Ableitung komplexer Funktionen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:30 Sa 28.05.2005 | | Autor: | RePete |
Hallo,
hab da mal eine Frage zum Ableiten einer komplexen Funktion.
Die Funktion sieht wie folgt aus:
[mm]f(z) = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2} - x + iy}[/mm]
Das ganze hab ich wie folgt umgeschrieben:
[mm]f(z) = \frac{|z|^{2}}{|z|^{2} - \overline{z}}[/mm]
Ich weis auch das die Funktion für [mm]z \in \IC \backslash \{0,1\}[/mm] differenzierbar sein sollte! Allerdings weis ich nicht wie ich diese Funktion ableiten sollte. Ich könnte zwar alles in der arithmetischen Form lassen und dann [mm]Re(z)[/mm] [mm]Im(z)[/mm] ableiten aber da kommen riesig lange Polynome heraus und natürlich zusätzlich noch ein Bruch. Da die Lösung:
[mm]f'(z) = - \frac{1}{(z - 1)^{2}}[/mm]
aber auch in einer Form mit [mm]z[/mm] angegeben ist denke ich das es auch so geht. Ein Ansatz wäre eventuell auch das Umformen in die exponentielle Form aber da blick ich in diesem Fall nicht ganz durch. Wäre schön wenn jemand trotz des schönen Wetters einen Lösungsansatz für dieses Problem hätte...
mfG Peter
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:02 Sa 28.05.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo Peter!
> hab da mal eine Frage zum Ableiten einer komplexen
> Funktion.
> Die Funktion sieht wie folgt aus:
> [mm]f(z) = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2} - x + iy}[/mm]
> Das
> ganze hab ich wie folgt umgeschrieben:
> [mm]f(z) = \frac{|z|^{2}}{|z|^{2} - \overline{z}}[/mm]
Erweitere mal mit $z$ und die unhandlichen Beträge verschwinden...
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:36 Sa 28.05.2005 | | Autor: | RePete |
Danke Marc!
komm nach dem Erweitern hierauf:
[mm]f(z) = \frac{z}{z - 1}[/mm]
Das läßt sich dann super ableiten und es kommt auch das gewünschte ergenis heraus!
mfG Peter
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