Ableitung komischer Funktionen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:00 Fr 09.11.2007 | | Autor: | electraZ |
Hallo wieder!!
diesmal geht es um die partielle Ableitungen(Richtungsableitung) mit Hilfe der Formel
df(x) = [mm] \limes_{t\rightarrow\ 0} \bruch{1}{t}[f(x+tr)-f(x)]
[/mm]
und zwar muss man folgende Funktionen ableiten:
1) [mm] f(t)=e^{it}, f:(\IR, |.|)\to(\IC, [/mm] |.|)
2) f(x)=x*x', [mm] f:(\IC^{1}([0,1], \IK), ||.||_{\infty})\to(\IC([0,1], \IK), ||.||_{\infty})
[/mm]
Im ersten Fall besteht das Problem, dass t bei der Ausführung der Formel nicht gekürzt werden kann, da das andere t oben in der Hochzahl der Exponentialfunktion steht... Gibt es hier vielleicht irgendeinen Trick, oder darf man so was durch diese Formel nicht ableiten?
Im zweiten Fall: ist x' die Ableitung von x? dann sollte es 1 sein, oder wäre das zu einfach gewesen??
schöne Grüße
electraZ
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:43 Sa 10.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo elektraZ!
> diesmal geht es um die partielle
> Ableitungen(Richtungsableitung) mit Hilfe der Formel
>
> df(x) = [mm]\limes_{t\rightarrow\ 0} \bruch{1}{t}[f(x+tr)-f(x)][/mm]
>
> und zwar muss man folgende Funktionen ableiten:
>
> 1) [mm]f(t)=e^{it}, f:(\IR, |.|)\to(\IC,[/mm] |.|)
> 2) f(x)=x*x', [mm]f:(\IC^{1}([0,1], \IK), ||.||_{\infty})\to(\IC([0,1], \IK), ||.||_{\infty})[/mm]
>
> Im ersten Fall besteht das Problem, dass t bei der
> Ausführung der Formel nicht gekürzt werden kann, da das
> andere t oben in der Hochzahl der Exponentialfunktion
> steht... Gibt es hier vielleicht irgendeinen Trick, oder
> darf man so was durch diese Formel nicht ableiten?
Du bekommst doch (durch die Identität [mm]e^{x+y}=e^x*e^y[/mm]) einen Grenzwert vom Type 0/0; wie würdest du den bestimmen?
> Im zweiten Fall: ist x' die Ableitung von x? dann sollte es
> 1 sein, oder wäre das zu einfach gewesen??
Schau dir den Definitions- und den Wertebereich von f an: dieses Funktional bildet differenzierbare Funktionen auf stetige Funktionen ab. x bezeichnet hier also eine diff'bare Funktion, und x' ihre Ableitung.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:46 Sa 10.11.2007 | | Autor: | electraZ |
Hallo Rainer!
Danke, aber wenn es so einfach wäre.. oder verstehe ich etwas nicht..
Wenn man die erste Funktion ableitet, dann kommt Folgendes raus:
[mm] df(t)=\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{1}{h}(e^{i(t+hr)}-e^{it})=\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{1}{h}(e^{it}+e^{ihr}-e^{it})=\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{1}{h}e^{ihr}
[/mm]
Das heißt, oben wird 1 stehen, unten 0, das Ganze geht gegen unendlich, daraus folgt, Ableitung dieser Funktion existiert nicht. Zu einfach.. Ich freue mich wenn ich falsch denke.. :)
Zweite Funktion: ist x' also einfach als eine Funktion zu betrachten und nicht als eine Variable?? Aber das ist doch eine Variable.. Wie soll ich denn hier ableiten? Ich habs versucht, bei mir kommt einfach 1 raus. Aber das ist auch zu einfach. Ihr Tipp bringt mich leider nicht weiter ;(
liebe Grüße
electraZ
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:24 Sa 10.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo elektraZ!
> Wenn man die erste Funktion ableitet, dann kommt Folgendes
> raus:
Da hst du die Potenzgesetze nicht richt angewandt: [mm]e^{x+y} = e^x\red{*}e^y[/mm], nicht die Summe!
[mm]df(t)=\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{1}{h}(e^{i(t+hr)}-e^{it})=\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{1}{h}(e^{it}\red{*}e^{ihr}-e^{it})=\red{e^{it}}\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{1}{h}(e^{ihr}\red{-1})[/mm]
> Zweite Funktion: ist x' also einfach als eine Funktion zu
> betrachten und nicht als eine Variable?? Aber das ist doch
> eine Variable.. Wie soll ich denn hier ableiten? Ich habs
> versucht, bei mir kommt einfach 1 raus. Aber das ist auch
> zu einfach. Ihr Tipp bringt mich leider nicht weiter ;(
x ist schon eine Variable, aber sie hat als mögliche Werte keine Zahlen, sondern ganze Funktionen. Wenn ich das Symbol [mm]f(x)[/mm] schreibe, dann bedeutet das ganz allgemein eine Abbildung, die jeden x einen Wert f(x) zuordnet. Das müssen nicht alles einfache Zahlen sein.
In der Aufgabe 2) ist das x eine differenzierbare Funktion. Die Anwendung der Abbildung f bedeutet: Ich nehme diese Funktion, bilde ihre Ableitung und nehme das mit der ursprünglichen Funktion mal.
Beispiel: Wir nehmen die Funktion [mm]q(x):=x^2[/mm]. Was ist [mm]f(q)= q*q'[/mm]?
Bilde die Ableitung [mm]q'(x)= 2x[/mm]. Dann ist [mm]q(x)*q'(x) = 2x^3[/mm].
Das heisst: f bilder die Funktion [mm]x^2[/mm] auf die Funktion [mm]2x^3[/mm] ab.
Das heisst in diesem Fall: die der Definition der Richtungsableitung sind auch x und r keine Zahlen. Nur t ist ein Zahl.
Seien also x und r diff'bare Funktionen.
[mm]df(x) = \limes_{t\rightarrow\ 0} \bruch{1}{t}[f(x+tr)-f(x)] = \limes_{t\rightarrow\ 0} \bruch{1}{t}\left((x+tr)*(x+tr)' -x*x'\right) = \limes_{t\rightarrow\ 0} \bruch{1}{t}\left(x*x'+t(x*r'+r*x') +t^2x'*r'-x*x') [/mm]
Es bleibt also:
[mm]df(x) =x*r'+r*x'[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:42 Sa 10.11.2007 | | Autor: | electraZ |
oops, so einen dummen Fehler habe ich gemacht!
Vielen Dank für Ihre Erklärungen, jetzt ist mir Vieles klarer geworden...
Viele Grüße
electraZ
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:37 Sa 10.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo elektraZ!
Dann ist ja Alles gut.
Übrigens duzen wir uns Alle hier im Forum.
Viele Grüße
Rainer
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