diese
> drei Eigenschaften aus. Es gilt:
>
> [mm]f'(x)=2e^{2x}-2e^x=2e^{x+x}-2e^x=2*e^x*e^x-(e^x+e^x)=2*e^x*e^x-e^x-e^x.[/mm]
>
> Mehr geht nicht.
>
> Jetzt [mm]e^x[/mm] ausklammern!
>
> [mm]f'(x)=2*e^x*e^x-e^x-e^x=e^x(2e^x-1-1)=e^x(2e^x-2)=e^x(2(e^x-1))=2e^x(e^x-1).[/mm]
>
> Wenn du dir unsicher bist, dann kannst du auch die Probe
> machen:
>
> [mm]2e^x(e^x-1)=2(e^x*e^x-e^x)=2e^x*e^x-2e^x=2e^{2x}-2e^x=f'(x).[/mm]
>
> Noch ausführlicher geht das kaum und auch so macht es
> wenig
> Sinn. Zur Übung natürlich schon, aber sonst eher nicht.
> Das was du erkennen musst ist, dass die Summen alle etwas
> gemeinsam haben müssen. Genau das klammern wir aus. Hier
> ist
> es [mm]e^x[/mm].
Ja es ist klarer jetzt, nur irgendwie hab ich da eine Blockade in meinem Hirn wenn im Exponenten ein x ist und wie Steffi schon sagte die Potenzregeln spielen bei meinem Problem auch eine Rolle mit aber vorallem habe ich Schwierigkeiten mit dem "Ausklammern" da das seid der Oberstufe zum ersten Mal gemacht habe( Mein Lehrer meinte zwar das wir das in der Realschule gemacht haben müssten aber ich kannte es bis dato noch gar nicht, und somit musste ich es mir selbst beibringen und habe somit Probleme damit.) Irgendwie fände ich es auch einfacher wenn man beim ausklammern nur "rechnen" (wie * oder / ) bräuchte. Aber nun gut ich muss damit jetzt zurecht kommen und mit euer Hilfe wird es zumal einfacher ;)
>
> Normalerweise macht man im Kopf folgendes:
>
> [mm]f'(x)=2e^{2x}-2e^x.[/mm]
>
> Wir setzen:
>
> [mm]g(x):=2e^{2x}[/mm] und [mm]h(x):=2e^x[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow f'(x)=g(x)-h(x)[/mm].
>
> Was haben nun [mm]g[/mm] und [mm]h[/mm] gemeinsam? Zunächst nur die [mm]2[/mm] am
> Anfang, also gilt schon einmal folgendes:
>
> [mm]f'(x)=2e^{2x}-2e^x=2(e^{2x}-e^x).[/mm] (Probe:
> [mm]2(e^{2x}-e^x)=2e^{2x}-2e^x=f'(x))[/mm]
>
> Dann überlegt man sich, analog zu oben, dass folgendes
> gilt:
>
> [mm]e^{2x}=e^x*e^x[/mm] für alle [mm]x\in\IR.[/mm]
>
> Demnach gilt:
>
> [mm]f'(x)=2(e^{2x}-e^x)=2(e^{x}*e^x-e^x).[/mm]
>
> Analog zu oben, wir setzen:
>
> [mm]i(x):=e^x*e^x[/mm] und [mm]j(x):=e^x.[/mm]
>
> Damit gilt:
>
> [mm]f'(x)=2(i(x)-j(x))[/mm].
>
> Was haben [mm]i[/mm] und [mm]j[/mm] gemeinsam? Antwort: [mm]e^x[/mm]. Also gilt:
>
> [mm]f'(x)=2(e^{x}*e^x-e^x)=2(e^x(e^x-1))=2e^x(e^x-1).[/mm]
>
> Das macht man aber eigentlich im Kopf, aber zur Übung
> kannst
> du dir das mal so ausführlich angucken. Vor Allem
> solltest
> du immer die Probe in deinem Kopf machen, denn dann
> werden
> Fehler schnell abgefangen. Ich hoffe, dass es nun klarer
> ist.
>
>
> Gruß
> DieAcht
Mein großer Dank geht besonders an DieAcht und Steffi die mir besonders weitergeholfen haben(Ich hoffe ich hab jetzt in der Schnelligkeit niemanden übersehen, muss weiterüben ;) ) und an alle anderen die mir geholfen haben! Vielen vielen lieben Dank ;)
Bis zum nächsten Matheproblem ;)
Gruß Kay
|
|
|
| |
|
Hallo, dein Problem ist wohl nicht das Ausklammern sondern die Potenzgesetze, du bist bei deiner Ableitung bis hier gekommen:
[mm] f'(x)=-2e^x+2e^2^x
[/mm]
[mm] e^2^x=e^x*e^x
[/mm]
dahinter verbirgt sich: zwei Potenzen mit gleichen Basen werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert,
[mm] e^x*e^x
[/mm]
du hast jeweils die Basis e, die Exponenten lauten x und x, diese sind zu addieren, also x+x=2x
jetzt erneut zum Ausklammern
[mm] f'(x)=-2e^x+2e^2^x
[/mm]
[mm] f'(x)=-2e^x+2e^x*e^x
[/mm]
[mm] f'(x)=-1*2e^x+2e^x*e^x
[/mm]
in jedem Summand kommt der Faktor [mm] 2e^x [/mm] vor, der ausgeklammert wird
[mm] f'(x)=2e^x(-1+e^x)
[/mm]
Steffi
|
|
|
|
