Ableitung(en) - Funktionsschar < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Leiten sie folgende Funktion drei mal ab: [mm] f_{a}(x)=5xe^-^a^x^{^2}, [/mm] a [mm] \in \IR^{\not=0} [/mm] (Wobei gilt: e=eulersche Zahl, a=konstanter Faktor) |
Hallo Liebe Forum-Mitglieder,
und zwar hab ich Probleme beim Ableiten der o.g. Funktion.
Meine Rechnung:
Produktregel anwenden: u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)
Dabei gilt: u(x) = 5x und v(x)= [mm] e^-^a^x^{^2}
[/mm]
u'(x)= 5;
v'(x)= ?; Kettenregel anwenden.
u(v(x))=u'(v(x)) * v'(x)
u(x)= [mm] e^x
[/mm]
[mm] u'(x)=e^x
[/mm]
[mm] v(x)=e^-^a^x^{^2}
[/mm]
v'(x)= -2ax * [mm] e^-^a^x^{^2}
[/mm]
So, nun die Produktregel anwenden:
[mm] f_{a}'(x)= [/mm] 5 * [mm] e^-^a^x^{^2} [/mm] + 5x * (-2ax [mm] *e^-^a^x^{^2})
[/mm]
= 5 * [mm] e^-^a^x^{^2} [/mm] - [mm] 10ax^2 [/mm] * [mm] (5xe^-^a^x^{^2})
[/mm]
= [mm] e^-^a^x^{^2} [/mm] * (5+5x) * [mm] (-10ax^2)
[/mm]
Das ist mein Ergebnis, aber laut Lösung soll es sein:
[mm] f_{a}'(x)= 10a(x^2-\bruch{1}{2a})*e^-^a^x^{^2}
[/mm]
Ich komm aber nicht drauf -.-
Würd mich freuen, wenn ihr mir helfen könntet.
Grüße,
unknownuser
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und herzlich willkommen hier im Forum
> Leiten sie folgende Funktion drei mal ab:
> [mm]f_{a}(x)=5xe^-^a^x^{^2},[/mm] a [mm]\in \IR^{\not=0}[/mm] (Wobei gilt:
> e=eulersche Zahl, a=konstanter Faktor)
>
> Hallo Liebe Forum-Mitglieder,
>
> und zwar hab ich Probleme beim Ableiten der o.g. Funktion.
>
> Meine Rechnung:
>
> Produktregel anwenden: u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)
>
> Dabei gilt: u(x) = 5x und v(x)= [mm]e^-^a^x^{^2}[/mm]
>
> u'(x)= 5;
> v'(x)= ?; Kettenregel anwenden.
>
> u(v(x))=u'(v(x)) * v'(x)
>
> u(x)= [mm]e^x[/mm]
> [mm]u'(x)=e^x[/mm]
> [mm]v(x)=e^-^a^x^{^2}[/mm]
> v'(x)= -2ax * [mm]e^-^a^x^{^2}[/mm]
> So, nun die Produktregel anwenden:
>
> [mm]f_{a}'(x)=[/mm] 5 * [mm]e^-^a^x^{^2}[/mm] + 5x * (-2ax [mm]*e^-^a^x^{^2})[/mm]
> = 5 * [mm]e^-^a^x^{^2}[/mm] - [mm]10ax^2[/mm] * [mm](5xe^-^a^x^{^2})[/mm]
Der hintere Term stimmt so nicht, denn von der Zeile drüber zu dieser ergibt der hintere Term [mm] -10ax^2*e^{-a*x^2}
[/mm]
Dann kannst du auch die Terme zusammenfassen und du bekommst das richtige Ergebnis.
> = [mm]e^-^a^x^{^2}[/mm] * (5+5x) * [mm](-10ax^2)[/mm]
>
> Das ist mein Ergebnis, aber laut Lösung soll es sein:
>
> [mm]f_{a}'(x)= 10a(x^2-\bruch{1}{2a})*e^-^a^x^{^2}[/mm]
>
> Ich komm aber nicht drauf -.-
>
> Würd mich freuen, wenn ihr mir helfen könntet.
>
> Grüße,
>
> unknownuser
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
TheBozz-mismo
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Erstmal Vielen Dank an "TheBozz-mismo" für die schnelle Antwort.
[mm] f_{a}(x)= 5*e^-^a^x^{^2} [/mm] + [mm] 5x*(-2ax*e^-^a^x^{^2})
[/mm]
= [mm] 5*e^-^a^x^{^2} [/mm] - [mm] 10ax^2*e^-^a^x^{^2}
[/mm]
= [mm] e^-^a^x^{^2} [/mm] * [mm] (5-10ax^2)
[/mm]
ich würde es eigentlich soweit zusammenfassen, mehr nicht.
Mir ist es aber immer noch ein Rätsel, wie man auf [mm] f_{a}'(x)=10a(x^2-\bruch{1}{2a})* e^-^a^x^{^2} [/mm] kommt... besonders nicht wie man auf [mm] \bruch{1}{2a} [/mm] innerhalb der Klammer kommt.
Grüße
unknownuser
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Hallo unknownuser,
> Erstmal Vielen Dank an "TheBozz-mismo" für die schnelle
> Antwort.
>
> [mm]f_{a}(x)= 5*e^-^a^x^{^2}[/mm] + [mm]5x*(-2ax*e^-^a^x^{^2})[/mm]
>
> = [mm]5*e^-^a^x^{^2}[/mm] - [mm]10ax^2*e^-^a^x^{^2}[/mm]
>
> = [mm]e^-^a^x^{^2}[/mm] * [mm](5-10ax^2)[/mm]
>
> ich würde es eigentlich soweit zusammenfassen, mehr
> nicht.
>
> Mir ist es aber immer noch ein Rätsel, wie man auf
> [mm]f_{a}'(x)=10a(x^2-\bruch{1}{2a})* e^-^a^x^{^2}[/mm] kommt...
> besonders nicht wie man auf [mm]\bruch{1}{2a}[/mm] innerhalb der
> Klammer kommt.
>
Es ist doch [mm]5=10a*\bruch{1}{2a}[/mm]
> Grüße
> unknownuser
Gruss
MathePower
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> Hallo unknownuser,
>
> > Erstmal Vielen Dank an "TheBozz-mismo" für die schnelle
> > Antwort.
> >
> > [mm]f_{a}(x)= 5*e^-^a^x^{^2}[/mm] + [mm]5x*(-2ax*e^-^a^x^{^2})[/mm]
> >
> > = [mm]5*e^-^a^x^{^2}[/mm] - [mm]10ax^2*e^-^a^x^{^2}[/mm]
> >
> > = [mm]e^-^a^x^{^2}[/mm] * [mm](5-10ax^2)[/mm]
> >
> > ich würde es eigentlich soweit zusammenfassen, mehr
> > nicht.
> >
> > Mir ist es aber immer noch ein Rätsel, wie man auf
> > [mm]f_{a}'(x)=10a(x^2-\bruch{1}{2a})* e^-^a^x^{^2}[/mm] kommt...
> > besonders nicht wie man auf [mm]\bruch{1}{2a}[/mm] innerhalb der
> > Klammer kommt.
> >
>
>
> Es ist doch [mm]5=10a*\bruch{1}{2a}[/mm]
1. Wie kommt man da drauf?
2. Wo bleibt das x?
Tut mir leid, aber ich verstehe es nicht..
>
>
> > Grüße
> > unknownuser
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo nochmal
Wir haben [mm] e^{-a*x^2}*(5-10ax^2)
[/mm]
Jetzt klammerst du 10a in der Klammer aus
[mm] =>(5*\underbrace{\bruch{10a}{10a}}_{=1}-10a*x^2)
[/mm]
[mm] =10a(\bruch{5}{10a}-x^2)
[/mm]
[mm] =10a*(\bruch{1}{2a}-x^2)
[/mm]
In der Lösung ist wohl das Vorzeichen falsch(oder ich hab ein Vorzeichenfehler drin), aber sonst stimmt es ja und generell finde ich diesen Rechenschritt bzw. die Umformung extrem unnötig.
Ich würde es einfach so stehen lassen wie in der 1. Zeile von meinem Post
Gruß
TheBozz-mismo
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Danke dir, genau das wollte ich wissen, das beides eigentlich dasselbe ist. mit der umformung will unser lehrer uns bestimmt nur herausfordern, sonst seh ich auch keinen sinn das weiter umzuformen.
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So, die 3 Ableitungen habe ich jetzt bestimmt. Würd mich freuen wenn jemand es auf Korrektheit überprüfen könnte.
[mm] f_{a}(x)=5x*e^-^a^x^{^2}
[/mm]
[mm] f_{a}'(x)=e^-^a^x^{^2}*(5-10ax^2)
[/mm]
[mm] f_{a}''(x)=e^-^a^x^{^2}*(-30ax+20a^2x^3)
[/mm]
[mm] f_{a}'''(x)=e^-^a^x^{^2}*(40a^3x^4-30a)
[/mm]
So, nun sollen Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen berechnet werden.
NULLSTELLEN:
[mm] f_{a}(x)=0
[/mm]
[mm] f_{a}(x)=5x*e^-^a^x^{^2}
[/mm]
[mm] 5x*e^-^a^x^{^2}=0
[/mm]
für [mm] e^-^a^x^{^2}=0 [/mm] gilt, die e-Funktion kann nie 0 werden.
für 5x=0 gilt, x=0
Also: NS (0|0)
EXTREMSTELLEN:
(1)
[mm] f_{a}'(x)=0
[/mm]
[mm] f_{a}'(x)=e^-^a^x^{^2}*(5-10ax^2)
[/mm]
[mm] e^-^a^x^{^2}*(5-10ax^2)=0
[/mm]
für [mm] f_{a}'(x)=e^-^a^x^{^2}=0 [/mm] gilt, die e-Funktion kann nie 0 werden.
für [mm] 5-10ax^2=0 [/mm] gilt, [mm] x_{1,2}= \pm\wurzel{\bruch{1}{2a}}
[/mm]
weil:
[mm] 5-10ax^2=0
[/mm]
[mm] 5=10ax^2 [/mm]
[mm] =\bruch{5}{10a}=x^2
[/mm]
[mm] =\wurzel{\bruch{5}{10a}}
[/mm]
[mm] =\wurzel{\bruch{1}{2a}}
[/mm]
(2)
[mm] f_{a}''(x)\not=0
[/mm]
[mm] f_{a}''(x)=e^-^a^x^{^2}*(-30ax+20a^2x^3)
[/mm]
[mm] f_{a}''(\wurzel{\bruch{1}{2a}})=e^-^a*(^{\wurzel{\bruch{1}{2a}}})^{^2}*(-30a*\wurzel{\bruch{1}{2a}}+20a^2*(\wurzel{\bruch{1}{2a}})^3)
[/mm]
So an dieser Stelle, weiß ich leider nicht, wie ich den Term vereinfachen soll.. Aber eine Vereinfachung ist ja zwingend erforderlich um eine Aussage darüber zu machen, falls wenn eine Extremstelle vorliegt, ob es sich bei dieser Extremstelle um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt (>0 oder <0). Über hilfreiche Tipps und Lösungsansätze würde ich mich freuen.
Grüße
unknownuser
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Hallo unknownuser,
> So, die 3 Ableitungen habe ich jetzt bestimmt. Würd mich
> freuen wenn jemand es auf Korrektheit überprüfen
> könnte.
>
> [mm]f_{a}(x)=5x*e^-^a^x^{^2}[/mm]
>
> [mm]f_{a}'(x)=e^-^a^x^{^2}*(5-10ax^2)[/mm]
>
> [mm]f_{a}''(x)=e^-^a^x^{^2}*(-30ax+20a^2x^3)[/mm]
>
> [mm]f_{a}'''(x)=e^-^a^x^{^2}*(40a^3x^4-30a)[/mm]
>
Die 3. Ableitung musst Du nochmal nachrechnen.
> So, nun sollen Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen
> berechnet werden.
>
> NULLSTELLEN:
>
> [mm]f_{a}(x)=0[/mm]
> [mm]f_{a}(x)=5x*e^-^a^x^{^2}[/mm]
> [mm]5x*e^-^a^x^{^2}=0[/mm]
>
> für [mm]e^-^a^x^{^2}=0[/mm] gilt, die e-Funktion kann nie 0
> werden.
> für 5x=0 gilt, x=0
>
> Also: NS (0|0)
>
> EXTREMSTELLEN:
> (1)
> [mm]f_{a}'(x)=0[/mm]
> [mm]f_{a}'(x)=e^-^a^x^{^2}*(5-10ax^2)[/mm]
> [mm]e^-^a^x^{^2}*(5-10ax^2)=0[/mm]
>
> für [mm]f_{a}'(x)=e^-^a^x^{^2}=0[/mm] gilt, die e-Funktion kann nie
> 0 werden.
> für [mm]5-10ax^2=0[/mm] gilt, [mm]x_{1,2}= \pm\wurzel{\bruch{1}{2a}}[/mm]
>
> weil:
> [mm]5-10ax^2=0[/mm]
> [mm]5=10ax^2[/mm]
> [mm]=\bruch{5}{10a}=x^2[/mm]
> [mm]=\wurzel{\bruch{5}{10a}}[/mm]
> [mm]=\wurzel{\bruch{1}{2a}}[/mm]
>
> (2)
> [mm]f_{a}''(x)\not=0[/mm]
> [mm]f_{a}''(x)=e^-^a^x^{^2}*(-30ax+20a^2x^3)[/mm]
>
> [mm]f_{a}''(\wurzel{\bruch{1}{2a}})=e^-^a*(^{\wurzel{\bruch{1}{2a}}})^{^2}*(-30a*\wurzel{\bruch{1}{2a}}+20a^2*(\wurzel{\bruch{1}{2a}})^3)[/mm]
>
> So an dieser Stelle, weiß ich leider nicht, wie ich den
> Term vereinfachen soll.. Aber eine Vereinfachung ist ja
> zwingend erforderlich um eine Aussage darüber zu machen,
> falls wenn eine Extremstelle vorliegt, ob es sich bei
> dieser Extremstelle um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt
> handelt (>0 oder <0). Über hilfreiche Tipps und
> Lösungsansätze würde ich mich freuen.
>
Es ist
[mm](\wurzel{\bruch{1}{2a}})^3)=\wurzel{\bruch{1}{\left(2a\right)^{3}}}=\wurzel{\bruch{1}{\left(2a\right)^{2}*2a}}=\wurzel{\bruch{1}{\left(2a\right)^{2}}}\wurzel{\bruch{1}{2a}}=\bruch{1}{2a}\wurzel{\bruch{1}{2a}}[/mm]
> Grüße
> unknownuser
>
Gruss
MathePower
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Nachrechnung der 3.Ableitung:
[mm] f_{a}''(x)=e^-^a^x^{^2}*(-30ax+20a^2x^3)
[/mm]
Also: Produktregel anwenden.
[mm] u(x)=e^-^a^x^{^2}
[/mm]
[mm] u'(x)=2axe^-^a^x^{^2}
[/mm]
[mm] v(x)=-30ax+20a^2x^3
[/mm]
[mm] v'(x)=-30a+60a^2x^2 [/mm]
= [mm] 2axe^-^a^x^{^2}*(-30ax+20a^2x^3)+e^-^a^x^{^2}*(-30a+60a^2x^2)
[/mm]
= [mm] -60a^2x^2*e^-^a^x^{^2}+40a^3x^4*e^-^a^x^{^2}-30ae^-^a^x^{^2}+60a^2x2*e^-^a^x^{^2}
[/mm]
= [mm] e^-^a^x^{^2}*(-60a^2x^2+40a^3x^4-30a+60a^2x^2)
[/mm]
= [mm] e^-^a^x^{^2}*(40a^3x^4-30a)
[/mm]
[mm] f_{a}'''(x)=e^-^a^x^{^2}*(40a^3x^4-30a)
[/mm]
Wo ist denn der Fehler in der Rechnung??
zurück zu den EXTREMSTELLEN:
(1)
[mm] f_{a}'(x)=0
[/mm]
[mm] f_{a}'(x)=e^-^a^x^{^2}*(5-10ax^2)
[/mm]
[mm] e^-^a^x^{^2}*(5-10ax^2)=0
[/mm]
für [mm] f_{a}'(x)=e^-^a^x^{^2}=0 [/mm] gilt, die e-Funktion kann nie 0 werden.
für [mm] 5-10ax^2=0 [/mm] gilt, [mm] x_{1,2}= \pm\wurzel{\bruch{1}{2a}}
[/mm]
weil:
[mm] 5-10ax^2=0
[/mm]
[mm] 5=10ax^2 [/mm]
[mm] =\bruch{5}{10a}=x^2
[/mm]
[mm] =\wurzel{\bruch{5}{10a}}
[/mm]
[mm] =\wurzel{\bruch{1}{2a}}
[/mm]
(2)
[mm] f_{a}''(x)\not=0
[/mm]
[mm] f_{a}''(x)=e^-^a^x^{^2}*(-30ax+20a^2x^3)
[/mm]
[mm] f_{a}''(\wurzel{\bruch{1}{2a}})=e^-^a*(^{\wurzel{\bruch{1}{2a}}})^{^2}*(-30a*\wurzel{\bruch{1}{2a}}+20a^2*(\wurzel{\bruch{1}{2a}})^3)
[/mm]
= [mm] e^-^\bruch{1}{2a}*(-30a*\wurzel{\bruch{1}{2a}}+20a^2*\bruch{1}{2a}*\wurzel{\bruch{1}{2a}})
[/mm]
= [mm] e^-^\bruch{1}{2a}*(-30a*\wurzel{\bruch{1}{2a}}+10a*\wurzel{\bruch{1}{2a}})
[/mm]
= [mm] e^-^\bruch{1}{2a}*(-20a*\wurzel{\bruch{1}{2a}})
[/mm]
Wenn die Vereinfachung denn soweit richtig ist (was ich warum auch immer bezweifle), wie kann ich jetzt eine aussage darüber machen ob dieser term <0 oder >0 ist.
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Hallo unknownuser,
> Nachrechnung der 3.Ableitung:
>
> [mm]f_{a}''(x)=e^-^a^x^{^2}*(-30ax+20a^2x^3)[/mm]
>
> Also: Produktregel anwenden.
>
> [mm]u(x)=e^-^a^x^{^2}[/mm]
> [mm]u'(x)=2axe^-^a^x^{^2}[/mm]
>
> [mm]v(x)=-30ax+20a^2x^3[/mm]
> [mm]v'(x)=-30a+60a^2x^2[/mm]
>
> =
> [mm]2axe^-^a^x^{^2}*(-30ax+20a^2x^3)+e^-^a^x^{^2}*(-30a+60a^2x^2)[/mm]
>
Hier muss es doch lauten:
[mm]\red{-}2axe^-^a^x^{^2}*(-30ax+20a^2x^3)+e^-^a^x^{^2}*(-30a+60a^2x^2)[/mm]
> =
> [mm]-60a^2x^2*e^-^a^x^{^2}+40a^3x^4*e^-^a^x^{^2}-30ae^-^a^x^{^2}+60a^2x2*e^-^a^x^{^2}[/mm]
>
> = [mm]e^-^a^x^{^2}*(-60a^2x^2+40a^3x^4-30a+60a^2x^2)[/mm]
>
> = [mm]e^-^a^x^{^2}*(40a^3x^4-30a)[/mm]
>
> [mm]f_{a}'''(x)=e^-^a^x^{^2}*(40a^3x^4-30a)[/mm]
>
> Wo ist denn der Fehler in der Rechnung??
>
> zurück zu den EXTREMSTELLEN:
> (1)
> [mm]f_{a}'(x)=0[/mm]
> [mm]f_{a}'(x)=e^-^a^x^{^2}*(5-10ax^2)[/mm]
> [mm]e^-^a^x^{^2}*(5-10ax^2)=0[/mm]
>
> für [mm]f_{a}'(x)=e^-^a^x^{^2}=0[/mm] gilt, die e-Funktion kann nie
> 0 werden.
> für [mm]5-10ax^2=0[/mm] gilt, [mm]x_{1,2}= \pm\wurzel{\bruch{1}{2a}}[/mm]
>
> weil:
> [mm]5-10ax^2=0[/mm]
> [mm]5=10ax^2[/mm]
> [mm]=\bruch{5}{10a}=x^2[/mm]
> [mm]=\wurzel{\bruch{5}{10a}}[/mm]
> [mm]=\wurzel{\bruch{1}{2a}}[/mm]
>
Das sind die Extremstellen für a > 0.
> (2)
> [mm]f_{a}''(x)\not=0[/mm]
> [mm]f_{a}''(x)=e^-^a^x^{^2}*(-30ax+20a^2x^3)[/mm]
>
> [mm]f_{a}''(\wurzel{\bruch{1}{2a}})=e^-^a*(^{\wurzel{\bruch{1}{2a}}})^{^2}*(-30a*\wurzel{\bruch{1}{2a}}+20a^2*(\wurzel{\bruch{1}{2a}})^3)[/mm]
>
> =
> [mm]e^-^\bruch{1}{2a}*(-30a*\wurzel{\bruch{1}{2a}}+20a^2*\bruch{1}{2a}*\wurzel{\bruch{1}{2a}})[/mm]
>
> =
> [mm]e^-^\bruch{1}{2a}*(-30a*\wurzel{\bruch{1}{2a}}+10a*\wurzel{\bruch{1}{2a}})[/mm]
>
> = [mm]e^-^\bruch{1}{2a}*(-20a*\wurzel{\bruch{1}{2a}})[/mm]
>
Hier muss doch stehen:
[mm]e^{\blue{-\bruch{1}{2}}}*(-20a*\wurzel{\bruch{1}{2a}})[/mm]
,da
[mm]a*\left(\wurzel{\bruch{1}{2a}}\right)^{2}=a*\bruch{1}{2a}=\bruch{1}{2}[/mm]
> Wenn die Vereinfachung denn soweit richtig ist (was ich
> warum auch immer bezweifle), wie kann ich jetzt eine
> aussage darüber machen ob dieser term <0 oder >0 ist.
Nun, da a > 0 ist, ist der ganze Term ...
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower,
vielen vielen Dank für deine Tipps!
Also:
[mm] f_{a}'''(x)=e^-^a^x^{^2}*(120a^2x^2-40a^3x^4-30a)
[/mm]
und
[mm] e^-^\bruch{1}{2}*(-20a*\wurzel{\bruch{1}{2a}}
[/mm]
weil a>0 (wegen Wurzel), ist der ganze Term doch <0 oder?
[mm] e^-^\bruch{1}{2} [/mm] ist positiv; mal etwas negatives (-20*a) ist doch negativ oder?
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Hallo unknownuser,
> Hallo MathePower,
>
> vielen vielen Dank für deine Tipps!
>
> Also:
> [mm]f_{a}'''(x)=e^-^a^x^{^2}*(120a^2x^2-40a^3x^4-30a)[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und
>
> [mm]e^-^\bruch{1}{2}*(-20a*\wurzel{\bruch{1}{2a}}[/mm]
>
> weil a>0 (wegen Wurzel), ist der ganze Term doch <0 oder?
>
Ja.
> [mm]e^-^\bruch{1}{2}[/mm] ist positiv; mal etwas negatives (-20*a)
> ist doch negativ oder?
Richtig.
Gruss
MathePower
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Suuper!! Danke!!
ABER:
In der Lösung für die Aufgabe steht allerdings:
[mm] f_{a}''(\bruch{1}{2}*\wurzel{\bruch{2}{a}})=10*\wurzel{\bruch{2a}{e}} [/mm] > 0, TP [mm] (\bruch{1}{2a}*\wurzel{\bruch{2}{a}}|-\bruch{5}{2}*\wurzel{\bruch{2}{ae}})
[/mm]
und
[mm] f_{a}''(-\bruch{1}{2}*\wurzel{\bruch{2}{a}})=-10*\wurzel{\bruch{2a}{e}} [/mm] < 0, HP [mm] (\bruch{1}{2a}*\wurzel{\bruch{2}{a}}|\bruch{5}{2}*\wurzel{\bruch{2}{ae}})
[/mm]
Mit unserer Lösung stimmt es nicht überein.. Wer hat Recht? :D
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Hallo unknownuser,
> Suuper!! Danke!!
>
> ABER:
>
> In der Lösung für die Aufgabe steht allerdings:
>
> [mm]f_{a}''(\bruch{1}{2}*\wurzel{\bruch{2}{a}})=10*\wurzel{\bruch{2a}{e}}[/mm]
> > 0, TP
> [mm](\bruch{1}{2a}*\wurzel{\bruch{2}{a}}|-\bruch{5}{2}*\wurzel{\bruch{2}{ae}})[/mm]
>
> und
>
> [mm]f_{a}''(-\bruch{1}{2}*\wurzel{\bruch{2}{a}})=-10*\wurzel{\bruch{2a}{e}}[/mm]
> < 0, HP
> [mm](\bruch{1}{2a}*\wurzel{\bruch{2}{a}}|\bruch{5}{2}*\wurzel{\bruch{2}{ae}})[/mm]
>
> Mit unserer Lösung stimmt es nicht überein.. Wer hat
> Recht? :D
Bisher ist nur der Kandidat [mm]\wurzel{\bruch{1}{2a}}[/mm]
auf die Art des Extremas geprüft worden.
Daher ist für den Kandidaten [mm]-\wurzel{\bruch{1}{2a}}[/mm]
noch die Art des Extremas charakterisieren.
Gruss
MathePower
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HaLLo MathePower,
ich wollte eigentlich nur darauf hinweisen, dass wir für [mm] f_{a}''(\wurzel{\bruch{1}{2a}}) [/mm] <0 haben. Das ist aber ein Widerspruch zu dem was im Lösungsteil des Buches steht, nämlich [mm] f_{a}''(\wurzel{\bruch{1}{2a}}) [/mm] >0
Gruß,
unknownuser
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Hallo unknownuser,
> HaLLo MathePower,
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> ich wollte eigentlich nur darauf hinweisen, dass wir für
> [mm]f_{a}''(\wurzel{\bruch{1}{2a}})[/mm] <0 haben. Das ist aber ein
> Widerspruch zu dem was im Lösungsteil des Buches steht,
> nämlich [mm]f_{a}''(\wurzel{\bruch{1}{2a}})[/mm] >0
>
Die erarbeitete Lösung ist schon die richtige.
Dann hat sich im Lösungsteil des Buches ein Fehler eingeschlichen.
> Gruß,
> unknownuser
Gruss
MathePower
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Hallo noch einmal,
So, ich habe nun berechnet:
[mm] TP(-\wurzel{\bruch{1}{2a}}|e^-^\bruch{1}{2}*5*(-\wurzel{\bruch{1}{2a}})
[/mm]
[mm] HP(\wurzel{\bruch{1}{2a}}|e^-^\bruch{1}{2}*5*(\wurzel{\bruch{1}{2a}})
[/mm]
[mm] WP_{1}(\wurzel{\bruch{3}{2a}}|e^-^\bruch{3}{2}*5*(\wurzel{\bruch{3}{2a}})
[/mm]
[mm] WP_{2}(-\wurzel{\bruch{3}{2a}}|e^-^\bruch{3}{2}*5*(-\wurzel{\bruch{3}{2a}})
[/mm]
[mm] WP_{3}(0|0)
[/mm]
Nun soll zunächst einmal die Ortskurve der Tiefpunkte ermittelt werden.
also:
[mm] x=-\wurzel{\bruch{1}{2a}}
[/mm]
[mm] y=e^-^\bruch{1}{2}*5*(-\wurzel{\bruch{1}{2a}})
[/mm]
Die Vorgehensweise lautet:
•Den X-Wert des Extremwerts nach der Formvariable umstellen
aber wie ? ich weiß gar nicht mehr weiter, über hilfreiche Tipps würde ich mich freuen!
Gruß
unknownuser
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:28 So 19.02.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast also die Tiefpunkte:
(Die Rechnung dazu habe ich nicht kontrolliert)
[mm] T_{a}\left(-\sqrt{\frac{1}{2a}};-5e^{-\frac{1}{2}}\sqrt{\frac{1}{2a}}\right) [/mm]
Also gilt:
[mm] x_{t}=-\sqrt{\frac{1}{2a}}
[/mm]
Löse diese Gleichung nach a auf.
Setze danach diesen Ausdruck für a in
[mm] y_{t}=-5e^{-\frac{1}{2}}\sqrt{\frac{1}{2a}}
[/mm]
ein, und du hast deine Ortskurve. Fasse den entstehenden Term dann noch weitestgehend zusammen.
Marius
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Hallo M.Rex
Also:
[mm] x=-\wurzel{\bruch{1}{2a}}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x = [mm] 2a^-^\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{x}{2}=a^-^\bruch{1}{2}
[/mm]
Was muss ich jetzt rechnen, damit ich auf a komme?
Gruß,
unknownuser
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:44 So 19.02.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo M.Rex
>
> Also:
>
>
> [mm]x=-\wurzel{\bruch{1}{2a}}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] x = [mm]2a^-^\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{x}{2}=a^-^\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Was muss ich jetzt rechnen, damit ich auf a komme?
>
> Gruß,
> unknownuser
Diese sehr einfachen Umformungen sollten im Mathe-LK eingentlich kein Problem sein.
[mm] $x=-\wurzel{\bruch{1}{2a}}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow x^{2}=\bruch{1}{2a}$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow 2ax^{2}=1$
[/mm]
Den Rest schaffst du jetzt sicherlich selber.
Marius
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Hallo Marius,
> Diese sehr einfachen Umformungen sollten im Mathe-LK
> eingentlich kein Problem sein.
Da hast du absolut recht. Aber einfache Logarithmusgesetze, Wurzelgesetze, Potenzgesetze und Bruchregeln können bei mir schnell zu einem Problem werden. Wenn du gute Seiten mit sinnvolle Aufgaben (+inklusive Lösungen) zum Üben kennst wäre es super.
>
> [mm]x=-\wurzel{\bruch{1}{2a}}[/mm]
> [mm]\Rightarrow x^{2}=\bruch{1}{2a}[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow 2ax^{2}=1[/mm]
>
> Den Rest schaffst du jetzt sicherlich selber.
>
> Marius
>
Hoffe ich mal, also:
[mm] x=-\wurzel{\bruch{1}{2a}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow x^{2}=\bruch{1}{2a}
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow 2ax^{2}=1
[/mm]
[mm] 2a=\bruch{1}{x^2}
[/mm]
[mm] a=\bruch{1}{2x^2}
[/mm]
in y einsetzen:
[mm] y=e^-^\bruch{1}{2}*5*(\wurzel{\bruch{1}{2*\bruch{1}{2x^2}}})
[/mm]
[mm] y=e^-^\bruch{1}{2}*5*(\wurzel{\bruch{1}{\bruch{1}{x^2}}})
[/mm]
[mm] y=e^-^\bruch{1}{2}*5*(\wurzel{1*\bruch{x^2}{1}})
[/mm]
[mm] y=e^-^\bruch{1}{2}*5*(\wurzel{x^2})
[/mm]
[mm] y=e^-^\bruch{1}{2}*5*x
[/mm]
Gruß,
unknownuser
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Hallo,
> Hallo
> Dazu schau mal bei
> ![[]](/images/popup.gif) poenitz-net
> oder bei F.Strobl
> vorbei.
Danke für den Tipp, werde ich machen.
> > Hoffe ich mal, also:
> >
> > [mm]x=-\wurzel{\bruch{1}{2a}}[/mm]
> >
> > [mm]\Rightarrow x^{2}=\bruch{1}{2a}[/mm]
> >
> > [mm]\Leftrightarrow 2ax^{2}=1[/mm]
> >
> > [mm]2a=\bruch{1}{x^2}[/mm]
> >
> > [mm]a=\bruch{1}{2x^2}[/mm]
> >
> > in y einsetzen:
> >
> >
> [mm]y=e^-^\bruch{1}{2}*5*(\wurzel{\bruch{1}{2*\bruch{1}{2x^2}}})[/mm]
> >
> > [mm]y=e^-^\bruch{1}{2}*5*(\wurzel{\bruch{1}{\bruch{1}{x^2}}})[/mm]
> >
> > [mm]y=e^-^\bruch{1}{2}*5*(\wurzel{1*\bruch{x^2}{1}})[/mm]
> >
> > [mm]y=e^-^\bruch{1}{2}*5*(\wurzel{x^2})[/mm]
> >
> > [mm]y=e^-^\bruch{1}{2}*5*x[/mm]
>
> Fast:
>
> [mm]\sqrt{x^{2}}=|x|[/mm]
>
> Also ist die Ortskurve.
>
> [mm]$y_{t}=5e^{-\frac{1}{2}}\cdot|x|[/mm]
Achso Ok. Aber nochmal zum Verständnis: Durch den Betrag von [mm] x^2 [/mm] wird [mm] \pm [/mm] x ausgeschlossen, also es wird nur das positive x betrachtet?
>
> Marius
>
Gruß,
unknownuser
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:25 So 19.02.2012 | | Autor: | M.Rex |
> >
> > Fast:
> >
> > [mm]\sqrt{x^{2}}=|x|[/mm]
> >
> > Also ist die Ortskurve.
> >
> > [mm]$y_{t}=5e^{-\frac{1}{2}}\cdot|x|[/mm]
>
> Achso Ok. Aber nochmal zum Verständnis: Durch den Betrag
> von [mm]x^2[/mm] wird [mm]\pm[/mm] x ausgeschlossen, also es wird nur das
> positive x betrachtet?
Das Promlen ist, dass das Quadrieren ein evtl vorhandenes Minus vor der Zahl x "herauskillt", lässt man den Betrag nun weg, bekäme man z.B
[mm] \sqrt{(-2)^{2}}=\sqrt{4}=2
[/mm]
Aber [mm] -2\ne2
[/mm]
Daher setzt man das Ergebnis der Wurzel in den Betrag, oder schreibt, wenn man nicht weiterrechnen muss:
[mm] \sqrt{4}=\pm2
[/mm]
Marius
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