Ableitung nach Vektoren < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo zusammen,
ich kenne bis jetzt wenn es um Abbildungen vom [mm] $\IR^m \to \IR^n$ [/mm] geht nur alle mgl. Dinge, die aus Partilellen Ableitungen hergeleitet werden können, ich meine damit Jacobi-Matrix, Gradient, Rotation, Divergenz,...
Ich belege seit anfang des Semesters eine Veranstaltung, in der regelmäßig nach ganzen Vetoren aus dem [mm] $\IR^{n-1}$ [/mm] oder [mm] $\IR^{n}$ [/mm] abgeleitet wird (d.h. direkt dasteht [mm] $\bruch{\partial f}{\partial x}$ [/mm] und $f=(x,g(x))$, $x [mm] \in \IR^{n-1}$ [/mm] - in diesem Fall kann ich mir das "schönreden"), aber wie leite ich denn alleine aus den Kentnisses von Partiellen Ableitungen solche Ableitungen her? Beim Integral kenne ich den Satz von Fubini, der ja quasi die mehrsimensionale Sprache in eindim. "übersetzt".
Wie mache ich das denn bei der Differentiation?
Danke!
lg Kai
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:08 Di 08.12.2009 | | Autor: | Denny22 |
> Hallo zusammen,
>
> ich kenne bis jetzt wenn es um Abbildungen vom [mm]\IR^m \to \IR^n[/mm]
> geht nur alle mgl. Dinge, die aus Partilellen Ableitungen
> hergeleitet werden können, ich meine damit Jacobi-Matrix,
> Gradient, Rotation, Divergenz,...
Okay.
> Ich belege seit anfang des Semesters eine Veranstaltung, in
> der regelmäßig nach ganzen Vetoren aus dem [mm]\IR^{n-1}[/mm]
> oder [mm]\IR^{n}[/mm] abgeleitet wird (d.h. direkt dasteht
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm] und [mm]f=(x,g(x))[/mm], [mm]x \in \IR^{n-1}[/mm]
Wenn $f(x)=(x,g(x))$ gegeben ist und ihr anschliessend [mm] $\frac{\partial f}{\partial x}$ [/mm] (diese Notation sollte Dich an die Jacobimatrix erinnern) berechnen sollt, wuerde das fuer mich bedeuten, dass Du die Gleichung
[mm] $\frac{\partial f}{\partial x}=D_1f(x,g(x))\cdot\frac{\partial x}{\partial x}+D_2f(x,g(x))\cdot\frac{\partial g(x)}{\partial x}$
[/mm]
hast, wobei $D_if$ ($i=1,2$) bedeutet, dass Du $f$ nach der $i$-ten Variablen ableiten musst. Fuer die Terme [mm] $\frac{\partial x}{\partial x}$ [/mm] und [mm] $\frac{\partial g(x)}{\partial x}$ [/mm] siehe Dir mal die Definition zur Jacobimatrix an.
Da es sich hierbei lediglich um partielle Ableitungen 1. Ordnung handelt, duerfte dies noch relativ uebersichtlich sein. Musst Du die Funktio jedoch z.B. 2-mal differenzieren, so fuehrt Dich dies zu den multilinearen Abbildungen.
> - in diesem Fall kann ich mir das "schönreden"), aber wie
> leite ich denn alleine aus den Kentnisses von Partiellen
> Ableitungen solche Ableitungen her? Beim Integral kenne ich
> den Satz von Fubini, der ja quasi die mehrsimensionale
> Sprache in eindim. "übersetzt".
>
> Wie mache ich das denn bei der Differentiation?
>
> Danke!
>
> lg Kai
Gruss
Denny
|
|
|
| |
|
Erstmal danke, vielen vielen Dank für die Antwort!
> > Hallo zusammen,
> >
> > ich kenne bis jetzt wenn es um Abbildungen vom [mm]\IR^m \to \IR^n[/mm]
> > geht nur alle mgl. Dinge, die aus Partilellen Ableitungen
> > hergeleitet werden können, ich meine damit Jacobi-Matrix,
> > Gradient, Rotation, Divergenz,...
>
> Okay.
>
> > Ich belege seit anfang des Semesters eine Veranstaltung, in
> > der regelmäßig nach ganzen Vetoren aus dem [mm]\IR^{n-1}[/mm]
> > oder [mm]\IR^{n}[/mm] abgeleitet wird (d.h. direkt dasteht
> > [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm] und [mm]f=(x,g(x))[/mm], [mm]x \in \IR^{n-1}[/mm]
>
> Wenn [mm]f(x)=(x,g(x))[/mm] gegeben ist und ihr anschliessend
> [mm]\frac{\partial f}{\partial x}[/mm] (diese Notation sollte Dich
> an die Jacobimatrix erinnern) berechnen sollt, wuerde das
> fuer mich bedeuten, dass Du die Gleichung
>
> [mm]\frac{\partial f}{\partial x}=D_1f(x,g(x))\cdot\frac{\partial x}{\partial x}+D_2f(x,g(x))\cdot\frac{\partial g(x)}{\partial x}[/mm]
>
> hast, wobei [mm]D_if[/mm] ([mm]i=1,2[/mm]) bedeutet, dass Du [mm]f[/mm] nach der [mm]i[/mm]-ten
> Variablen ableiten musst. Fuer die Terme [mm]\frac{\partial x}{\partial x}[/mm]
> und [mm]\frac{\partial g(x)}{\partial x}[/mm] siehe Dir mal die
> Definition zur Jacobimatrix an.
>
Genau, ich kam dann darauf, dass [mm]\frac{\partial x}{\partial x}[/mm] die Einheitsmatrix sein muss, und [mm]\frac{\partial g(x)}{\partial x}[/mm] ist doch dann nur als ein Zeilenvektor zu verstehen, den Gradienten von $g$, oder?
Viel mehr zu schaffen macht mir [mm]D_if[/mm], wie leite ich denn $f$ nach $g$ ab?
$D_1f(x,g(x))$ ist dann ja die Jacobi-Matrix [mm] $\pmat{ 1 & ... & 0 \\ ... & 1 & ... \\ 0 & ... & 1 \\ \bruch{\partial g}{\partial x_1} & ... & \bruch{\partial g}{\partial x_{n-1}} }$ [/mm] - eine [mm] $n\times [/mm] n-1$ - Matrix, oben die Identität im [mm] $\IR^{n-1}$ [/mm] und die letzte Zeile ist dann der Gradient von $g$, oder nicht?
> Da es sich hierbei lediglich um partielle Ableitungen 1.
> Ordnung handelt, duerfte dies noch relativ uebersichtlich
> sein. Musst Du die Funktio jedoch z.B. 2-mal
> differenzieren, so fuehrt Dich dies zu den multilinearen
> Abbildungen.
>
> > - in diesem Fall kann ich mir das "schönreden"), aber wie
> > leite ich denn alleine aus den Kentnisses von Partiellen
> > Ableitungen solche Ableitungen her? Beim Integral kenne ich
> > den Satz von Fubini, der ja quasi die mehrsimensionale
> > Sprache in eindim. "übersetzt".
> >
> > Wie mache ich das denn bei der Differentiation?
> >
> > Danke!
> >
> > lg Kai
>
> Gruss
> Denny
lg Kai
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Do 10.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
