Ableitung einer ln Funktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:20 Do 12.06.2008 | | Autor: | Mathe--- |
| Aufgabe | | Bilden Sie die Ableitung zur Funktion [mm] f(x)=3/x*(ln(2x))^2 [/mm] |
Kann mir jemand sagen, wie die Ableitung zu dieser Funktion lautet? Selbst habe ich nach intensivem rechnen mehrere verschiedene (mögliche?) Lösungen berechnet. Auch Online-Tools auf mathetools.de oder calc101.com lieferten jeweils verschiedene Ergebnisse...
Vielen Dank für eure Hilfe im Vorraus
MfG
Mathe--
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Do 12.06.2008 | | Autor: | Mathe--- |
1. Ansatz
[mm] f(x)=3/x*(ln(2x))^2=(6/x)*(ln(2x))
[/mm]
[mm] f'(x)=6*(-1/x^2)*ln(2x)+1/x*2/x=6/x^2*(-(ln(2x))+2)
[/mm]
2. Ansatz
[mm] f(x)=3/x*(ln(2x))^2=(6/x)*(ln2+lnx)=6*(ln2/x+lnx/x)
[/mm]
[mm] f'(x)=6((-1/x^2)+(1+lnx)/x^2)=6*(lnx/x^2)
[/mm]
daneben noch einige weitere, allerdings mit jew. unterschiedlichen Ergebnissen....
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Hallo Mathe,
das sieht beides nicht so richtig stimmig aus.
Überlege doch Schritt für Schritt, wie die "Teilableitungen" aussehen und bastel alles am Ende mit Blick auf die Produktregel zusammen:
Du hast in deiner Funktionsvorschrift ein Produkt [mm] $f(x)=u(x)\cdot{}v(x)$ [/mm] mit den beiden Teilfunktionen/Faktoren [mm] $u(x)=\frac{3}{x}$ [/mm] und [mm] $v(x)=\ln^2(2x)$
[/mm]
Nimm dir zuerst mal [mm] $u(x)=\frac{3}{x} [/mm] \ [mm] (=3\cdot{}x^{-1})$ [/mm] vor.
Wie sieht denn die Ableitung $u'(x)$ davon aus?
Das ist der leichtere Teil 
Dann schaue dir den anderen Ausdruck an [mm] $v(x)=\ln^2(2x)=\left[\ln(2x)\right]^2$
[/mm]
Das Biest musst du mit der Kettenregel angehen:
[mm] $v'(x)=\left(\left[\ln(2x)\right]^2\right)'=\underbrace{2\cdot{}\ln(2x)^1}_{\text{äußere Ableitung}} [/mm] \ [mm] \cdot{} [/mm] \ [mm] \underbrace{\left[\ln(2x)\right]'}_{\text{innere Ableitung}}$
[/mm]
Hier musst du bei der inneren Ableitung nochmal mit der Kettenregel zubeißen...
Wenn du dann die Ableitungen der beiden Teilfunktionen $u(x)$ und $v(x)$ hast, weißt du, dass nach der Produktregel die Ableitung von f diese ist:
[mm] $f'(x)=u'(x)\cdot{}v(x)+u(x)\cdot{}v'(x)$
[/mm]
Also noch ein bisschen Puzzelarbeit, sollte aber mit den Hinweisen machbar sein ...
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:20 Do 12.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathe---!
Du wendest hier vermeintliche  Logarithmusgesetze vor dem Ableiten falsch an.
Zum Beispiel darfst Du ein Quadrat, das sich auf den gesamten Logarithmus bezieht, nicht nach vorne ziehen.
Gruß
Loddar
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!!
