Ableitung gleich Funktion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass es außer der konstanten Funktion [mm] $\tilde{0}$ [/mm] keine rationale Funktion $f$ mit $f' = f$ geben kann. |
Hallo,
meine bisherige Überlegung hierzu ist, dass man $f$ als [mm] $\frac{p}{q}$ [/mm] schreiben kann, wobei $Grad(p) = m$ und $Grad(q) = n$. Wir haben also eine Funktion mit einem Polynom vom Grad $m$ im Zähler und einem Polynom vom Grad $n$ im Nenner. Die Ableitung ist ein Polynom mit Grad höchstens $m + n - 1$ im Zähler und Grad $2n$ im Nenner.
Aber reicht das schon als Beweis, dass $f' [mm] \not= [/mm] f$?
Danke und Gruß,
Martin
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Hiho,
> Wir haben also eine Funktion mit einem Polynom vom Grad [mm]m[/mm]
> im Zähler und einem Polynom vom Grad [mm]n[/mm] im Nenner. Die
> Ableitung ist ein Polynom mit Grad höchstens [mm]m + n - 1[/mm] im
> Zähler und Grad [mm]2n[/mm] im Nenner.
> Aber reicht das schon als Beweis, dass [mm]f' \not= f[/mm]?
Nö, der Bruch kann ja trotzdem noch dasselbe sein, oder nicht?
Tipp: Schreibe mal $f'$ aus wenn $f = [mm] \frac{p}{q}$ [/mm] und stelle dann die Gleichung $f' = f$ dann so um, dass du ein Ausdruck erhältst der Form "Polynom = 0"
Begründe nun.
Gruß,
Gono
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Hallo,
also wenn ich keinen Fehler gemacht habe, dann handelt es sich um diese Gleichung:
[mm] $\frac{(\sum \limits_{i = 0}^{m} a_ix^{i})(\sum \limits_{i = 0}^{n} \sum \limits_{j = 0}^{n} b_i b_j x^{i + j})}{(\sum \limits_{i = 0}^{n} b_ix^{i})((\sum \limits_{i = 1}^{m} \sum \limits_{j = 0}^{n} i a_i b_j x^{i + j - 1}) - (\sum \limits_{i = 1}^{n} \sum \limits_{j = 0}^{m} i b_i a_j x^{i + j - 1}))} [/mm] = 1$
...wobei $f(x) = [mm] \frac{p(x)}{q(x)}$
[/mm]
und $p(x) = [mm] \sum \limits_{i = 0}^{m} a_i x^i$ [/mm] und $q(x) = [mm] \sum \limits_{i = 0}^{n} b_i x^i$
[/mm]
Aber wieso könnne Zähler und Nenner nicht gleich sein?
Gruß und Danke,
Martin
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:58 Mi 25.11.2020 | | Autor: | fred97 |
Ich würde so vorgehen. Sei $ f(x) = [mm] \frac{p(x)}{q(x)} [/mm] $, wobei $p$ ein Polynom mit Grad $m$ und $q$ ein Polynom mit Grad $n$ ist.
Weiter sei $N$ die Menge der Nullstellen von $q$.
Es ist
$f'= [mm] \frac{p'q-pq'}{q^2}$.
[/mm]
Aus $f=f'$ folgt
[mm] $\frac{p'q-pq'}{q^2}=\frac{p}{q}=\frac{pq}{q^2}$
[/mm]
Alle bisherigen Gleichungen gelten auf $ [mm] \IR \setminus [/mm] N.$ Multiplizieren wir mit [mm] q^2 [/mm] durch, so liefert dies:
$p'q-pq'=pq$ auf $ [mm] \IR \setminus [/mm] N.$ Da $N$ endlich ist und die Funktionen $p'q-pq'$ und $pq$ stetig sind, haben wir
$p'q-pq'=pq$ auf $ [mm] \IR.$
[/mm]
Wir stellen um und erhalten
$(+) [mm] \quad [/mm] (p'-p)q=pq'$ auf [mm] \IR.
[/mm]
Die Polynome links und rechts in $(+)$ haben also denselben Grad. Das ist aber nicht der Fall.
Welchen Grad hat $(p'-p)q$ ? Und welchen grad hat $pq'$ ?
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Hallo,
mich würde aber nach wie vor interessieren, ob
1) meine ermittelte Gleichung korrekt ist
2) fallst sie korrekt ist: sehe ich das richtig dass der Zählergrad = m + 2n und der Nennergrad = m + n - 1 ist, und der Ausdruck deswegen nicht gleich 1 sein kann?
Jetzt noch eine Frage zu deiner Alternativlösung:
> [mm]p'q-pq'=pq[/mm] auf [mm]\IR \setminus N.[/mm] Da [mm]N[/mm] endlich ist und die
> Funktionen [mm]p'q-pq'[/mm] und [mm]pq[/mm] stetig sind, haben wir
>
> [mm]p'q-pq'=pq[/mm] auf [mm]\IR.[/mm]
Kannst du das mal erklären, wie du das meinst. Du schreibst erst "auf [mm]\IR \setminus N[/mm]" und dann "auf [mm]\IR[/mm]" weil "[mm]N[/mm] endlich ist und die
Funktionen [mm]p'q-pq'[/mm] und [mm]pq[/mm] stetig sind". Was soll das mit der Endlichkeit der Nullstellen in Zusammenhang mit der Stetigkeit, dass du plötzlich den Definitionsbereich erweiterst?
Gruß und Danke,
Martin
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:37 Do 26.11.2020 | | Autor: | sancho1980 |
Hallo, ist da jemand?
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Hiho,
> 1) meine ermittelte Gleichung korrekt ist
Du brauchst die Polynome nicht ausschreiben.
Und da du durch $f$ teilst, musst du die Nullstellen von p berücksichtigen berücksichtigen.
> 2) fallst sie korrekt ist: sehe ich das richtig dass der
> Zählergrad = m + 2n und der Nennergrad = m + n - 1 ist,
> und der Ausdruck deswegen nicht gleich 1 sein kann?
Das ist dieselbe Begründung, wie bei freds Hinweis… wieso verfolgst du den nicht?
> Jetzt noch eine Frage zu deiner Alternativlösung:
Nennen wir sie lieber "Standardlösung" 
> Kannst du das mal erklären, wie du das meinst. Du
> schreibst erst "auf [mm]\IR \setminus N[/mm]" und dann "auf [mm]\IR[/mm]"
> weil "[mm]N[/mm] endlich ist und die
> Funktionen [mm]p'q-pq'[/mm] und [mm]pq[/mm] stetig sind". Was soll das mit
> der Endlichkeit der Nullstellen in Zusammenhang mit der
> Stetigkeit, dass du plötzlich den Definitionsbereich
> erweiterst?
Du willst eine Aussage über ganz [mm] $\IR$ [/mm] treffen… eine konstante Funktion ist nämlich auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] definiert.
Nun hast du aber bei der Form $f = [mm] \frac{p}{q}$ [/mm] nur eine Funktion, die auf [mm] $\IR\setminus [/mm] N$ definiert ist, wenn $N$ die Nulllstellenmenge von q ist.
Du willst folgern $p [mm] \equiv [/mm] 0$ auf ganz [mm] $\IR$
[/mm]
Also musst du irgendwie von [mm] $\IR\setminus [/mm] N$ auf [mm] $\IR$ [/mm] kommen… freds Hinweis löst das Problem.
Gruß,
Gono
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Hallo,
> Das ist dieselbe Begründung, wie bei freds Hinweis…
> wieso verfolgst du den nicht?
Wie gesagt hab ich es mir angeschaut, aber einige Sachen sind/waren mir unklar...
>
> Du willst eine Aussage über ganz [mm]\IR[/mm] treffen… eine
> konstante Funktion ist nämlich auf ganz [mm]\IR[/mm] definiert.
> Nun hast du aber bei der Form [mm]f = \frac{p}{q}[/mm] nur eine
> Funktion, die auf [mm]\IR\setminus N[/mm] definiert ist, wenn [mm]N[/mm] die
> Nulllstellenmenge von q ist.
> Du willst folgern [mm]p \equiv 0[/mm] auf ganz [mm]\IR[/mm]
> Also musst du irgendwie von [mm]\IR\setminus N[/mm] auf [mm]\IR[/mm]
> kommen… freds Hinweis löst das Problem.
Ich verstehe das "so irgendwie". Was mir hier unklar ist: Wieso schreibst du [mm]p \equiv 0[/mm] statt [mm]p = 0[/mm]? Das Symbol kenne ich nur aus der modularen Algebra. Und wieso "will" ich auf ganz [mm]\IR[/mm] folgern? Es geht doch nur darum, rauszufinden, ob/wann $f'(x) = f(x)$ sein kann. Wenn $f(x)$ nun mal nicht auf ganz [mm]\IR[/mm] definiert ist, wieso darf es dann keine Einschränkungen geben?
Fred schreibt außerdem:
> [mm]p'q-pq'=pq[/mm] auf [mm]\IR \setminus N.[/mm] Da [mm]N[/mm] endlich ist und die
> Funktionen [mm]p'q-pq'[/mm] und [mm]pq[/mm] stetig sind, haben wir
>
> [mm]p'q-pq'=pq[/mm] auf [mm]\IR.[/mm]
Das ist zweimal die gleiche Gleichung, aber einmal "auf [mm]\IR \setminus N.[/mm]" und dann "auf [mm]\IR.[/mm]" weil "[mm]N[/mm] endlich ist". Ich verstehe nicht, was mir die Formulierung weil "[mm]N[/mm] endlich ist" sagen will. Was hat es mit der "Endlichkeit" hier auf sich?
Auch am Ende finde ich die Ausdrucksweise ein Bisschen sonderbar:
> Wir stellen um und erhalten
>
> [mm](+) \quad (p'-p)q=pq'[/mm] auf [mm]\IR.[/mm]
>
> Die Polynome links und rechts in [mm](+)[/mm] haben also denselben
> Grad. Das ist aber nicht der Fall.
Sie haben "also denselben Grad. Das ist aber nicht der Fall"? Ja, was denn nun? Ja oder nein? Ich sehe links den Grad $m + n$ und rechts $m + n - 1$.Außer p ist das Nullpolynom; dann haben beide Seiten den Grad [mm] $-\infty$, [/mm] richtig?
Hoffe meine Fragen sind jetzt nicht zu doof, aber so isses halt ...
Danke und Gruß,
Martin
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Hiho,
> Ich verstehe das "so irgendwie". Was mir hier unklar ist:
> Wieso schreibst du [mm]p \equiv 0[/mm] statt [mm]p = 0[/mm]?
[mm] $p\equiv [/mm] 0$ bedeutet "p ist identisch zur Nullfunktion".
Das macht man um zu unterscheiden, ob man die Nullstellen der Funktion meint (p=0) oder ob man ausdrücken will, dass die ganze Funktion 0 ist.
> Und wieso "will" ich auf ganz [mm]\IR[/mm] folgern? Es geht doch nur darum, rauszufinden, ob/wann [mm]f'(x) = f(x)[/mm] sein kann.
Nein, die Aussage war: "Gilt für eine rationale Funktion f = f', so ist f die konstante Nullfunktion."
Da die konstante Nullfunktion aber auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert ist, ist also zu zeigen: Es gilt f = 0 auf ganz [mm] \IR. [/mm] (Oder anders notiert: Es gilt [mm] $f\equiv [/mm] 0$.)
> Wenn [mm]f(x)[/mm] nun mal nicht auf ganz [mm]\IR[/mm] definiert ist, wieso darf es dann keine Einschränkungen geben?
Siehe oben.
Aber hier vielleicht einmal ein Hinweis zur Notation: Du redest nicht über f(x) sondern über $f$.
f(x) bezeichnet einen Funktionswert, die Funktion selbst ist $f$.
D.h. f(x) kann NIE "auf ganz [mm] $\IR$" [/mm] definiert sein, da f(x) nur ein einzelner Wert ist. Im Gegensatz zu $f$ als Funktion.
> Fred schreibt außerdem:
>
> > [mm]p'q-pq'=pq[/mm] auf [mm]\IR \setminus N.[/mm] Da [mm]N[/mm] endlich ist und die
> > Funktionen [mm]p'q-pq'[/mm] und [mm]pq[/mm] stetig sind, haben wir
> >
> > [mm]p'q-pq'=pq[/mm] auf [mm]\IR.[/mm]
>
> Das ist zweimal die gleiche Gleichung, aber einmal "auf
> [mm]\IR \setminus N.[/mm]" und dann "auf [mm]\IR.[/mm]" weil "[mm]N[/mm] endlich
> ist". Ich verstehe nicht, was mir die Formulierung weil "[mm]N[/mm]
> endlich ist" sagen will. Was hat es mit der "Endlichkeit" hier auf sich?
Die Aussage lässt sich im Allgemeinen nicht von [mm] $\IR \setminus [/mm] N$ auf ganz [mm] \IR [/mm] erweitern, wenn die Menge N nicht endlich ist.
Oder andersrum: Ist dir klar, dass für zwei stetige Funktionen f und g gilt: Sind sie bis auf eine einzelne Stelle gleich, dann sind sie überall gleich. Das lässt sich leicht über die Stetigkeitseigenschaft zeigen.
Diesen Satz kann man nun für eine beliebige, aber endliche Anzahl an Stellen induktiv erweitern.
Das gilt aber nur endlich oft, hat man unendlich viele solcher Stellen, wird es problematisch.
> Auch am Ende finde ich die Ausdrucksweise ein Bisschen sonderbar:
>
> > Wir stellen um und erhalten
> >
> > [mm](+) \quad (p'-p)q=pq'[/mm] auf [mm]\IR.[/mm]
> >
> > Die Polynome links und rechts in [mm](+)[/mm] haben also denselben
> > Grad. Das ist aber nicht der Fall.
>
> Sie haben "also denselben Grad. Das ist aber nicht der
> Fall"? Ja, was denn nun? Ja oder nein?
Das ist ungünstig formuliert.
Besser wäre es gewesen: WÜRDE f=f' gelten, so hätten beide Seiten den selben Grad. Wie man aber kennt, haben sie den nicht.
> Ich sehe links den
> Grad [mm]m + n[/mm] und rechts [mm]m + n - 1[/mm].Außer p ist das
> Nullpolynom; dann haben beide Seiten den Grad [mm]-\infty[/mm],
> richtig?
Korrekt.
Ich hätte auch, anders als fred, gar nicht umgestellt, sondern die Gleichung in der Form belassen: $ p'q-pq'=pq $
Hier erkennt man bereits auch: Die rechte Seite hat einen Grad, der (mindestens) um 1 höher ist als die linke Seite, außer p oder q ist das Nullpolynom.
q kann nicht das Nullpolynom sein, daher muss p es sein.
Gruß,
Gono
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Behauptung: Gilt für eine auf ganz [mm] \IR [/mm] definierte Fkt. f die Identität f(x)=f'(x), so lässt sich f(x) als [mm] c*e^x [/mm] schreiben.
Beweis. Sei f wie oben angegeben. Bilde [mm] g(x)=\bruch{f(x)}{e^x}. [/mm] (wg. [mm] e^x\ne [/mm] 0 überall auf [mm] \IR [/mm] definiert)
Dann ist [mm] g'(x)=\bruch{f'(x)e^x-f(x)e^x}{e^{2x}}=\bruch{(f'(x)-f(x))e^x}{e^{2x}}=0 [/mm] und somit g(x)=c=konstant [mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] g(x)=\bruch{f(x)}{e^x}=c, [/mm] also [mm] f(x)=c*e^x.
[/mm]
Da [mm] e^x [/mm] keine rationale Fkt. ist, kann f(x) außer für c=0 keine rationale Fkt. sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:51 Mi 25.11.2020 | | Autor: | sancho1980 |
Faszinierend einfach ...
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