Ableitung eines Integrals < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:44 Do 10.12.2015 | | Autor: | Igor1 |
Hallo
seien [mm] \phi ,\psi [/mm] : [mm] \IR->\IR [/mm] und [mm] f:\IR^2->\IR [/mm] stetig differenzierbare Funktionen.
Zeigen Sie d/dx [mm] \int_{\psi(x)}^{\phi(x)}f(x,y)\,dy=f(x,\phi(x))*\phi '(x)-f(x,\psi(x))*\psi '(x)+\int_{\psi(x)}^{\phi(x)}d/dxf(x,y)\,dy [/mm] ,indem Sie den Fundamentalsatz der Differential und Integralrechnung(FDI)
benutzen.
Wie kann man hier vorgehen?
Gruß
Igor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:08 Do 10.12.2015 | | Autor: | Igor1 |
1)Ich vermute, daß man den Fundamentalsatz (FDI) auf das unbestimmte Integral anwenden könnte. Die beiden Grenzen sind jedoch von x abhängig. Wie kann man das handhaben ?
Dann könnte man Kettenregel- angewendet auf das unbestimmte Integral- (wobei das unbestimmte Integral z.B von [mm] \phi(x) [/mm] abhängt) anwenden.
Darauf komme ich, weil rechts vom Gleichheitszeichen ein Term vorkommt, der wie Anwendung der Kettenregel aussieht.
2)Unser Tutor hat als Tipp folgendes an die Tafel geschrieben:
[mm] G(u,v,x):=\int_{u}^{v} f(x,y)\,dy [/mm] .
Sollen u,v von x abhängen oder nicht ?Wenn nicht, was sollen u,v genauer bedeuten?
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Hiho,
> Wie kann man hier vorgehen?
indem man den Fundamentalsatz verwendet.
Was sagt dieser denn aus?
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:20 Do 10.12.2015 | | Autor: | Igor1 |
FDI sagt aus, daß wenn f eine Stammfunktion besitzt, dann kann man das Integral ausrechnen, indem man in die Stammfunktion Grenzen einsetzt und dann substrahiert.
Eine Stammfunktion von f wäre das unbestimmte Integral. Die Grenzen hängen aber von x ab ( f hängt auch von x ab).
Ich weiß nicht wie man FDI hier passend anwenden kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:25 Do 10.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> FDI sagt aus, daß wenn f eine Stammfunktion besitzt, dann
> kann man das Integral ausrechnen, indem man in die
> Stammfunktion Grenzen einsetzt und dann substrahiert.
>
> Eine Stammfunktion von f wäre das unbestimmte Integral.
> Die Grenzen hängen aber von x ab ( f hängt auch von x
> ab).
> Ich weiß nicht wie man FDI hier passend anwenden kann.
Mit FDI ist was anderes gemeint:
SATZ: Ist g:[a,b] [mm] \to \IR [/mm] stetig und h:[a,b] [mm] \to \IR [/mm] def. durch
[mm] h(u)=\integral_{\xi}^{u}{g(x) dx}
[/mm]
( [mm] \xi [/mm] fest in [a,b]), so ist h stetig differenzierbar und $h'=g$ auf [a,b].
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:33 Do 10.12.2015 | | Autor: | Igor1 |
FDI ist also der Satz über das unbestimmte Integral (a)?
Ich habe früher gedacht, daß FDI im Bezug auf das Ausrechnen eines Integral mit Stammfunktion gemeint ist (b). In Forster Analysis 1 steht unter FDI (b) .
In wikipedia unter FDI steht (a)+(b) .
Aber jetzt verstehe ich zumindest, was in der Aufgabe gemeint ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 Do 10.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> FDI ist also der Satz über das unbestimmte Integral (a)?
> Ich habe früher gedacht, daß FDI im Bezug auf das
> Ausrechnen eines Integral mit Stammfunktion gemeint ist
> (b). In Forster Analysis 1 steht unter FDI (b) .
> In wikipedia unter FDI steht (a)+(b) .
Das ist ja der Wahnsinn ! Ich stehe beim FBI unter (F).
>
> Aber jetzt verstehe ich zumindest, was in der Aufgabe
> gemeint ist.
Glückwunsch !
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:21 Do 10.12.2015 | | Autor: | fred97 |
Der Tipp vom Tutor ist goldrichtig.
Setze $ [mm] G(u,v,x):=\int_{u}^{v} f(x,y)\,dy [/mm] $ , eine Funktion von 3 Variablen.
Dann haben wir
$ [mm] \int_{\psi(x)}^{\phi(x)}f(x,y)\,dy=G(\psi(x), \phi(x),x) [/mm] $
Setze wir $F(x):= [mm] G(\psi(x), \phi(x),x)$, [/mm] so ist also $F'(x)$ zu bestimmen.
Das geht mit der mehrdimensionalen Kettenregel. Schreib das mal hin.
Dann solltest Du sehen, dass die partiellen Ableitungen [mm] G_u,G_v [/mm] und [mm] G_x [/mm] vorkommen.
Die partiellen Ableitungen [mm] G_u [/mm] und [mm] G_v [/mm] ergeben sich aus dem FDI.
Mach mal.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 Fr 11.12.2015 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
wie kann man zeigen, daß G differenzierbar ist ?
Die differenzierbarkeit von G braucht man hier, wenn man die Kettenregel anwenden möchte.
Gruß
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:12 Fr 11.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> wie kann man zeigen, daß G differenzierbar ist ?
Z.B. so: G ist partiell differenzierbar nach allen 3 Variablen und die partiellen Ableitungen (wie lauten denn die ??) sind stetig.
Dann besagt ein Satz (den Ihr sicher hattet), dass G differenzierbar ist.
FRED
> Die differenzierbarkeit von G braucht man hier, wenn man
> die Kettenregel anwenden möchte.
>
> Gruß
> Igor
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:33 Fr 11.12.2015 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
[mm] G_v [/mm] bzw. [mm] G_u [/mm] = f(x,v) bzw f(x,u) nach FDI .
Ich vermute, daß [mm] G_x=\int_{u}^{v} [/mm] d/dx [mm] f(x,y)\,dy [/mm] .
Wenn die Vermutung stimmt, muss man noch prüfen, ob die Voraussetzungen
für die Sätze über Differenzierbarkeit(Vertauschung von Ableitung und Integral) und stetige Abhängigkeit von Integralen erfüllt sind (um die Vermutung zu beweisen)
Gruß
Igor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:53 Fr 11.12.2015 | | Autor: | Igor1 |
Ich habe die Voraussetzungen geprüft. Sie sind erfüllt.
Mit der Kettenregel folgt die Behauptung.
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 So 13.12.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:48 Sa 12.12.2015 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | | Sei [mm] g:\IR->\IR [/mm] stetig differenzierbar. Zeigen Sie [mm] \int_{0}^{x}\int_{0}^{t} g(u)\, du\, [/mm] dt [mm] =\int_{0}^{x}(x-u)g(u)\, [/mm] du, indem Sie beide Seiten nach x differenzieren. |
Hallo,
ich habe die beiden Seiten nach x differenziert (dazu habe ich die ursprüngliche Frage verwendet), und es kam für beide Seiten [mm] \int_{0}^{x}g(u)\, [/mm] du raus.
Wie kann man daraus schließen, daß damit die Behauptung folgt?
Gruß
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:56 Sa 12.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]g:\IR->\IR[/mm] stetig differenzierbar. Zeigen Sie
> [mm]\int_{0}^{x}\int_{0}^{t} g(u)\, du\,[/mm] dt
> [mm]=\int_{0}^{x}(x-u)g(u)\,[/mm] du, indem Sie beide Seiten nach x
> differenzieren.
> Hallo,
>
> ich habe die beiden Seiten nach x differenziert (dazu habe
> ich die ursprüngliche Frage verwendet), und es kam für
> beide Seiten [mm]\int_{0}^{x}g(u)\,[/mm] du raus.
> Wie kann man daraus schließen, daß damit die Behauptung
> folgt?
Aus f'=g' folgt f=g +c mit eine Konstanten c
FRED
>
> Gruß
> Igor
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Sa 12.12.2015 | | Autor: | Igor1 |
Man möchte ja, daß f=g ist. Deshalb wäre es gut, wenn c=0 wäre.
Warum ist c=0 (falls c=0 ist) ?
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Hiho,
du weißt nun also: $g(x) = f(x) + c$ gilt für alle x. Insbesondere für x=0
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:24 Sa 12.12.2015 | | Autor: | Igor1 |
Danke
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