Ableitung mit e im Exponenten < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Differenzieren und vereinfachen Sie möglichst.
a) [mm] f(x)=ln[tan(\bruch{x}{2} [/mm] + [mm] \bruch{pi}{4})]
[/mm]
b) [mm] f(x)=(3x)^e*e^{2x+e} [/mm] |
Grüßt euch,
versuche seit gestern diese beiden Aufgaben zu lösen und komme dabei einfach nicht weiter bzw. weiß nicht ob das,was ich da mache überhaupt richtig ist.
Also bei Aufgabe a) gehe ich mit Substitutionen ran.
Da die Ableitung von ln = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ist,die Ableitung vom [mm] tan=\bruch{1}{cos^{2}x} [/mm] ist und von [mm] \bruch{x}{2} [/mm] + [mm] \bruch{pi}{4} [/mm] = 1/2 sieht es bisher so aus:
f'(x)= 1/u * [mm] 1/cos^{2}v [/mm] *v'
= [mm] 1/tan(\bruch{x}{2} [/mm] + [mm] \bruch{pi}{4}) [/mm] * [mm] 1/cos^{2}(\bruch{x}{2} [/mm] + [mm] \bruch{pi}{4}) [/mm] * 1/2
Da der Tangens auch durch [mm] \bruch{sin x}{cos x} [/mm] dargestellt werden kann, habe ich dann :
[mm] f'(x)=\bruch{1}{sin(\bruch{x}{2} + \bruch{pi}{4})}{cos(\bruch{x}{2} + \bruch{pi}{4})} [/mm] * [mm] \bruch{1}{cos^{2}(\bruch{x}{2} + \bruch{pi}{4})} [/mm] * 1/2
So und da frag ich mich schon ob es bis hierhin überhaupt stimmt?
Zur Aufgabe b)
[mm] f(x)=(3x)^e*e^2x+e [/mm] gehe ich wieder mit einer Substitution an und nenne [mm] (3x)^e= [/mm] u und [mm] e^{2x+e}=v [/mm]
v wird dann nach der Kettenregel abgeleitet aber wie verhält sich das mit dem u?
Wäre für eure Hilfe echt dankbar.
Liebe Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:11 Mi 25.01.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Differenzieren und vereinfachen Sie möglichst.
> a) [mm]f(x)=ln[tan(\bruch{x}{2}[/mm] + [mm]\bruch{pi}{4})][/mm]
> b) [mm]f(x)=(3x)^e*e^{2x+e}[/mm]
> Grüßt euch,
>
> versuche seit gestern diese beiden Aufgaben zu lösen und
> komme dabei einfach nicht weiter bzw. weiß nicht ob
> das,was ich da mache überhaupt richtig ist.
>
> Also bei Aufgabe a) gehe ich mit Substitutionen ran.
> Da die Ableitung von ln = [mm]\bruch{1}{x}[/mm] ist,die Ableitung
> vom [mm]tan=\bruch{1}{cos^{2}x}[/mm] ist und von [mm]\bruch{x}{2}[/mm] +
> [mm]\bruch{pi}{4}[/mm] = 1/2 sieht es bisher so aus:
> f'(x)= 1/u * [mm]1/cos^{2}v[/mm] *v'
> = [mm]1/tan(\bruch{x}{2}[/mm] + [mm]\bruch{pi}{4})[/mm] *
> [mm]1/cos^{2}(\bruch{x}{2}[/mm] + [mm]\bruch{pi}{4})[/mm] * 1/2
Du hast zwar nirgends erwähnt, was u und v sein sollen, aber ich kanns mir denken.
>
> Da der Tangens auch durch [mm]\bruch{sin x}{cos x}[/mm] dargestellt
> werden kann, habe ich dann :
>
> [mm]f'(x)=\bruch{1}{sin(\bruch{x}{2} + \bruch{pi}{4})}{cos(\bruch{x}{2} + \bruch{pi}{4})}[/mm]
> * [mm]\bruch{1}{cos^{2}(\bruch{x}{2} + \bruch{pi}{4})}[/mm] * 1/2
>
> So und da frag ich mich schon ob es bis hierhin überhaupt
> stimmt?
Ja, tut's.
>
> Zur Aufgabe b)
> [mm]f(x)=(3x)^e*e^2x+e[/mm] gehe ich wieder mit einer
Du meinst wohl eher: [mm] $f(x)=(3x)^e*e^{2{\color{red}x+e}}$
[/mm]
Substitution
> an und nenne [mm](3x)^e=[/mm] u und [mm]e^{2x+e}=v[/mm]
>
> v wird dann nach der Kettenregel abgeleitet aber wie
> verhält sich das mit dem u?
Potenzregel, die gilt auch wenn der Exponent keine ganze Zahl ist.
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>
> Wäre für eure Hilfe echt dankbar.
>
> Liebe Grüße
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>
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>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß,
notinX
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Danke für deine schnelle Antwort.
Habe es dann mal weitergerechnet,man soll ja möglichst vereinfachen.
Bei Aufgabe a) geht es ja dann doch so weiter, dass sich
cos und [mm] cos^2 [/mm] wegkürzen und man alles unter einem Bruchstrich zusammenfassen kann, dann sieht es so aus:
[mm] f'(x)=\bruch{1}{2*sin(\bruch{x}{2}+\bruch{pi}{4})*cos(\bruch{x}{2}+\bruch{pi}{4})} [/mm] .
Das könnte man ja noch weiter verinfachen.
Nur wie? Geht man da nach " [mm] 2*sin\alpha*cos\alpha [/mm] = [mm] sin2\alpha [/mm] " ?
Bei b) hätte ich als Lösung
[mm] f'(x)=e^{2x+e}*(e*x^{e-1}+(6x)^e)
[/mm]
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 Mi 25.01.2012 | | Autor: | notinX |
> Danke für deine schnelle Antwort.
> Habe es dann mal weitergerechnet,man soll ja möglichst
> vereinfachen.
> Bei Aufgabe a) geht es ja dann doch so weiter, dass sich
> cos und [mm]cos^2[/mm] wegkürzen und man alles unter einem
> Bruchstrich zusammenfassen kann, dann sieht es so aus:
>
> [mm]f'(x)=\bruch{1}{2*sin(\bruch{x}{2}+\bruch{pi}{4})*cos(\bruch{x}{2}+\bruch{pi}{4})}[/mm]
> .
>
> Das könnte man ja noch weiter verinfachen.
> Nur wie? Geht man da nach " [mm]2*sin\alpha*cos\alpha[/mm] =
> [mm]sin2\alpha[/mm] " ?
ja, das kannst Du anwenden.
>
> Bei b) hätte ich als Lösung
> [mm]f'(x)=e^{2x+e}*(e*x^{e-1}+(6x)^e)[/mm]
Das stimmt nicht, zeig mal Deine Zwischenschritte.
>
> Grüße
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Also ist das endergebnis zu a)
[mm] f'(x)=\bruch{1}{sin2(\bruch{x}{2}+\bruch{pi}{4})}
[/mm]
b)
f'(x)=u'v+uv'
Substitution
[mm] u=(3x)^e [/mm] = [mm] 3^e*x^e [/mm]
[mm] u'=e*x^{e-1}
[/mm]
[mm] v=e^{2x+e} [/mm] (wird dann nach der Kettenregel abgeleitet)
[mm] v'=2*e^{2x+e}
[/mm]
ergäbe dann:
[mm] f'(x)=e*x^{e-1}*e^{2x+e}+(3x)^e*2e^{2x+e}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:57 Mi 25.01.2012 | | Autor: | notinX |
> Also ist das endergebnis zu a)
> [mm]f'(x)=\bruch{1}{sin2(\bruch{x}{2}+\bruch{pi}{4})}[/mm]
ja, ich wüsste nicht wie man das noch weiter vereinfachen kann.
>
> b)
> f'(x)=u'v+uv'
>
> Substitution
> [mm]u=(3x)^e[/mm] = [mm]3^e*x^e[/mm]
> [mm]u'=e*x^{e-1}[/mm]
[mm] $3^e$ [/mm] ist ein konstanter Faktor, der bleibt beim Ableiten erhalten: [mm] $g(x)=c\cdot f(x)\Rightarrow g'(x)=c\cdot [/mm] f'(x)$
>
> [mm]v=e^{2x+e}[/mm] (wird dann nach der Kettenregel abgeleitet)
> [mm]v'=2*e^{2x+e}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> ergäbe dann:
>
> [mm]f'(x)=e*x^{e-1}*e^{2x+e}+(3x)^e*2e^{2x+e}[/mm]
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Dann wäre
[mm] u'=3^e*e*x^{e-1} [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:28 Mi 25.01.2012 | | Autor: | notinX |
> Dann wäre
> [mm]u'=3^e*e*x^{e-1}[/mm] ?
Ganz genau 
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Woher weiß ich denn,dass man z.B. [mm] 3^e [/mm] als Konstante behandeln muss?
Also weiter
[mm] f'(x)=3^e*e*x^{e-1}*e^{2x+e}+(3x)^e*2*e^{2x+e}
[/mm]
dann kann man [mm] e^{2x+e} [/mm] ausklammern
= [mm] e^{2x+e}*(3^e*e*x^{e-1}+(3x)^e*2)
[/mm]
[mm] =e^{2x+e}*(3^e*e*x^{e-1}+(6x)^e)
[/mm]
sollte es nun ungeahnterweise korrekt sein, kann mans dann noch weiter vereinfachen? Wenn ja,wie?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:47 Mi 25.01.2012 | | Autor: | notinX |
> Woher weiß ich denn,dass man z.B. [mm]3^e[/mm] als Konstante
> behandeln muss?
Das erkennt man daran, dass [mm] $3^e$ [/mm] eben konstant ist, es kommt ja keine Variable darin vor.
>
> Also weiter
> [mm]f'(x)=3^e*e*x^{e-1}*e^{2x+e}+(3x)^e*2*e^{2x+e}[/mm]
Hier hast Du was verschlampt. Es ist doch f'=u'v+uv'
mit [mm] $u=3^ex^e$ [/mm] bzw. [mm] $u'=3^eex^{e-1}$
[/mm]
und [mm] $v=e^{2x+e}$ [/mm] bzw. [mm] $v'=2e^{2x+e}$
[/mm]
ergibt sich: [mm] $f'(x)=3^eex^{e-1}\cdot e^{2x+e}+3^ex^e\cdot 2e^{2x+e}$
[/mm]
Das kannst Du jetzt vereinfachen.
>
> dann kann man [mm]e^{2x+e}[/mm] ausklammern
>
> = [mm]e^{2x+e}*(3^e*e*x^{e-1}+(3x)^e*2)[/mm]
>
> [mm]=e^{2x+e}*(3^e*e*x^{e-1}+(6x)^e)[/mm]
Aufpassen: [mm] $(3x)^e*2\neq (6x)^e$ [/mm] !
>
> sollte es nun ungeahnterweise korrekt sein, kann mans dann
> noch weiter vereinfachen? Wenn ja,wie?
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Gut, ich komme da gerade nicht drauf :D
[mm] f'(x)=e^{2x+e}(3^eex^{e-1}+3^ex^e*2)
[/mm]
Ich könnte dann noch [mm] 3^e [/mm] ausklammern..
[mm] f'(x)=3^e*e^{2x+e}(ex^{e-1}+x^e*2)
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:30 Do 26.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Gut, ich komme da gerade nicht drauf :D
>
> [mm]f'(x)=e^{2x+e}(3^eex^{e-1}+3^ex^e*2)[/mm]
>
> Ich könnte dann noch [mm]3^e[/mm] ausklammern..
>
> [mm]f'(x)=3^e*e^{2x+e}(ex^{e-1}+x^e*2)[/mm]
Stimmt
FRED
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