Ableitung im \IR^n < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:38 So 22.05.2005 | | Autor: | Shaguar |
Moin,
diese Ableitungen machen wir doch zu schaffen aber ich meine das jetzt nach dem Studium von unzähligen Scripten verstanden zu haben.
Bestimmen sie die Ableitung von folgenden Funktionen:
1: [m]f: \IR^n \mapsto \IR v \mapsto v_{1}^{2}+....+v_{n}^{2}[/m]
So die Ableitung ist die Jacobi-Matrix der partiellen Ableitungen und die partiellen Ableitungen sehen ja alle so aus:
[m] \partial f_i=2v_i[/m] mit [m]1\le i \le n[/m]
Dann komme ich doch für f' auf folgende Matrix [mm] \vektor{2v_1\\ \vdots \\ 2v_n} [/mm] oder?
2:
f: [m]\IR^n \times\IR^n \to \IR, (v,w) \mapsto = \summe_{i=1}^{n}v_i w_i[/m]
Die partiellen Ableitungen : [m] \partial f_i=w_i [/m] und [m] \partial f_i=v_i [/m] mit [m]1\le i \le n[/m]
Jacobi-Matrix: [mm] \pmat{ w_1 & v_1 \\ \vdots & \vdots \\ w_n & v_n }
[/mm]
3:
f: [m]\IR^n \times\IR^n \to \IR, (v,w) \mapsto ^2[/m]
[m]^2=\summe_{i=1}^{n}v_i w_i \* \summe_{i=1}^{n}v_i w_i[/m]
So ist doch das Quadrat vom Skalarprodukt definiert oder? jetzt weiß ich leider nicht, wie ich die partiellen Ableitungen bestimmen soll ohne ein vorgegebenes n.
So ich hoffe mal dass ich alles richtig gemacht habe bis auf ein paar Ausdrucksfehler. Vielen Dank für eine Korrektur.
MFG Shaguar
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Hallo Shaguar,
> 1: [m]f: \IR^n \mapsto \IR v \mapsto v_{1}^{2}+....+v_{n}^{2}[/m]
>
> So die Ableitung ist die Jacobi-Matrix der partiellen
> Ableitungen und die partiellen Ableitungen sehen ja alle so
> aus:
> [m]\partial f_i=2v_i[/m] mit [m]1\le i \le n[/m]
>
> Dann komme ich doch für f' auf folgende Matrix
> [mm]\vektor{2v_1\\ \vdots \\ 2v_n}[/mm] oder?
das stimmt.
> 2:
> f: [m]\IR^n \times\IR^n \to \IR, (v,w) \mapsto = \summe_{i=1}^{n}v_i w_i[/m]
>
> Die partiellen Ableitungen : [m]\partial f_i=w_i[/m] und [m]\partial f_i=v_i[/m]
> mit [m]1\le i \le n[/m]
>
> Jacobi-Matrix: [mm]\pmat{ w_1 & v_1 \\ \vdots & \vdots \\ w_n & v_n }[/mm]
>
>
Nach der Abbildungsvorschrift ist hier [mm] f = f(\;v_{1},;\cdots,\;v_{n},\;w_{1},\;\cdots,\;w_{n})[/mm]. Ist das so gemeint?
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:25 So 22.05.2005 | | Autor: | Shaguar |
Moin Mathepower,
Danke erstmal für die schnelle Antwort.
Ich wollte ein wenig schreibarbeit sparen auf meinem Blatt sieht die 2 so aus:
f: [m]\IR^n \times\IR^n \to \IR, (v,w) \mapsto =v_1w_1+...+v_n w_n = \summe_{i=1}^{n}v_i w_i[/m]
und ich denke mal es ist so gemeint wie du das aufgeschrieben hast.
Und bei der 3. stellt sich halt die frage wie man eine partielle ableitung aussieht.
Bin jedenfalls froh, dass ich verstanden habe worum es geht...
MFG Shaguar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:51 So 22.05.2005 | | Autor: | MathePower |
Hallo Shaguar,
> Ich wollte ein wenig schreibarbeit sparen auf meinem Blatt
> sieht die 2 so aus:
>
> f: [m]\IR^n \times\IR^n \to \IR, (v,w) \mapsto =v_1w_1+...+v_n w_n = \summe_{i=1}^{n}v_i w_i[/m]
Dann sieht der Gradient von f so aus:
[mm]\nabla f\; = \;\left( {w_1 ,\; \cdots ,\;w_n ,\;v_1 ,\; \cdots ,\;v_n } \right)^T [/mm]
wobei [mm]\nabla f\; = \;\left( {\frac{{\delta f}}
{{\delta v_1 }},\; \cdots ,\;\frac{{\delta f}}
{{\delta v_n }},\;\frac{{\delta f}}
{{\delta w_1 }},\; \cdots ,\;\frac{{\delta f}}
{{\delta w_n }}} \right)^T [/mm]
> Und bei der 3. stellt sich halt die frage wie man eine
> partielle ableitung aussieht.
Da wendest Du die Kettenregel an:
[mm]\begin{gathered}
f = \;g^{2} \hfill \\
g\; = \;\sum\limits_{i = 1}^{n} {v_{i} \;w_{i} } \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Dann gilt für die partiellen Ableitungen:
[mm]\frac{{\delta f}}
{{\delta v_{i} }}\; = \;\frac{{df}}
{{dg}}\;\frac{{\delta g}}
{{\delta v_{i} }}[/mm]
Für die partiellen Ableitung nach [mm]w_{i}[/mm] entsprechend.
Dann gilt also insgesamt:
[mm]\nabla f\; = \;2\;g\;\nabla g[/mm]
Gruß
MathePower
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