Ableitung einer e-Kurvenschar < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:20 So 16.04.2006 | | Autor: | ActioN |
| Aufgabe | Aufgabe 1:
Gegeben sei die Schar von Funktionen [mm]f_a[/mm]:
[mm]f_a[/mm]: x -> [mm]f_a(x)[/mm]= [mm] [/mm]:[mm]\bruch{e^x}{(e^x+a)^2} [/mm]
mit [mm]a\in\IR [/mm]
1.1 Unersuche das Verhalten von [mm]f_a[/mm](x) im Unendlichen!
1.2 Zeige, dass für die erste Ableitung von [mm]f_a[/mm] gilt:
[mm]f_a'(x)[/mm]= [mm] [/mm]:[mm]\bruch{a-e^x}{(a+e^x)}*f_a(x)[/mm]
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Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://warcraftforum.ingame.de/showthread.php?s=&postid=2950703&t=555
Mein Hauptproblem ist eigentlich, dass ich nicht genau weiß, was der Nenner der Funktion abgeleitet ist. Ich dachte 2*(exp(x) +a)² aber damit komm ich nicht auf die angegebene Ableitung.
Beim Verhalten im Unendlich für x-> - unendlich bin ich mir auch nicht sicher.
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Hi Alexander,
wie schon im anderen Forenbeitrag 2 Stunden vor diesem Posting geschrieben wurde, ist die Ableitung des Nenners mit der Kettenregel:
[mm]((e^x+a)^2))' = \underbrace{2}_{aeussere Ableitung} * (e^x+a) * \underbrace{e^x}_{innere Ableitung}[/mm]
Für $x [mm] \to -\infty$ [/mm] gilt: [mm] $e^x \to [/mm] 0$. Was dies für $a [mm] \not= [/mm] 0$ bedeutet, sollte relativ leicht herauszufinden sein. Für $a = 0$ ist es trivial (einfach Funktionsterm "scharf anschauen").
Bitte schau dir beim nächsten Mal erst die Antworten im anderen Forum an, bevor du die Frage hier stellst 
Viele Grüße und frohe Ostern,
Michael
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:49 So 16.04.2006 | | Autor: | ActioN |
Frohe Ostern auch dir & vielen Dank.
Werds gleich mal ausprobieren. Wenn ich dann immer noch nicht drauf komm meld ich mich nochmal.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 Mo 17.04.2006 | | Autor: | ActioN |
Ich komm immer noch nicht auf die vorgegebene erste Ableitung.
Nach Anwendung der Quotientenregel, Kürzen & Aufteilen auf 2 Bruchstriche komm ich auf:
[mm]f_a'(x)[/mm]= [mm] [/mm]:[mm]\bruch{e^x}{(e^x+a)^2}*\bruch{(e^x+a)-2e^x}{e^x+a}[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:25 Mo 17.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo ActioN!
Setzen wir mal in Ruhe ein:
$u \ := \ [mm] e^x$ $\Rightarrow$ [/mm] $u' \ = \ [mm] e^x$
[/mm]
$v \ := \ [mm] \left(e^x+a\right)^2$ $\Rightarrow$ [/mm] $u' \ = \ [mm] 2*\left(e^x+a\right)*e^x$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $f_a'(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{u'*v-u*v'}{v^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{e^x*\left(e^x+a\right)^2-e^x*2*\left(e^x+a\right)*e^x}{\left(e^x+a\right)^4}$
[/mm]
Nun [mm] $e^x*\left(e^x+a\right)$ [/mm] ausklammern und anschließend kürzen:
[mm] $f_a'(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{e^x*\blue{\left(e^x+a\right)}*\left[\left(e^x+a\right)-2*e^x\right]}{\blue{\left(e^x+a\right)}*\left(e^x+a\right)^3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{e^x*\left(e^x+a-2*e^x\right)}{\left(e^x+a\right)^3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{e^x}{\left(e^x+a\right)^2}*\bruch{a-e^x}{\left(e^x+a\right)^1} [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:01 Mo 17.04.2006 | | Autor: | ActioN |
Vielen Dank für die schnelle & verständliche Hilfe. Hast mir echt voll geholfen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Mo 17.04.2006 | | Autor: | ActioN |
Hab noch eine letzte Frage: Wie sähe eine Stammfunktion von [mm]f_a[/mm] aus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:49 Mo 17.04.2006 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Action
Wie wärs mit begrüßung und Abschied?
differenzier mal 1/(e^{x)+a) ! alle Fkt. der Form f'/f^{2} haben die Stammfkt 1/f
Gruss leduart
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